随机数学概率论与数理统计 概率作业A答案Word文件下载.docx
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=.5345
3.随机地向半圆00)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,求原点与该点的连线与x轴夹角小于
此为几何概型问题.
设A表示事件“原点与该点的连线与x轴夹角小于a2
+=1+1.则P(A)=
πa22π2
π
的概率.4π
”.4
πa2
4.仪器中有三个元件,它们损坏的概率都是0.2,并且损坏与否相互独立.当一个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.25,当两个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.6,当三个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.95,当三个元件都不损坏时,仪器不发生故障.求:
(1)仪器发生故障的概率;
(2)仪器发生故障时恰有二个元件损坏的概率.
解:
设A表示事件“仪器出现故障”,
Bi表示事件“有i个元件出现故障”,i=1,2,3.
(1)P(A)=∑P(Bi)P(ABi),
i=13
P(B1)=3⨯0.2⨯0.82=0.384,P(B2)=3⨯0.2⨯0.8=0.096,P(B3)=0.23=0.008.
所以P(A)=0.384⨯0.25+0.096⨯0.6+0.008⨯0.95=0.1612.
(2)P(B2A)=
P(AB2)0.096⨯0.6
==0.3573.P(A)0.1612
5.在100件产品中有10件次品;
现在进行5次放回抽样检查,每次随机地抽取一件产品,求下列事件的概率:
(1)抽到2件次品;
(2)至少抽到1件次品.
设Ai表示取到i件次品,i=0,1,2,3,4,5.
(1)P(A2)=C52(0.1)(1-0.1)≈0.73.
(2)P(A0)=1-(1-0.1)≈0.41.
52
3
四、证明题
1.设0
P(A|B)+P(A|B)=1⇒P(A|B)=1-P(A|B)=P(A|B)P(AB)P(AB)
=P(B)P(B)
P(AB)P(A)-P(AB)⇒=
P(B)1-P(B)⇒P(AB)=P(A)P(B)⇒
所以事件A与B相互独立.
2.已知任意事件A,A1,A2,A3满足Ai⊂A(i=1,2,3),证明
P(A)≥P(1A)+P(2A+)
证明:
已知Ai⊂A,i=1,2,3.⇒
P(-).23A
A⊂A
ii=1
⇒P(A)≥P(A1)+P(A2)-P(A1A2);
P(A)≥P(A1)+P(A3)-P(A1A3)P(A)≥P(A2)+P(A3)-P(A2A3)⇒3P(A)≥3⎡⎣P(A1)+P(A2)+P(A3)⎤⎦
-⎡⎣P(A1)+P(A2)+P(A3)⎤⎦-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)⇒3P(A)≥3⎡⎣P(A1)+P(A2)+P(A3)⎤⎦-6⇒P(A)≥P(A1)+P(A2)+P(A3)-2.
第二次作业
一、填空题1.应填
11.24
2.应填
3.应填
9.64
45.应填
19
.27
6.应填0.2.7.应填0.975.二、选择题
1.(D).2.(D).3.(A).4.(B).5.(D).6.(C).7.(C).三、计算题
1.一批产品由9个正品和3个次品组成,从这批产品中每次任取一个,取后不放回,直到取得正品为止.用X表示取到的次品个数,写出X的分布律和分布函数.
X的分布律为
X的分布函数为
x
⎪3
⎪,0≤x
22⎪⎪119
2≤x
x≥3.⎪⎩1,
2.设随机变量X的概率分布为
(1)求Y=-2X的概率分布;
(2)求Z=X的概率分布.解:
倒表即可.
3.设连续型随机变量X的概率密度为
0≤x
⎪
f(x)=⎨k(2-x),1≤x
⎪0,其它,⎩
求:
(1)k的值;
(2)X的分布函数.
121k
(1)由⎰xdx+⎰k(2-x)dx=+=1,得k=1.
0122
(2)当x
x1
当0≤x
02
x1x1
当1≤x
0012
当x>
2时,F(x)=1.
4.设随机变量X服从正态分布N(3,4),求:
P{22},P{|X|
P{|X|>
2}=1-P{|X|≤2}=1-Φ(2.5)+Φ(0.5).
