中职数学基础知识汇总.doc
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中职数学基础知识汇总
预备知识:
1.完全平方和(差)公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2
2.平方差公式:
a2-b2=(a+b)(a-b)
3.立方和(差)公式:
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
第一章集合
1.构成集合的元素必须满足三要素:
确定性、互异性、无序性。
2.集合的三种表示方法:
列举法、描述法、图像法(文氏图)。
3.常用数集:
N(自然数集)、Z(整数集)、Q(有理数集)、R(实数集)、N+(正整数集)
4.元素与集合、集合与集合之间的关系:
(1)元素与集合是“”与“”的关系。
(2)集合与集合是“”“”“”“”的关系。
注:
(1)空集是任何集合的子集,任何非空集合的真子集。
(做题时多考虑Ф是否满足题意)
(2)一个集合含有n个元素,则它的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个。
5.集合的基本运算(用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法)
(1):
与的公共元素组成的集合
(2):
与的所有元素组成的集合(相同元素只写一次)。
(3):
中元素去掉中元素剩下的元素组成的集合。
注:
6.会用文氏图表示相应的集合,会将相应的集合画在文氏图上。
7.充分必要条件:
是的……条件是条件,是结论
如果pq,那么p是q的充分条件;q是p的必要条件.
如果pq,那么p是q的充要条件
第二章不等式
1.不等式的基本性质:
(略)
注:
(1)比较两个实数的大小一般用比较差的方法;另外还可以用平方法、倒数法。
(2)不等式两边同时乘以负数要变号!
!
(3)同向的不等式可以相加(不能相减),同正的同向不等式可以相乘。
2.重要的不等式:
(1),当且仅当时,等号成立。
(2),当且仅当时,等号成立。
(3)
注:
(算术平均数)(几何平均数)
3.一元一次不等式的解法(略)
4.一元二次不等式的解法
(1)保证二次项系数为正
(2)分解因式(十字相乘法、提取公因式、求根公式法),目的是求根:
(3)定解:
(口诀)大于取两边,小于取中间。
5.绝对值不等式的解法
若,则
分式不等式的解法:
与二次不等式的解法相同。
注:
分母不能为0.
第三章函数
1.函数
(1)定义:
设A、B是两个非空数集,如果按照某种对应法则,对A内任一个元素x,在B中总有一个且只有一个值y与它对应,则称是集合A到B的函数,可记为:
:
A→B,或:
x→y.其中A叫做函数的定义域.函数在的函数值,记作,函数值的全体构成的集合C(C⊆B),叫做函数的值域.
(2)函数的表示方法:
列表法、图像法、解析法。
注:
在解函数题时可以画出图像,运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。
2.函数的三要素:
定义域、值域、对应法则
(1)定义域的求法:
使函数(的解析式)有意义的的取值范围
主要依据:
分母不能为0,偶次根式的被开方式0,
特殊函数定义域:
(2)值域的求法:
的取值范围
①正比例函数:
和一次函数:
的值域为
②二次函数:
的值域求法:
配方法。
如果的取值范围不是则还需画图像
③反比例函数:
的值域为
④另求值域的方法:
换元法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。
(3)解析式求法:
在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。
3.函数图像的变换
(1)平移
(2)翻折
4.函数的奇偶性
(1)定义域关于原点对称
(2)若奇若偶
注:
①若奇函数在处有意义,则
②常值函数()为偶函数
③既是奇函数又是偶函数
5.函数的单调性
对于且,若
增函数:
值越大,函数值越大;值越小,函数值越小。
减函数:
值越大,函数值反而越小;值越小,函数值反而越大。
6.二次函数
(1)二次函数的三种解析式
①一般式:
()
②顶点式:
(),其中为顶点
③两根式:
(),其中是的两根
(2)图像与性质
二次函数的图像是一条抛物线,有如下特征与性质:
①开口开口向上开口向下
②对称轴:
顶点坐标:
③与轴的交点:
④根与系数的关系:
(韦达定理)
⑤为偶函数的充要条件为
⑥二次函数(二次函数恒大(小)于0)
⑦若二次函数对任意都有,则其对称轴是。
第四章指数函数与对数函数
1.指数幂的性质与运算
(1)根式的性质:
①为任意正整数,②当为奇数时,;当为偶数时,
③零的任何正整数次方根为零;负数没有偶次方根。
(2)零次幂:
(3)负数指数幂:
(4)分数指数幂:
(5)实数指数幂的运算法则:
①②③
2.幂运算时,注意将小数指数、根式都统一化为分数指数;一般将每个数都化为最小的一个数的次方。
3.幂函数
4.指数与对数的互化:
