数学建模野兔生长问题完整论文docWord下载.docx
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Logistic模型生态学MATLAB程序
问题重述
野兔生长问题。
首先,野兔是生长在自然环境中的。
自然很复杂,存在着许多影响种群发展的因素。
我们知道,假如给野兔一个理想的环境,野兔数量是呈J型增长的。
现实情况中,种群一般是呈S型增长的,从题中表格看出,野兔的数量并不是单一地增长,T=3,6.90568;
T=4,6.00512;
T=5,5.56495;
T=6,5.32807。
第四年到第七年,这三年野兔的数量不增反降,说明其间有影响野兔生长的因素存在。
我们探讨了其中的因素:
(1),兔子内部因素,竞争,雄雌比利失去平衡,老化严重等。
(1),自然灾害,比如说草原火灾,使野兔生长环境遭到破坏;
再如气候反常,使野兔的产卵,交配受影响。
(2),天敌的捕食,狼,狐狸等天敌大量地捕食使野兔生存受到威胁。
(3),疾病的侵扰,野兔种群中,蔓延并流行疾病,必然使野兔存活率下降。
。
(4),人类的影响,城市扩建,使其栖息地面积减少;
捕杀。
考虑到上述因素,野兔的生长就不能完全用一个Logistic模型来模拟
问题分析
时间T=0T=1(年)数量1(十万)增长量/(十万)T=2T=36.90568T=46.00512T=5T=6T=77.56101T=8T=99.5817
2.319694.508531.319692.18883
5.56495
5.32807
8.9392
2.39715
-0.90056-0.44017-0.236882.23294
1.37819
0.64250
3
增长百/分比
131.97%94.36%
41.91%53.17%-13.04%-7.33%-4.26%
18.23%
7.19%
我们先假设在一个小的单位时间间隔内新出生的兔子百分比为b,类似的兔子死亡率的百分比为c。
换句话,新的兔子数P(t+t)是原有兔子数P(t)加上在t时间内新增兔子数减去死亡兔子数,即P(t+t)=P(t)+bP(t)t-cP(t)t或
这样我们把问题化归到如何确定k。
一旦k被确定,通过已知数据,我们解这个微分方程,就可以得到一个野兔数量随时间变化的函数了。
我们考虑(式2-1)中度量增长率的比例因子k是兔子数的函数而不是常数。
(否则当k是常数时我们知道兔子数将成指数增长,这是令人难以置信、不切实际的。
)考虑到在一定区域内,兔子的生存空间是有限的,食物是有限的,且存在种间竞争与种内竞争,结合生物学理论可知兔子数量必然趋于某个饱和值,是有限的。
我们假设这个饱和值是M,则合理的猜测是随着兔子数的增长并逐渐接近饱和值M时,比率k逐渐减小。
关于k的一个简单情形是线性的子模型k=r(M-P),r>
0其中r是常数,代入(式2-1)得到
4
dP=r(Mp)Pdt
P(t0)=p0求解这个微分方程我们得到:
rM(tt)
(t≤t≤t)
(式2-2)
P(t)=
pMeMp+pe
(式2-3)
这个模型最早是由丹麦生物数学家Pierre-FrancoisVerhulst(1804--1849)提出的,称为logistic增长模型。
在下面的模型求解部分,我们将大量使用该函数来模拟野兔生长状态。
当然(式2-3)的得出依赖着假设k是一个简单的线性子模型,我们将在模型的改进部分对此作一些讨论。
3、模型的假设对模型的假设,我们在问题的分析中已经提到,为严谨在此完整列出。
野生兔的生活空间是有限的,食物是有限的,存在着种间竞争与种内竞争。
因此野生兔的数量将趋于一个稳定的饱和值。
假设除了T=4、T=5这两年外,野生兔的生长条件(包括天敌,气侯食物,空间,雌雄比例等)是近似的。
假设统计数据是可靠的。
度量野兔数量增长率的比例因子k是线性的子模型。
4、符号说明在问题分析部分已出现并说明了一些符号,为严谨这里完整列出。
M:
野兔种群数量的饱和值P(t)或P:
野兔种群数量随时间的函数k:
增长率比例因子pi:
值C1,C2,C:
T,t:
m:
时间为T=i时所对应的野兔数量统计
积分得到的常数时间变量表示斜率M2M3
PC1,PC2,P,PM1,P,PC3
模型假设
上述,野兔生长问题,我们假设
(1),假设它使处于自然的情况(没有人的作用),人类活动对其生存不产生影响。
(2),假设各个环境因素对野兔生长的影响是互不影响的。
(3),假设兔子的内部因素对其生存率的影响不大。
(4),假设野兔在各年龄段中的分布率不变,即年龄结构不变,并采用各种措施维持这一结构;
