用4八年级下第9章中心对称平行四边形Word文档格式.docx
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如图1,
(1)旋转前的△ABC与旋转后的△EFC_______.
(2)对应点A和_______到旋转中心点C的距离相等,即AC=_______,对应点_______和F到_______的距离相等,即_______=FC.
(3)线段AC旋转至线段_______形成旋转角∠ACE,线段_______旋转至线段FC形成旋转角∠_______,应有_______=∠BCF.
二、四边形的概念及性质、中心对称及图形
1.四边形的定义:
同一平面内,由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.
2.四边形的性质:
(1)定理:
四边形的内角和是360°
;
(2)推论:
四边形的外角和是360°
.
2.中心对称即中心对称图形
1).
(1)中心对称的概念
一个图形绕着某一点旋转180º
,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这点对称,也称这两个图形成,这个点叫做对称中心。
如图2,将四边形ABCD绕点_______至少旋转_______度,
可与四边形A'
B'
C'
D'
完全重合,那么我们称四边形ABCD和四边
形A'
_______,对称中心是_______,点A和点A'
(点B和
点B'
、点C和点C'
、点D和点D'
)称为_______.
图2
(2)中心对称的性质
成中心对称的两个图形中,对应点的连线经过对称,且被对称中心平分。
如图1,当四边形ABCD和四边形A'
关于点O成中心对称时,
(1)连接对称点C和C'
(D和D'
),它们都经过_______.
2)中心对称图形的概念
如上图,把一个图形绕某一点旋转180º
,如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合,那么这个图形叫做,这个点就是它的对称中心。
如图3,将四边形的点B绕点O旋转180°
到_______点,将点A绕点O旋
转180°
到_______点,将点D绕点O旋转180°
到_______点,将点C绕点O旋
到_______点,此时,整个图形即绕点_______旋转了_______,我们发
现旋转后的图形与原图形_______,我们就把具有这种变换特征的图形称为图3
__________________.绕着固定不动的那个点称为图形的_______.
说明:
从定义知,中心对称图形是一个图形,成中心对称是两个图形
3).对比轴对称图形与中心对称图形
4).正确识别中心对称图形
根据中心对称图形的概念,
(1)在图形上找一些关键点,看它们的对称点的连线是否过同一点;
(2)观察、分析其他点绕这个公共交点旋转180°
能否与自身重合.
5).巧妙设计,准确画图
步骤:
(1)确定对称中心;
(2)选择关键点,连接这些关键点与对称中心,并延长一倍;
(3)对照并连接对称线段,
三.平行四边形及特殊四边形
1.平行四边形
1).平行四边形的定义:
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
如图1,_______∥_______,_______∥_______,则四边形ABCD是
_______,记作_______,读作_______.
2).平行四边形是中心对称图形
观察图4,将△ABC绕AC边的中点O旋转180°
,可得到△_______,
则△_______和△___________关于点_______成_______对称,由性质可以得
到∠BAC=∠_______,∠BCA=∠_______,所以_______∥_______,
_______∥_______,所以由概念可知四边形ABCD是平行四边形.综上可
知□ABCD是_______图形,对称中心是_______.图4
3).平行四边形的性质:
(1)平行四边形的对边平行且相等;
(2)平行四边形的对角相等;
(3)平行四边形的对角线互相平分;
平行四边形的性质
(1)边:
____________________________;
____________________________.
(2)角:
(3)对角线:
______________________________________________________.
4).平行四边形的判定方法:
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义);
(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行四边形的识别方法
①边:
②对角线:
4).面积公式:
S=ah(a是平行四边形的一条边长,h是这条边上的高).
2.矩形
1).矩形的定义:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形是中心对称图形
如图1,将△AOB绕顶点O旋转180°
,得到△_______;
将
△BOC绕顶点O旋转180°
将Rt△ABC绕斜边
中点O旋转180°
,得到Rt△_______;
将Rt△ABD绕斜边中点O
旋转180°
,得到Rt△_______.
2).矩形的性质:
矩形具有平行四边形的所有性质;
(1)矩形的对边平行且相等;
(2)矩形的四个角都相等,且都是直角;
(3)矩形的对角线互相平分且相等.
3).矩形的判定方法:
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义);
(2)有三个角是直角的四边形是矩形;
(3)对角线相等的平行四边形是矩形.
矩形的识别方法(如图1)
①.从“平行四边形”的角度考虑
∵在ABCD中,∠ABC=_______°
,
∴四边形ABCD为矩形().
∵在口ABCD中,_______=_______,
②.从“四边形”的角度考虑
∵∠ABC=∠_______=∠_______=_______°
S=ab(a、b是矩形的边长).
3.菱形
1).菱形的定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
.菱形是中心对称图形
如图1,将Rt△AOB绕直角顶点O旋转180°
△BOC绕直角顶点O旋转180°
将△ABC绕AC边的中
点O旋转180°
将△ABD绕BD边的中点O旋转180°
得到△_______.
2).菱形的性质:
菱形具有平行四边形的所有性质;
(1)菱形的对边平行,四条边都相等;
(2)菱形的对角相等;
(3)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角.