、
5.对数基本性质:
①②③④
⑤
⑥
6.对数的基本运算:
7.换底公式:
8.指数函数、对数函数的图像和性质
指数函数
对数函数
定
义
图
像
性
质
(1)
(2)图像经过点
(3)
(1)
(2)图像经过点
(3)
9.利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小,将其变为同底、同幂(次)或用换底公式或是利用中间值0,1来过渡。
10.指数方程和对数方程:
指数式和对数式互化同底法换元法④取对数法
注:
解完方程要记得验证根是否是增根,是否失根。
第五章数列
等差数列
等比数列
定
义
每一项与前一项之差为同一个常数
每一项与前一项之比为同一个常数
注:
当公差时,数列为常数列
注:
等比数列各项及公比均不能为0;
当公比为1时,数列为常数列
通项公式
推
论
(1)
(2)
(3)若,则
(1)
(2)
(3)若,则
中项公式
三个数成等差数列,则有
三个数成等比数列,则有
前项和公式
()
1.已知前项和的解析式,求通项
2.弄懂等差、等比数通项公式和前项和公式的证明方法。
(见教材)
第六章三角函数
1.弧度和角度的互换
弧度弧度弧度弧度
2.扇形弧长公式和面积公式
(记忆法:
与类似)
3.任意三角函数的定义:
===
4.特殊三角函数值
不存在
5.三角函数的符号判定
(1)口诀:
一全二正弦,三切四余弦。
(三角函数中为正的,其余的为负)
(2)图像记忆法
6.三角函数基本公式
(可用于化简、证明等)
(可用于已知求;或者反过来运用)
7.诱导公式:
口诀:
奇变偶不变,符号看象限。
解释:
指,若为奇数,则函数名要改变,若为偶数函数名不变。
7.已知三角函数值求角:
(1)确定角所在的象限;
(2)求出函数值的绝对值对应的锐角;(3)写出满足条件的的角;(4)加上周期(同终边的角的集合)
8.和角、倍角公式
⑴和角公式:
注意正负号相同
注意正负号相反
⑵二倍角公式:
⑶半角公式:
9.三角函数的图像与性质
函数
图像
性质
定义域
值域
同期
奇偶性
单调性
奇
偶
9.正弦型函数
(1)定义域,值域
(2)周期:
(3)注意平移的问题:
一要注意函数名称是否相同,二要注意将的系数提出来,再看是怎样平移的。
(4)
10.正弦定理
(为的外接圆半径)
其他形式:
(1)(注意理解记忆,可只记一个)
(2)
11.余弦定理
(注意理解记忆,可只记一个)
12.三角形面积公式
(注意理解记忆,可只记一个)
13.海伦公式:
(其中为的半周长,)
第七章平面向量
1.向量的概念
(1)定义:
既有大小又有方向的量。
(2)向量的表示:
书写时一定要加箭头!
另起点为A,终点为B的向量表示为。
(3)向量的模(长度):
(4)零向量:
长度为0,方向任意。
单位向量:
长度为1的向量。
向量相等:
大小相等,方向相同的两个向量。
反(负)向量:
大小相等,方向相反的两个向量。
2.向量的运算
(1)图形法则
三角形法则平形四边形法则
(2)计算法则
加法:
减法:
(3)运算律:
加法交换律、结合律注:
乘法(内积)不具有结合律
3.数乘向量:
(1)模为:
(2)方向:
为正与相同;为负与相反。
4.的坐标:
终点B的坐标减去起点A的坐标。
5.向量共线(平行):
唯一实数,使得。
(可证平行、三点共线问题等)
6.平面向量分解定理:
如果是同一平面上的两个不共线的向量,那么对该平面上的任一向量,都存在唯一的一对实数,使得。
7.注意中,重心(三条中线交点)、外心(外接圆圆心:
三边垂直平分线交点)、内心(内切圆圆心:
三角平分线交点)、垂心(三高线的交点)
8.向量的内积(数量积)
(1)向量之间的夹角:
图像上起点在同一位置;范围。
(2)内积公式:
9.向量内积的性质:
(1)(夹角公式)
(2)⊥
(3)(长度公式)
10.向量的直角坐标运算:
(1)
(2)设,则
11.中点坐标公式:
若A,B,点M(x,y)是线段AB的中点,则
12.向量平行、垂直的充要条件:
设,则
∥(相对应坐标比值相等)
⊥(两个向量垂直则它们的内积为0)
11.长度公式
(1)向量长度公式:
设,则
(2)两点间距离公式:
设点,则
12.向量平移
(1)平移公式:
点平移向量,则记忆法:
“新=旧+向量”
(2)图像平移:
的图像平移向量后得到的函数解析式为:
第八章平面解析几何
1.曲线上的点与方程之间的关系:
(1)曲线上点的坐标都是方程的解;
(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上。
则曲线叫做方程的曲线,方程叫做曲线的方程。
2.求曲线方程的方法及步骤:
(1)设动点的坐标为(x,y);
(2)写出动点在曲线上的充要条件;(3)用的关系式表示这个条件列出的方程;(4)化简方程(不需要的全部约掉);(5)证明化简后的方程是所求曲线的方程。
如果方程化简过程是同解变形的话第五步可省略。
3.两曲线的交点:
联立方程组求解即可。
4.直线:
(1)倾斜角:
一条直线向上的方向与
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