一元一次不等式应用题精讲及分类训练分类训练含答案1.docx
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一元一次不等式应用题精讲及分类训练分类训练含答案1
一元一次不等式(组)解应用题精讲及分类练习
识别不等式(组)类应用题的几个标志,供解题时参考.
一.下列情况列一元一次不等式解应用题
1.应用题中只含有一个不等量关系,文中明显存在着不等关系的字眼,如“至少”、“至多”、“不超过”等.
例1.为了能有效地使用电力资源,宁波市电业局从1月起进行居民峰谷用电试点,每天8:
00至22:
00用电千瓦时0.56元(“峰电”价),22:
00至次日8:
00每千瓦时0.28元(“谷电”价),而目前不使用“峰谷”电的居民用电每千瓦时0.53元.当“峰电”用量不超过每月总电量的百分之几时,使用“峰谷”电合算?
分析:
本题的一个不等量关系是由句子“当‘峰电’用量不超过每月总电量的百分之几时,使用‘峰谷’电合算”得来的,文中带加点的字“不超过”明显告诉我们该题是一道需用不等式来解的应用题.
解:
设当“峰电”用量占每月总用电量的百分率为x时,使用“峰谷”电合算,月用电量总量为y.依题意得0.56xy+0.28y(1-x)<0.53y.
解得x<89℅
答:
当“峰电”用量占每月总用电量的89℅时,使用“峰谷”电合算.
2.应用题仍含有一个不等量关系,但这个不等量关系不是用明显的不等字眼来表达的,而是用比较隐蔽的不等字眼来表达的,需要根据题意作出判断.
例2.周未某班组织登山活动,同学们分甲、乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发.设甲、乙两组行进同一段路程所用的时间之比为2:
3.
⑴直接写出甲、乙两组行进速度之比;
⑵当甲组到达山顶时,乙组行进到山腰A处,且A处离山顶的路程尚有1.2千米.试问山脚离山顶的路程有多远?
⑶在题⑵所述内容(除最后的问句外)的基础上,设乙组从A处继续登山,甲组到达山顶后休息片刻,再从原路下山,并且在山腰B处与乙组相遇.请你先根据以上情景提出一个相应的问题,再给予解答(要求:
①问题的提出不得再增添其他条件;②问题的解决必须利用上述情景提供的所有已知条件).
解:
⑴甲、乙两组行进速度之比为3:
2.
⑵设山腰离山顶的路程为x千米,依题意得方程为,
解得x=(千米).经检验x=是所列方程的解,
答:
山脚离山顶的路程为千米.
⑶可提问题:
“问B处离山顶的路程小于多少千米?
”再解答如下:
设B处离山顶的路程为m千米(m>0)
甲、乙两组速度分别为3k千米/时,2k千米/时(k>0)
依题意得<,解得m<0.72(千米).
答:
B处离山顶的路程小于0.72千米.
说明:
本题由于所要提出的问题被两个条件所限制,因此,所提问题应从句子“乙组从A处继续登山,甲组到达山顶后休息片刻,再从原路下山,并且在山腰B处与乙组相遇”去突破,若注意到“甲组到达山顶后休息片刻”中加点的四个字,我们就可以看出题中隐含着这样一个不等关系:
乙组从A处走到B处所用的时间比甲组从山顶下到B处所用的时间来得少,即可提出符合题目要求的问题且可解得正确的答案.
二.下列情况列一元一次不等式组解应用题
1.应用题中含有两个(或两个以上,下同)不等量的关系.它们是由两个明显的不等关系体现出来,一般是讲两件事或两种物品的制作、运输等.
例3.已知服装厂现有A种布料70米,B种布料52米,现计划用这两种面料生产M,N两种型号的时装共80套.已知做一套M型号的时装需用A种布料0.6米,B种布料0.9米,可获利45元;做一套N型号的时装需用A种布料1.1米,B种布料0.4米,可获利润50元.若设生产N型号码的时装套数为x,用这批布料生产这两种型号的时装所获的总利润为y元.