P{|X|
x≤-a,⎧0,
⎪x⎪
5.设连续型随机变量X的分布函数为F(x)=⎨A+Barcsin,-a
a⎪
x≥a,⎪⎩1,⎛aa⎫
(1)常数A、B.
(2)随机变量X落在-,⎪内的概率.(3)X的概率密度函数.
⎝22⎭
(1)F(a+0)=A-
B=0,F(a-0)=A+
11
B=1,得A=,B=.22π
a⎫aa1⎧a
(2)P⎨-
2⎭223⎩2
的概率密度函数f(x)=F'
(x)=
0,其它.⎩
6.已知随机变量X的概率密度为
⎧ax+b,
f(x)=⎨
⎩0,
0
1⎫⎧11⎫5⎧
且P⎨X>
⎬=,求
(1)常数a,b的值;
(2)P⎨
2⎭2⎭8⎩4⎩
+∞11
(1)由1=⎰-∞f(x)dx=⎰0(ax+b)dx=a+b,
15131
再由=P{X>
=⎰1(ax+b)dx=a+b,
82822
解得a=1,b=
1
.2
1117
(2)P{
422324
⎧+1,X>
0,1
7.已知随机变量X的概率密度为fX(x)=e-x,-∞
-1,X≤0,2⎩
1⎫⎧
Y的分布律;
(2)计算P⎨Y>
⎬.
2⎭⎩
(1)P{Y=-1}=P{X≤0}=FX(0)=
P{Y=1}=1-P{Y=-1}=1-=.222
分布律为
Y1
pk122
1⎫1⎧
(2)P⎨Y>
⎬=.
2⎭2⎩
8.已知随机变量X的概率密度为
⎧e-x,x>
0,
⎩0,x≤0,
随机变量Y=X2的概率密度函数.
设Y的分布函数为FY(y)=P{Y≤y}.当y
当y≥0时,FY(y)=P{Y≤y}=P{
X2≤y}=FX-FX(,y>
0,因此Y
的概率密度函数为fY(y)=
0,y
1.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),证明:
Y=aX+b(a≠0)仍然服从正态分布,并指出参数.
教材59页例题.
2.设随机变量X服从参数为λ=2的指数分布,证明:
Y=1-e-2X服从[0,1]上的均匀分布.
设Y=1-e-2X的分布函数为FY(y),取值范围为[0,1].当y
当0≤y
当y≥1时,FY(y)=P{Y≤y}=1,
⎧1,0
因此Y的概率密度函数为fY(y)=⎨
第三次作业
一、填空题
1.max{X,Y}的分布律为
2.P{X=m}=3.应填0.4.应填1-
1.2e
m1
,,m=1,2,LPY=n=,n=1,2,L.{}
2m+12n
⎧1222⎪2,x+y≤R,
5.应填f(x,y)=⎨πR
⎪它.⎩0,其
6.应填3.
7.应填FX(x)=(F(x))n.二、选择题
1.(B).2.(B).3.(A).4.(C).5.(D).6.(D).7.(B).三、计算题
1.设随机变量X在1,2,3,4四个数字中等可能取值,随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值,求(X,Y)的概率分布,并判断X和Y是否独立.
(X,Y)的概率分布为
可以验证X和Y不相互独立.
A发生,⎧1,11
2.设随机事件A、B满足P(A)=,P(BA)=P(AB)=,令X=⎨
0,A不发生,42⎩B发生,⎧1,
求
(1)(X,Y)的概率分布;
(2)Z=X+Y的概率分布.Y=⎨
0,B不发生,⎩
11111解:
(1)P(A)=,P(BA)=⇒P(AB)=,P(AB)=⇒P(B)=
431226
P{X=0,Y=0}=P(AB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)=,
P{X=0,Y=1}=P(AB)=P(B)-P(AB)=P{X=1,Y=0}=
1,12
11,P{X=1,Y=1}=.612
211
(2)Z可能取值为0,1,2.P{Z=0}=,P{Z=1}=,P{Z=2}=.
3412
3.已知随机变量X和Y相互独立,且都服从正态分布N(0,σ2),求常数R
,使得概率PR}=0.5.