(5),设第十年的兔子数量为X,t=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10对应于兔子当年的数量,Y分别为2.31969,4.50853,6.90568,6.90568,6.00512,5.56495,5.32807,7.56101,8.9392,9.5817,m
(6),P为第十年的兔子数量,需要通过简单平均移动法来求解
那它是可以用Logistic模型来模拟的。
符号说明
X为兔子的生长的年分Y为兔子对应年的数量M为兔子第10年的数量X7为第7年兔子数量X8为第8年的兔子数量X9为第9年的兔子数量
分析与建立模型
对于生物模型,首先考虑的是logistic模型,考虑到logistic模型的增长曲线是单调的,而题目所给的数据中有一段是下降的,这是反常的情况,而正常情况应当是单调上升的。
考虑到可能在这段时间内有使野兔减少的因素。
不能在整个时间段进行拟合,我们应当在每个单调区间上进行拟合。
第一单调增区间
T=0
T=1
T=2
T=3
1
2.31969
4.50853
6.90568
第一单调减区间
T=4
T=5
T=6
6.00512
第二单调增区间
T=7
T=8
T=9
7.56101
9.5817
我们把野兔生长情况分成了上表三个区间,建立野兔生长的logistic模型。
模型求解
对于logistic连续模型,设微分方程为
,
(1)
其中参数a,b需要通过拟合得到。
(1)的解为
.
(2)
设已知连续三年的数据
,其中
,则由
(2)得方程组
(3)
这三个方程中有三个未知量
可以解出a,b如下:
将(3)中第一式代入第二、三式消去x0,得
(4)
消去a后得b满足的方程
(5)
解得
.(6)
代入(4)的第一式得a满足的方程
(3)
求参数a,b的MATLAB程序
function[a,b,q]=hare(p,T)
%输入单调的连续三年数量p和时间间隔T(本题T=1),输出参数a,b和下一年的数量q
a=log(p(3)*(p
(2)-p
(1))/(p
(1)*(p(3)-p
(2))));
b=(p
(2)^2-p(3)*p
(1))/(p(3)*p
(2)+p
(1)*p
(2)-2*p
(1)*p(3))/p
(2);
q=1/(b+(1/p(3)-b))*exp(-a*T));
在第一个上升阶段,对于连续三年(0,1,2)和(1,2,3)分别计算得到二组a,b值
0.999996295432800.09999899065418
1.000001896730560.10000006995945
在下降阶段,对于连续三年(3,4,5)和(4,5,6)分别计算得到的二组a,b值
0.499999514703010.20000005321601
0.499983964746560.20000085565547
在第二个上升阶段,对于连续三年(6,7,8)和(7,8,9)分别计算得到的二组a,b值
1.000005087174110.10000005796845
1.000009756401800.10000014562299
当取a,b为最后一组数据时,t=10时由
(2)得到预测数为9.84193(十万),当取a=1,b=0.1时,预测数为9.84194(十万).
结论是:
在T=0到T=3之间增长规律为logistic模型:
.
在T=3到T=6之间增长规律有异常情况,但仍为logistic模型;
:
在T=6到T=9之间增长规律恢复为logistic模型:
在T=10时,在正常情况下,野兔数量为9.84194(或9.84193)(十万)只.
结果分析
在T=4,T=5,T=6这三年野兔增长有异常,野兔数量大幅下降,原因可能是引入了野兔的天敌或遭到人为捕杀。
在其他年份野兔数量呈现自然增长。
模型的评价与应用
本文建立了简单的图标模型,直观性强,简单易懂,所有数据能通过计算得到,并且由计算机计算,误差由计算机产生,模型具有较好的稳定性。
由该模型建立所得到的野兔生长繁殖数量一定程度上可以较好的模拟野兔的生长规律,在一定范围内的环境影响内较为适用,并能较为准确的预测一段时间内野兔数量,模型是严格根据统计学中相关知识而制定,数据是根据该地区连续10年野兔生长统计数据得到的,所以该模型有较高的科学性。
本模型在模拟野兔的生长方面通过不同的时期段进行拟合,较为充分的体现在不同环境下的生长的情况,能够根据不同的环和情况,选择不同的阶段的模型来对野兔的生长情况进行模拟!
这样对野兔的繁衍有着更好的监控提供依据和科学的预测!
但是本模型也不是完全能够模拟,只能在问题假设的情况下拟合,一旦环境改变为模型没有包括的情况,则此时的模型就不可以对野兔的生长进行有效的拟合,简而言之就是不可以用此模型来预测野兔的繁衍!