(1)求y(元)与x(套)的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;
(2)服装厂在生产这批时装中,当N型号的时装为多少套时,所获利润最大?
最大利润是多少?
分析:
本题存在的两个不等量关系是:
①合计生产M、N型号的服装所需A种布料不大于70米;②合计生产M、N型号的服装所需B种布料不大于52米.
解:
(1),即.
依题意得
解之,得40≤x≤44.
∵x为整数,∴自变量x的取值范围是40,41,42,43,44.
(2)略
2.两个不等关系直接可从题中的字眼找到,这些字眼明显存在着上下限.
例4.某校为了奖励在数学竞赛中获胜的学生,买了若干本课外读物准备送给他们.如果每人送3本,则还余8本;如果前面每人送5本,则最后一人得到的课外读物不足3本.设该校买了m本课外读物,有x名学生获奖.请回答下列问题:
(1)用含x的代数式表示m;
(2)求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数.
分析:
不等字眼“不足3本”即是说全部课外读物减去5(x-1)本后所余课外读物应在大于等于0而小于3这个范围内.
解:
(1)m=3x+8
(2)由题意,得
∴不等式组的解集是:
5 ∵x为正整数,∴x=6. 把x=6代入m=3x+8,得m=26.答: 略 例5.某城市的出租汽车起步价为10元(即行驶距离在5千米以内都需付10元车费),达到或超过5千米后,每行驶1千米加1.2元(不足1千米也按1千米计).现某人乘车从甲地到乙地,支付车费17.2元,问从甲地到乙地的路程大约是多少? 分析: 本题采用的是“进一法”,对于不等关系的字眼“不足1千米也按1千米计”,许多同学在解题时都视而不见,最终都列成了方程类的应用题,事实上,顾客所支付的17.2元车费是以上限11公里来计算的,即顾客乘车的范围在10公里至11公里之间.理论上收费是按式子10+1.2(x-5)来进行的,而实际收费是取上限值来进行的. 解: 设从甲地到乙地的路程大约是x公里,依题意,得 10+5×1.2<10+1.2(x-5)≤17.2 解得10<x≤11 答: 从甲地到乙地的路程大于10公里,小于或等于11公里. 用一元一次不等式组解决实际问题的步骤: ⑴审题,找出不等关系; ⑵设未知数; ⑶列出不等式; ⑷求出不等式的解集; ⑸找出符合题意的值; ⑹作答。 (分配问题) 1、 设: 一共有X个小朋友,则玩具总数=3X+4件。 第二次分的时候,前面X-1个小朋友每人得到4件,则一共有4(X-1)=4X-4件。 余下的不足3件,也就是0<(3X+4)-(4X-4)<3 化简得0<-X+8<3,8>X>5 因为小朋友的人数为整数,所以X的取值有2个,分别是6人和7人。 当6个小朋友时,玩具总数22件,前5个每人分4件,最后1人得2件; 当7个小朋友时,玩具总数25件,前6个每人分4件,最后1人得1件。 2、 设: 预定每组x人。 由已知得: 8x+8>100 解得: x>11.5 根据实际情况,解得预定每组分配战士的人数至少12人。 3、 解: 设有x只猴子和y颗花生,则: y-3x=8,① 5x-y<5,② 由①得: y=8+3x,③ ③代入②得5x-(8+3x)<5, ∴x<6.5 因为y与x都是正整数,所以x可能为6,5,4,3,2,1,相应地求出y的值为26,23,20,17,14,11. 经检验知,只有x=5,y=23和x=6,y=26这两组解符合题意. 答: 有五只猴子,23颗花生,或者有六只猴子,26颗花生. 4 设有X名学生,那么有(3X+8)本书,于是有 0≤(3x+8)-5(x-1)<3 0≤-2x+13<3 -13≤-2x<-10 5 因为x整数,所以X=6。 即有6名学生,有26本书。 