3).菱形的判定方法:
(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义);
(2)四条边都相等的四边形是菱形;
(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
菱形的识别方法(如图1)
①②③④1.从“平行四边形”的角度考虑
(1)∵在□ABCD中,AB=_______,
∴四边形ABCD为菱形().
(2)∵在□ABCD中,_______⊥_______,
2.从“四边形”的角度考虑
∵AB=_______=_______=_______,
S=ah(a是平行四边形的边长,h是这条边上的高)或s=
mn(m、n是菱形的两条对角线长).
4.正方形
1).正方形的定义:
有一组邻边相等的矩形叫做正方形;
或有一个角是直角的菱形叫做正方形.
2).正方形的性质:
正方形具有平等四边形、矩形、菱形的所有性质;
(1)正方形的对边平行,四条边都相等;
(2)正方形的四个角都是直角;
(3)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分;
每条对角线平分一组对角;
3).正方形的判定方法:
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形;
(2)有一个角是直角的菱形是正方形;
(3)对角线相等的菱形是正方形;
(4)对角线互相垂直的矩形是正方形.
(如图2)正方形的识别方法
①②③④
(1)从“平行四边形”的角度考虑
∵□ABCD中,_______=_______,∠_______°
=_______°
∴四边形ABCD为正方形().
(2)从“矩形”的角度考虑
∵在矩形ABCD中,_______=_______,
(3)从“菱形”的角度考虑
∵在菱形ABCD中,∠_______=∠_______°
S=a2(a是边长)或s=
b2(b正方形的对角线长).
四.三角形中位线的概念(如图1)
1.连接三角形两边中点的线段叫做
2.三角形中位线的性质:
三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半
考点归纳:
考点一.图形的旋转
例1 如图,Rt△A'
BC'
是由Rt△ABC绕点B旋转而得的,且点A、
B、C'
在同一条直线上,若∠C=90°
,BC=2,∠ABC=60°
,则旋转中心是
_______,旋转角度是_______°
,BC'
=_______,∠A'
.
例2如图①,画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°
后
的△A'
例3.(2014•青岛)如图,△ABC的顶点都在方格线的交点(格点)上,如果将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°
,那么点B的对应点B′的坐标是 .
例4.★★(2014•黑龙江哈尔滨)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,∠B=60°
,BC=2,△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到,其中点A′与点A是对应点,点B′与点B是对应点,连接AB′,且A、B′、A′在同一条直线上,则AA′的长为多少?
例5.(2014年湖北荆门)如图,在4×
4的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠面积,且组成的图形是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有( )
第5题
.练习
1.(2014•黑龙江绥化)下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A.
角
B.
等边三角形
C.
平行四边形
D.
圆
2.如图,P是等边△ABC内的一点,若将△PBC绕点B旋转到△P'
BA的位置,则∠PBP'
的度数是()
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
第2题第4题第5题
3.钟表分针的运动可看做是一种旋转现象,一只标准时钟的分针匀速旋转,经过15分钟旋转了_______
4.如图,在Rt△OAB中,∠OAB=90°
,OA=AB=6,将△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°
得到△OA1B1,则线段OA1的长是_______,∠AOB1的度数是_______°
5.如图,△ABC与△CDE都是等边三角形,图中的△_______和△________至少可以旋转_______°
互相得到.
6.画出四边形ABCD绕点O按逆时针方向旋转90°
后的四边形A'
7.如图,P是正方形ABCD内的一点,将△ABP绕点B按顺时针方向旋转与△CBP'
重合,若PB=1,求PP'
的长.
8.★★★(2014•黑龙江龙东)如图,等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC=1,且AC边在直线a上,将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1,此时AP1=
将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②,可得到点P2,此时AP2=1+
将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③,可得到点P3,此时AP3=2+
…,按此规律继续旋转,直至得到点P2014为止.则AP2014= .
考点二.中心对称和中心对称图形
例1如图,两个五角星关于某一点成中心对称(D、C、A、H、E五
点共线),指出哪一点是对称中心以及图中点A、B、C、D的对称点.
例2如图①,已知等边△ABC和点O,画△A1B1C1,
使△A1B1C1和△ABC关于点O对称.
例3如图,在△ABC中,AB=AC,E为AB上的一点,F是AC延
长线上的一点,EF交BC于点D,DE=DF,试说明BE=CF成立的
理由.
例4如图,有两个正方形花坛,现准备把每个花坛都分成形状相同的四块,种上不同的花草,左边的两个图案是设计示例,请你在右边的两个正方形中再设计两个不同的图案.
示例请你设计
例5.★★如图,在△ABC中,D是AB边的中点,AC=4,BC=6.
(1)作出△CDB关于点D成中心对称的图形.
(2)求CD的取值范围.
练习
1.如图,△ABO与△CDO关于点O成中心对称,则在同一直线上的三点
有______________,并且AO=_______,BO=_______.
2.已知图中的两个多边形都是成中心对称的图形,你能分别找出它们的对
称中心吗?
