完整版利用FEXP方法求401+141维BenjaminOno方程的精确解毕业设计.docx
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完整版利用FEXP方法求401+141维BenjaminOno方程的精确解毕业设计
2010年度本科生毕业论文(设计)
利用F-EXP方法求(1+1)维
BenjaminOno方程的精确解
院-系:
数学学院数学与应用数学系
专业:
数学与应用数学
年级:
2006级
学生姓名:
李彩云
导师及职称:
丁玉敏(教授)
2010年5月
2010AnnualGraduationThesis(Project)oftheCollegeUndergraduate
F-EXPfunctionMethodforSolvingExact
SolutionsofBenjaminOnoEquation
Department:
CollegeofMathematics
Major:
MathematicsandAppliedMathematics
Grade:
2006
Student’sName:
LiCaiyun
Tutor:
DingYumin(Professor)
FinishedbyMay,2010
毕业论文(设计)原创性声明
本人所呈交的毕业论文(设计)是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果.据我所知,除文中已经注明引用的内溶外,本论文(设计)不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果.对本论文(设计)的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中作了明确说明并表示谢意.
作者签名:
李彩云日期:
2010年6月12日
毕业论文(设计)授权使用说明
本论文(设计)作者完全了解红河学院有关保留、使用毕业论文(设计)的规定,学校有权保留论文(设计)并向相关部门送交论文(设计)的电子版和纸质版.有权将论文(设计)用于非赢利目的的少量复制并允许论文(设计)进入学校图书馆被查阅.学校可以公布论文(设计)的全部或部分内容.保密的论文(设计)在解密后适用本规定.
作者签名:
李彩云指导教师签名:
日期:
2010年6月12日日期:
李彩云毕业论文(设计)答辩委员会(答辩小组)成员名单
姓名
职称
单位
备注
龙瑶
教授
数学学院
主席(组长)
丁玉敏
教授
数学学院
谌孙康
讲师
数学学院
何应辉
讲师
数学学院
摘要
利用F-展开法与指数函数方法相结合并借助Maple软件,求出了(1+1)维BenjaminOno方程的大量的新的精确解,包括各种孤立波解和三角函数周期波解.
关键词:
F展开法;Exp函数方法;广义Riccati方程;(1+1)维BenjaminOno方程;
F-Exp方法
ABSTRACT
UsingthecombinationofF-expansionmethodandtheexponentialfunctionmethod,thehelpofMaplesoftware,tofindthe(1+1)-dimensionalBenjaminOnoequationofalargenumberofnewexactsolutions,whichincludesolitarywavesolutionsandtriangularfunctionperiodicwavesolutions.
Keywords:
F-expansionmethod;EXP-functionmethod;GeneralizedRiccatiequation;(1+1)-dimensionalBenjaminOnoequation;F-Expmethod;
目录
第一章引言1
第二章BenjaminOno方程的精确解2
2.1F-EXP函数法的基本思想2
2.2广义Riccati方程的精确解2
2.3BenjaminOno方程的求解及对解的变换和分析10
2.3.1BenjaminOno方程的一般解10
2.3.2BenjaminOno方程的精确解11
第三章结论16
参考文献17
致谢19
第一章引言
随着计算机代数理论的发展,许多复杂的代数计算可通过计算机来完成,非线性数学物理方程精确解的构造成为了科学家的主要研究对象.由于对非线性微分方程没有统一的求解方法,因此近年来一些特殊的方法相继被提出.利用计算机代数理论开发的符号计算软件如Mathematica和Maple等被广泛应用,在非线性发展方程方面,为了求其精确解,研究人员对力学及物理学中的一些重要方程进行了系统深入的研究.
在文献[1]中,戴世强研究了具有自由面的上部为浅层的大深度分层流体中的代数孤立波,考察其垂向结构所对应的本征值问题,给出了二维BenjaminOno方程的一个解析解,并根据色散关系作了物理解释.在文献[2]中,张领海用Leray-Schauder不动点定理与积分先验估计,研究一类带奇异积分微分项的BenjaminOno方程的Cauchy问题,证明了该问题整体弱解的存在性.在文献[3]中,韩效宵,郝海龙通过引入新的函数空间和采用一些特殊的技巧,对高阶BenjaminOno方程在时解的渐近行为做了比较深入细致的研究.在文献[4]中,张鸿庆,张玉锋利用屠格式求出了Benjamin方程的Bcklund变换、精确孤波解、非线性叠加公式及其无穷守恒律.在文献[5]中,jian-pingWeng研究了下列(1+1)维BenjaminOno方程
(1-1)
并使用其次平衡思想[6]和规则地混合指数函数[7]构建试探解,从而获得方程(1-1)的一些解析解.本文将F-展开法[8-10]和EXP-函数方法[11-13]相结合(简称F-EXP方法[14]),再次研究方程(1-1),获得了许多的新的精确解.