X
的概率密度为fX(x)-
x22σ
Y
的概率密度为fY(y)=
-
y22σ2
由于X和Y相互独立,从而联合概率密度为f(x,y)=
P≤R}=
12πσ2
2π
12πσ
e
x2+y22σ2
⎰0dθ⎰0e
R
r22σ
rdr=1-e
R22σ2
=0.5,
解得R=⎧ke-(2x+y),x>
0,y>
4.已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=⎨
(1)求系
0,其它.⎩
数k;
(2)条件概率密度fXY(xy);
(3)判断X和Y是否相互独立;
(4)计算概率P{X
(1)由
⎰⎰
-∞
+∞+∞
f(x,y)dxdy=1,得k=2.
⎧2e-2x,x>
0,⎧e-y,y>
fY(x)=⎨
(2)关于X和Y的边缘概率密度分别为fX(x)=⎨
0,x≤0,0,y≤0.⎩⎩
从而X和Y是相互独立的,fX(xy)=⎨
0,x≤0.⎩
(3)相互独立.
(4)P{X
⎧1-e-3z,z>
0,⎧3e-3z,z>
(5)Z=min{X,Y}的分布函数为FZ(z)=⎨所以fZ(z)=⎨
z≤0.z≤0.⎩0,⎩0,
⎧-1
5.设随机变量U在区间[-2,2上]服从均匀分布,令X=⎨
⎩1⎧-1Y=⎨
⎩1
若U≤1,若U>
1,
若U≤-1,若U>
-1,
求(X,Y)的联合分布律.
(X,Y)可能取的值为(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)P{X=-1,Y=-1}=P{U≤-1}P{U≤1}=
,4
P{X=-1,Y=1}=P{U≤-1}P{U>
1}=0,
P{X=1,Y=-1}=P{U>
-1}P{U≤1}=P{X=1,Y=1}=P{U>
-1}P{U>
1}=
1,2
1.4
6.设(X,Y)的概率密度f(x,y)=⎨求Z=2X-Y的概率密度.
设z的分布函数为FZ(z),取值范围[0,2],当z
当0≤z
4
当z≥2时,FZ(z)=1.
⎧1
⎪1-z,0
从而Z=2X-Y的概率密度fZ(z)=⎨2
⎪0,其他.⎩
第四次作业
1.应填E(X)=-0.2,E(X2)=2.8,,13.4.
2.应填D(2X-3Y)=4σ12+3σ2.
3.应填E(Y2)=5.4.应填13.5.应填
6
(b2+ab+a2).
6.应填D(Y)=
8
.9
11,D(X3)=.57
7.应填E(X4)=二、选择题
1.(C).2.(D).3.(B).4.(B).5.(A).6.(C).7.(C).三、计算题
1.设随机变量X的概率密度为
f(x)=⎨cx+b,2≤x
⎪0,其它.⎩
已知E(X)=2,P{1
由以下三个条件
,求a,b,c的值.4
⎰
+∞
f(x)dx=1⇒2a+6c+2b=1,
+∞-∞
EX=⎰
xf(x)dx=2⇒4a+28c+9b=3,
32333
⇒⎰1f(x)dx=⎰1axdx+⎰2(cx+b)dx=⇒6a+10c+4b=3,44
P{1
解得a=,b=1,c=-.
44
⎪(x+y),0≤x≤2,0≤y≤2,
2.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=⎨8
⎪其它,⎩0,
求E(X),E(Y),cov(X,Y),ρXY和D(X+Y).
2217
E(X)=E(Y)=⎰dx⎰x(x+y)dy=,
0086
221511
E(X2)=E(Y2)=⎰dx⎰x2(x+y)dy=,D(X)=D(Y)=,
008336
2214
E(XY)=⎰dx⎰xy(x+y)dy=,
0083
cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-
,
36
ρXY=
=-
15,D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=.119
3.设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布为
(1)写出关于X、Y及XY的概率分布;
(2)求X和Y的相关系数ρXY.解:
(1)
(2)E(X)=
E(Y)=1,E(XY)=,Cov(X,Y)=0,ρXY=0.33
4.在数轴上的区间[0,a]内任意独立地选取两点M与N,求线段MN长度的数学期望.解:
设两点的坐标分别为X,Y,则(X,Y)的联合概率密度为
⎪,0≤x,y≤a,
f(x,y)=⎨a2
所求E(X-Y)=⎰
a
x-ya2
dxdy=
a.3
5.一民航送客车载有20名乘客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车,假设每位旅客在各个车站下车的可能性相同,且各个旅客是否下车相互独立,求停车次数X的数学期望.