在这种情况情况下只有实际抽样的方法才可确定!
应用:
通过该模型,我们可以掌握该地区野兔生长规律,并可以预测该地区未来年间野兔发展数量,对有关部门搞好农业工作和保护生态平衡等工作可以提供帮助,因此,通过我们进一步优化,此模型应该有可观前景,会越来越多的用于实际工作中。
模型检验
参考文献
(1)、曹光四,邹晓明,《统计学原理》,上海:
立信会计出版社,2005,6
(2)、朱建清,《数学建模方法》,郑州大学出版社,2005,9
(3)、赵静,《数学建模与数学实验》,高等教育出版社,2003,6
(4)袁震东,束金龙,蒋鲁敏。
数学建模简明教程[M].上海:
华东师范大学出版社,1997.
(5)罗万成。
大学生数学建模案例精选[M].成都:
西南交通大学出版社,2007。
(6)姜启源,谢金星,叶俊。
数学模型[M]。
北京:
高等教育出版社,2003.
附录1:
满足
dN(t)N(t)=r
(1)N(t)dtNm
(其中r为常数)
.....................
(1)
将
(1)式改写为
11NN+NdN=rdtm
两边积分得
ln
N=rt+cNmN
即
N=AertNmN
(其中A为待定常数)NmN1+(m1)e(r0+0)tN0
当t属于[0,3]时,设N(0)=N0代入上式可得
N(t)=
令
r0+0=r
得N(t)=
NmNm1+
(1)ertN0
当t属于[4,6]时,设N(4)=N0代入上式可得
N(t)=
NmN1+(m1)e(r1+4)N0
r1+4=r,得N(t)=
当t属于[7,9]时,设N(7)=N0代入上式可得N(t)=
NmN1+(m1)e(r2+7)tN0
r2+7=r
NmNm1+
(1)ertN0NmNm1+
(1)ertN0
所以T属于[0,3],[4,6],[7,9]
附录2:
令a=r,b=
1Nm
求参数a,b的MATLAB程序function[a,b,q]=hare(p,T)输入单调的连续三年数量p和时间间隔T(本题T=1),输出参数a,b和下一年的数量qa=log(p(3)*(p
(2)-p
(1))/(p
(1)*(p(3)-p
(2))));
b=(p
(2)^2-p(3)*p
(1))/(p(3)*p
(2)+p
(1)*p
(2)-2*p
(1)*p(3))/p
(2);
q=1/(b+(1/p(3)-b))*exp(-a*T));
在T属于[0,3],对于连续三年(0,1,2)和(1,2,3)分别计算得到二组a,b值0.999996295432801.000001896730560.099998990654180.10000006995945
在T属于[4,6],对于连续三年(3,4,5)和(4,5,6)分别计算得到的二组a,b值0.499999514703010.499983964746560.200000053216010.20000085565547
在T属于[7,9],对于连续三年(6,7,8)和(7,8,9)分别计算得到的二组a,b值1.000005087174111.000009756401800.100000057968450.10000014562299
所以在T∈[0.3]时,t=0时,N0=1
Nm=
T∈[4,6]时
1b=10.0100,r=0.9999
10.01001+9.0100e0.9999t
t=4时,N(t)=N0=6.00512
Nm
=5
r=0.4999
5N(t)=10.1674e0.4999t
T∈[7,9]t=7时,N(t)=N0=7.56101
Nm=10
r=1
101+0.3226et
当T=10时,代入第三段方程N(t)=
得N(10)=9.99954
东华理工大学长江学院数学与信息管理系课程设计评分表姓名1:
学号1:
学号2:
课程设计题目:
野兔生长问题
项目内容
满分
实评
选
题
能结合所学课程知识、有一定的能力训练。
符合选题要求(2人一题)
5
工作量适中,难易度合理
10
能
力
水
平
能熟练应用所学知识,有一定查阅文献及运用文献资料能力
理论依据充分,数据准确,公式推导正确
能应用计算机软件进行编程、资料搜集录入、加工、排版、制图等
能体现创造性思维,或有独特见解
15
成
果
质
量
模型正确、合理,各项技术指标符合要求。
摘要叙述简练完整,假设合理、问题分析正确、数学用语准确、结论严谨合理;
问题处理科学、条理分明、语言流畅、结构严谨、版面清晰
论文主要部分齐全、合理,符号统一、编号齐全。
格式、绘图、表格、插图等规范准确,符合论文要求
字数不少于2000字,不超过15000字
总分
100
指导教师评语:
指导教师签名:
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