第二章BenjaminOno方程的精确解
2.1F-EXP函数法的基本思想
F-EXP方法是F-展开法与EXP-函数方法的有机结合.即:
对于给定的一个非线性偏微分方程
(2-1)
其中为及的各阶偏导数的一个多项式.
(1)令,(2-2)
其中为待定常数,利用(2-2)式,可将(2-1)式化为的常微分方程:
(2-3)
其中分别表示对求一阶、二阶、三阶……导数.
(2)设,(2-4)其中为待定常数,是非负整数,可由(2-3)式中具有支配地位的非线性项与最高阶导数项之间通过齐次平衡法来确定,且满足下列广义Riccati程:
(2-5)
其中为待定常数.将(2-4)式代人(2-3)式并利用(2-5)式,可将(2-3)的左边化为关于的多项式.令的各次幂的系数为零,得到关于,,的代数方程组,解此代数方程组,并将结果代人(2-4)式,就得到方程(1-1)用表示的行波解的一般形式.
(3)利用EXP-函数方法求出方程(2-5)的指数函数解,代人第
(2)步中所得到的一般
解中,从而得到方程(1-1)的指数函数解或孤立波解.
2.2广义Riccati方程的精确解
根据Exp方法,可设方程(2-5)的解为:
(2-6)
其中为待定常数.将(2-6)式带入(2-5)式,有(2-7)
其中为常数.令(2-7)式中的系数为零,有
(2-8)
解关于的代数方程组(2-8),得到如下六十一组参数值,相应就得到方程(2-5)的
七十八个解,表一如下:
表一(广义Riccati方程精确解)
序号
参数值
广义Riccati方程的解
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
2.3BenjaminOno方程的求解及对解的变换和分析
2.3.1BenjaminOno方程的一般解
为求(1-1)方程的一般解,作行波变换
(2-9)
其中为待定常数,将(2-9)式带入(1-1)式,可将(1-1)式的左端化为关于的ODE
(2-10)
其中分别表示对求四阶、一阶、二阶导数.由方程(2-10)中的非线性项和最高阶导数项齐次平衡,得.故可设
(2-11)
其中为待定常数,且,满足广义Riccati方程(2-5).利用(2-11)
式与(2-5)式可将(2-10)的左边化为关于的多项式.令的各次幂的系数为
零,得到关于,,的代数方程组:
解上述代数方程组得到:
(2-12)把(2-12)式代入(2-11)式可得:
(2-13)
2.3.2BenjaminOno方程的精确解
将表一中适合条件的广义Rccati方程的精确解代入到(2-13)式中可求得(1-1)的三十一个精确解:
如:
若令其中,为非零实数,则可将上述孤立波解分别化为如下的三角函数周期解:
利用软件将几个典型波形图绘制如下:
图(a)孤立尖波图(b)光滑的孤立波图(c)紧孤波
图(d)孤立波图(e)周期波图(f)周期波
图(g)周期爆破波图(h)周期波图(i)周期爆破波
对上述波形图进行分析:
图(a)孤立尖波解
图(b)光滑孤立波解
图(c)紧孤波解
图(d)孤立波解
图(e)周期波
解
图(f)周期波解
图(g)周期爆破波解
图(h)周期波解
图(i)周期爆破波解
第三章结论
本文借助一种新方法:
F-EXP方法,即将F-展开法与EXP-函数法两种方法巧妙结合.首先将非线性偏微分BenjaminOno方程经过行波变换化为常微分方程,然后解代数方程组得其一般解,再把广义Riccati方程的指数函数型精确解代入到BenjaminOno方程的一般解中,进而求得(1+1)维BenjaminOno方程的大量的新的精确解,包括各种孤立波解、三角函数周期波解.最后利用Maple软件画出了几种典型的波形图,这样使本文的精确解有了更形象直观的解释.
本文的方法在求解非线性发展方程中有很好的效果,因此也可以用到其他的非线性发展方程中去.但本文只应用前文广义Riccati方程的一种指数函数解对BenjaminOno方程进行研究,对它只做了一部分工作,因此还需要进行更多情况下的讨论研究.作者拟在今后的研究中对此问题进行更深的研究,以期得到非线性BenjaminOno方程的更丰富、更完美的解.
参考文献
[1]苏晓冰,魏岗,戴世强.
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