引入随机变量,令
⎧0,第i站不停,Xi=⎨i=1,2,L,10.
1,第i站停,⎩
⎛9⎫⎛9⎫
从而X=X1+L+X10,又P{Xi=0}=⎪,P{Xi=1}=1-⎪,
⎝10⎭⎝10⎭
2020
所以E(Xi)=1-(0.9),E(X)=10⨯⎡1-(0.9)⎤≈8.784(次).
⎣⎦
6.假设由自动流水线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N(μ,1),内径小于10或大于12为不合格品,其余为合格品;
销售合格品获利,销售不合格品亏损,已知销售一个零件的利润T(元)与零件内径X的关系为
⎧-1,X
T=⎨20,10≤X≤12,.
⎪-5,X>
12,⎩
问平均内径μ取何值时,销售一个零件的平均利润最大.解:
ET=20⨯P{10≤X≤12}-P{X12}
=25Φ(12-μ)-21Φ(10-μ)-5
dET⎛25⎫
=0,得μ=11-ln⎪≈10.9(mm)令dμ⎝21⎭
即平均内径μ取10.9mm时,销售一个零件的平均利润最大.
第五次作业
1.12
2.应填0.975.二、选择题1.(B).2.(D).三、计算题
1.某保险公司多年的统计资料表明,在索赔客户中被盗索赔占20%,以X表示在随机抽查的100个索赔客户中因被盗向保险公司索赔的户数.
(1)写出X的概率分布;
(2)利用德莫佛—拉普拉斯定理,求被盗索赔客户不少14户且不多于30户的概率的近似值.
(1)索赔户为X,则X~B(100,0.2),
(2)由DeMoivre-Laplace极限定理
P{
14≤X≤30}=P≤≤
53
≈Φ()-Φ(-)≈0.927.
22
2.设某种元件使用寿命(单位:
小时)服从参数为λ的指数分布,其平均使用寿命为40小时,在使用中当一个元件损坏后立即更换另一个新的元件,如此继续下去.已知每个元件的进价为a元,试求在年计划中应为购买此种元件作多少预算,才可以有95%的把握保证一年够用(假定一年按照2000个工作小时计算).
假设一年需要n个元件,则预算经费为na元.设每个元件的寿命为Xi,则n个元件使用寿命为∑Xi,
i=1n
11⎧n⎫
由题意P⎨∑Xi≥2000⎬≥0.95,又EXi==40,DXi=2=402,
λλ⎩i=1⎭
由独立同分布中心极限定理,∑
Xi~N(40n,402n),
i=1
n
⎧n⎫
P⎨∑Xi≥2000⎬=1-Φ≥1.64⇒n≥63.04,≥0.95⎩i=1⎭
故年预算至少应为64a元.
3.一条生产线的产品成箱包装,每箱的重量时随机的.假设平均重50千克,标准差为5千克.如果用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每量车最多可以装多少箱,才能保证不超载的概率大于0.977,(Φ)2(79.0=
.)
设Xi是装运的第i箱的重量,n
是箱数,且E(Xi)==5,i=1,2L,n.
Tn≤5000}=P≤>
0.977≈Φ解得n
第六次作业
1.应填x=2.应填a=
∑nixi
1n2
,s=∑
(xi-x),s=
n-1i=12
,b=,2.20190
mp(1-p)
.n
3.应填E(X)=mp,D(X)=4.应填t(n-1).
⎧-λx
⎪λne∑,x>
5.应填f(x1,x2,L,xn)=⎨i
⎪xi≤0.⎩0,
1.(B).2.(C).3.(D).4.(D).5.(A).三、计算题
1.从正态总体N(20,3)中分别抽取容量为10和15的两个相互独立样本,求样本均值之差的绝对值大于0.3的概率.
设样本均值为X,Y,则U=X-Y~N(0,0.5),
⎫PX-Y>
0.3=1-P≤=2-2Φ≈0.6744.
{
}
2.设X1,X2,L,X8是来自正态总体N(0,0.2)的样本,试求k,使P
Xi2Xi
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