5、 设宿舍有x间 ∵如果每间数宿舍住4人,则有20人没有宿舍住 ∴学生人数为4x+20 ∵如果每间住8人,则有一间宿舍住不满 ∴0<8x-(4x+20)<8,x为整数 ∴0<4x-20<8 ∴20<4x<28 ∴5 ∴x=6即宿舍有6间,学生人数有4x+20=44人 6、 设有x个笼子 4x+1<40得x<=9 5(x-2)+3>4x+1得x>8 所以x=9 7、 设有X辆汽车 4X+20=8(X-1) 4X+20=8X-8 4X=28 X=7 有7辆汽车 8、 不空也不满表示最后一间房有1~5人。 6(x-1)<4x+19<6x 9.5 10间宿舍,59人 11间宿舍,63人 12间宿舍,67人 3组解 (积分问题) 1、 因为总共有20道题,一道未答,则总共答了19道题。 设答对X道,则答错(19-X)道题。 根据题意得: 5X-2(19-X)>=60 7X>=98 X>=14 所以,至少答对14题就及格了。 2、 解: 设至少需要做对x道题(x为自然数)。 4x-2×(25-x)≥60 4x-50+2x≥60 6x≥110 X≥19 答: 至少需要做对19道题。 3、 设神箭队答对x题。 则答错15-2-x,即(13-x)题 8x-4(13-x)>90 解得x>71/6 所以至少答对12道题 设飞艇队答对x题。 则答错(15-x)题 8x-4(15-x)>90 解得x>25/2 所以至少答对13道题 4、 8次: 5x8=40,40-2=38,38>35 追问 不等式的方法.....? 回答 恩。 。 。 因为每名射手打10枪必须打完 5 可令白球的个数x,则红球的个数(60-2x)/3; 依题意有: x<(60-2x)/3<2x,得: 7.5<x<12,, 故: 15<2x<24,-24<-2x<-15,得: 12<(60-2x)/3<15, (60-2x)/3=13时,x不是整数;因此(60-2x)/3=14;得x=9; 所以: 白球的个数9,红球的个数14. (比较问题) 1、 240*0.6=144240*0.5=120 假定有X个学生就有 240+120x>144(x+1) X=4所以至少4人选甲旅行社比较好 2、 答: 第x个月,李明的存款能超过王刚的存款 600+500x>2000+200x x>14/3 取x=5 到第5个月,李明的存款能超过王刚的存款 3、 设有X名学生去旅游。 则500*2+0.7*500X=0.8*500(X+2) 解得X=4 所以,当学生人数少于4人时,乙旅行社便宜。 当学生人数等于4人时,甲乙旅行社一样便宜。 当学生人数大于4人时,甲旅行社便宜。 (行程问题) 1、 解: 设后半小时的速度至少为x千米/小时 50+(1-1/2)x≥120 50+1/2x≥120 1/2x≥70 x≥140 答: 后半小时的速度至少是140千米/小时。 2、 假设导火索长为X厘米 人要跑100米,速度为5m/s,那么人就要跑100/2=20秒, 导火索长为xcm,速度为0.8cm/s,那么导火索燃烧的时间就是X/0.8秒 导火索燃烧的时间必须要大于人抛开的时间才会安全,就是: X/0.8》20 就是x》16 3 设王凯至少需要跑x分钟 210x+90(18-x)≤2100 210x+1620-90x≤2100 120x≤480 x=4 答: 所以至少需要跑4分钟 4、 解: 设后半小时的速度至少为x千米/小时 50+(1-1/2)x≥120 50+1/2x≥120 1/2x≥70 x≥140 答: 后半小时的速度至少是140千米/小时。 (车费问题) 1 解析本题属于列不等式解应用题. 设甲地到乙地的路程大约是xkm, 据题意,得 16<10+1.2(x-5)≤17.2, 解之,得10 即从甲地到乙地路程大于10km,小于或等于11km. 2、 解: 设此人从甲地到乙地经过的路程是xkm 19-2.4<7+2.4(x-3)≤19
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