中考数学一轮复习基础考点及题型专题圆(含解析).docx

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专题23圆

考点总结

【思维导图】

【知识要点】

知识点一与圆有关的概念

圆的概念：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．

特点：

圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．

确定圆的条件：

⑴圆心；

⑵半径，

⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．

补充知识：

1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；

2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；

3）半径相等的圆叫做等圆．

弦的概念：

连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．

弧的概念：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，

小于半圆的弧叫做劣弧．

弦心距概念：

从圆心到弦的距离叫做弦心距．

弦心距、半径、弦长的关系：

（考点）

圆心角概念：

顶点在圆心的角叫做圆心角．

圆周角概念：

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．

三角形的外接圆

1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．

2）三角形外心的性质：

①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；

②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.

3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.

圆内接四边形概念：

如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。

弓形与扇形

弓形的概念：

由弦及其所对的弧组成的图形。

扇形的概念：

一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

【典型例题】

1．（2018·陆丰市民声学校中考模拟）如图，AB是⊙O直径，点C，D在⊙O上，OD∥AC，下列结论错误的是（）

A．∠BOD=∠BAC B．∠BAD=∠CAD

C．∠C=∠D D．∠BOD=∠COD

【答案】C

【详解】∵OD//AC，

∴∠BOD=∠BAC、∠D=∠CAD、∠C=∠COD，故A选项正确，

∵OA=OD，

∴∠D=∠BAD，∴∠BAD=∠CAD，故B选项正确，

∵OA=OC，∴∠BAD=∠C，∴∠BOD=∠COD，故D选项正确，

由已知条件无法得出∠C=∠D，故C选项错误，

故选C.

2．（2018·北京中考模拟）有下列四种说法：

①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中，错误的说法有（　　）

A．1种B．2种C．3种D．4种

【答案】B

【详解】

圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；

直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；

弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；

④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．

其中错误说法的是①③两个．

故选：

B．

3．（2018·上海中考模拟）下列说法中，正确的个数共有（　　）

（1）一个三角形只有一个外接圆；

（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；

（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等；

（4）三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等；

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【详解】

（1）一个三角形只有一个外接圆，正确；

（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确；

（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；

（4）三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等，错误；

故选：

C．

4．（2018·湖北中考模拟）有下列说法：

①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【解析】试题解析：

同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫等弧，所以长度相等，故正确；

连接圆上任意两点的线段叫做弦，所以直径是最长的弦，故正确；

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；

圆中90°圆周角所对的弦是直径，故错误；

弦所对的圆周角可在圆心一侧，也可在另一侧，这两个圆周角互补，但不一定相等，所以同圆中等弦所对的圆周角也不一定相等，故错误.

综上所述，正确的结论有2个，故应选B.

5．（2017·广东中考模拟）如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD的度数为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

解：

∵在⊙O中，AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∵∠B=∠ACD=40°，

∴∠BAD=90°﹣∠B=50°．

故选D．

【考查题型汇总】

考查题型一利用圆的半径相等进行相关计算

1．（2019·浙江省杭州第七中学中考模拟）如图，A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是（）．

A．10°B．20°C．40°D．80°

【答案】B

【解析】

根据同一弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半,所以∠ACB的度数等于∠AOB的一半,故选B

2．（2018·黑龙江中考模拟）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是（　　）

A．70° B．80° C．110° D．140°

【答案】C

【解析】

详解：

作AC对的圆周角∠APC，如图，

∵∠P=12∠AOC=12×140°=70°

∵∠P+∠B=180°，

∴∠B=180°﹣70°=110°，

故选：

C．

3．（2019·四川省平昌中学中考模拟）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是　　

A．AC=AB B．∠C=12∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠BOD

【答案】B

【详解】

解：

∵直径CD⊥弦AB，

∴弧AD=弧BD，

∴∠C=12∠BOD．

故选B．

4．（2018·贵州中考模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（　　）

A．43 B．63 C．23 D．8

【答案】A

【解析】

试题解析：

连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，

∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD=12∠AOC，

∴∠COD=∠B=60°；

在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°，

∴CD=32OC=23，

∴AC=2CD=43．

故选A．

5．（2019·云南中考模拟）如图，已知：

在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（　　）

A．70° B．45° C．35° D．30°

【答案】C

【详解】

解：

∵OA⊥BC，∠AOB=70°，

∴=AC，

∴∠ADC=12∠AOB=35°．

故选C．

6．（2019·广西中考模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD＝136°，则∠C的度数是（）

A．44° B．22° C．46° D．36°

【答案】B

【详解】

∵∠AOD＝136°，∴∠BOD＝44°，∴∠C＝22°，故选：

B．

考查题型二圆心角与圆周角的关系解题

1．（2019·武汉市第四十六中学中考模拟）如图，BE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，点D为垂足，连AE、EC．

（1）若∠AEC＝28°，求∠AOB的度数；

（2）若∠BEA＝∠B，EC＝3，求⊙O的半径．

【答案】

（1）56∘．

（2）3.

【详解】

解：

1连接OC．

∵半径OA⊥弦BC，

∴AC=AB，

∴∠AOC=∠AOB，

∵∠AOC=2∠AEC=56∘，

∴∠AOB=56∘．

2∵BE是⊙O的直径，

∴∠ECB=90∘，

∵AC=AB

∴∠AEC=∠BEA，

∵∠BEA=∠B，

∴∠B=∠AEB=∠AEC

∵∠B+∠AEB+∠AEC=180∘，

∴∠B=∠AEB=∠AEC=30∘，

∵EC=3，

∴EB=2EC=6，

∴⊙O的半径为3．

2．（2018·吉林中考模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的点，CD与⊙O相切于点D，连结BD、AD．

（1）求证；∠BDC＝∠A．

（2）若∠C＝45°，⊙O的半径为1，直接写出AC的长．

【答案】

（1）详见解析；

（2）1+2

【详解】

（1）证明：

连结OD．如图，

∵CD与⊙O相切于点D，

∴OD⊥CD，

∴∠2+∠BDC＝90°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，即∠1+∠2＝90°，

∴∠1＝∠BDC，

∵OA＝OD，

∴∠1＝∠A，

∴∠BDC＝∠A；

（2）解：

在Rt△ODC中，∵∠C＝45°，

∴OC=2OD=2∴AC=OA+OC=1+2

3．（2019·苏州高新区实验初级中学中考模拟）已知：

如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果∠BAD＝30°，且BE＝2，求弦CD的长．

【答案】43

【详解】

解：

连接OD，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2，

∵∠BAD＝30°，

∴∠DOE＝60°，

∵CD⊥AB，

∴CD＝2DE，∠ODE＝30°，

∴OD＝2OE，即r＝2（r﹣2），解得r＝4；

∴OE＝4﹣2＝2，

∴DE＝OD2-OE2＝42-22＝23，

∴CD＝2DE＝43．

知识点二圆的基本性质

n对称性

1.圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线

2.圆是中心对称图形。

n垂径定理

垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

常见辅助线做法（考点）：

1）过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；

2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．

n圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

推论：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等

n圆周角定理（考点）

圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论1：

在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．

推论2：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）

n圆内接四边形

性质：

圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．

【考查题型汇总】

考查题型三运用垂径定理进行相关计算

1．（2019·苏州高新区第四中学校中考模拟）如图，等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，AB＝AC，tan∠ABC＝13．求BC的长．

【答案】BC＝6．

【详解】

连接AO，交BC于点E，连接B