3.下列几何图形:
①两条互相平分的线段;
②两个互相交叉的圆;
③两个有公共顶点的角;
④有一个公共顶点的两个正方形.其中,一定是中心对称图形的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.如图,直线a垂直于直线b,试作线段MN分别关于a、b成轴对称的线段M'
N'
和M"
N"
,并说明线段M'
和线段M"
关于交点O成中心对称.
5.如图,已知△ABC和△A'
关于某一点对称,王林同学不小心把墨水泼在纸上,只能看到△ABC和线段BC的对应线段B'
,请你帮王林同学找到对称中心O,且补全△A'
6.(2013•厦门)在平面直角坐标系中,已知点A(-4,1),
B(-2,0),C(-3,-1),请在图6上
画出△ABC,并画出与△ABC关于
原点O对称的图形;
7.在一个4m×
3m的长方形地块上,欲开出一部分作为花坛,其图案为中心对称图形,且花坛的面积为长方形面积的一半,如图是两种设计方案(阴影部分为花坛),你还能提供另外两种不同的设计方案吗?
考点三、平行四边形
3-1.平行四边形的性质
例1在□ABCD中,
(l)若∠A=100°
,则∠C=_______;
(2)若∠A:
∠B=2:
1,则∠A=_______,∠B=_______;
(3)若∠A+∠C=140°
,则∠C=_______,∠B=_______;
(4)若AB:
BC=4:
3,周长为28cm,则AD=_______,CD=_______;
(5)若□ABCD的周长为60cm,对角线相交于点O,△AOB的周长比△BOC的周长多8cm,则AB=_______,BC=_______.
例2如图,在□ABCD中,∠ABC、∠ADC的平分线分别交对边于点
E、F,交对角线AC于点G、H,试说明AH=CG.
例3.如图,在□ABCD中,∠ABD=90°
,∠ADB=30°
,则四个内角的度数分别为_______°
、_______°
例4.★★(2014•广西贺州)如图,四边形ABCD是平行四边形,E、F是对角线BD上的点,∠1=∠2.
(1)求证:
BE=DF;
例5.已知O是□ABCD的对角线交点,AC=24,BD=38,AD=14,那么△OBC的周长等于_______.
例6.★★(2014•襄阳)在▱ABCD中,BC边上的高为4,AB=5,AC=2
,则▱ABCD的周长等于多少?
1.在□ABCD中,如果∠B=100°
,那么∠A、∠D的度数分别是()
A.∠A=80°
、∠D=100°
B.∠A=100°
、∠D=80°
C.∠B=80°
D.∠A=100°
2.在□ABCD中,AB=5cm,BC=4cm,则□ABCD的周长为_______.
第4题第5题
3.平行四边形的周长等于56cm,两邻边长的比为3:
1,那么这个平行四边形较长边的长为_______.
4.如图,在□ABCD中,AD=8cm,AB=6cm,DE平分∠ADC,交BC边于点E,则BE的长为()
5.如图,在□ABCD中,AC、BD为对角线,BC=6,BC边上的高为4,则阴影部分的面积为()
3-2平行四边形的判定.
例1如图,在□ABCD中,点E、F分别在AD、BC上,且AE=CF,AF、BE相交于点G,CE、DF相交于点H.试说明EGFH是平行四边形.
例2.如图,E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE.
试说明:
(1)△AFD≌△CEB.
(2)四边形ABCD是平行四边形.
例3如图,E、F是□ABCD对角线AC上的两点,并且AE=CF.
试说明四边形BFDE是平行四边形.(用两组对边分别相等及对角线相互平分两种方法证明)
例4.如图,BD是□ABCD的对角线,点E、F在BD上,要使四边形AECF是平行四边形,还需要增加的一个条件是______________.
例5.★★★★(2014•浙江湖州)在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q,下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线(箭头表示行进的方向),则路程最长的行进路线图是( )
A.
B.
D.
1.(2014·
云南昆明)如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是
A.AB∥CD,AD∥BCB.OA=OC,OB=OD
C.AD=BC,AB∥CDD.AB=CD,AD=BC
2.如图,在□ABCD中,EF∥AB,GH∥AD,EF与GH相交于点O,则图中平行四边形的个数是()
A.7B.8C.9D.11
3.一个四边形的三个内角的度数依次如下,其中是平行四边形的是()
A.88°
、108°
、88°
B.88°
、104°
C.88°
、92°
D.88°
4.如图,四边形ABDC和四边形CDFE都是平行四边形.
(1)AB与EF的位置关系如何?
AB与EF的数量关系如何?
(2)观察四边形ABFE,它是怎样的四边形?
请说明理由.
6.如图,E、F是□ABCD对角线AC上的两点,BE∥DF,试说明AF=CE.
7.如图,在□ABCD中,点E、F分别在BA、DC的延长线上,且AE=
AB,CF=
CD.则AF和CE的关系如何?
\
考点四、矩形
4-1矩形的性质及应用
例1如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,∠AOD=120°
,AB=4cm,求矩形对角线的长.
例2如图,在矩形ABCD中,AC、BD相交于点O,AE平分∠BAD,交
BC于点E,若∠CAE=15°
,试求∠BOE的度数.
例3.(2014•江苏苏州)如图,在矩形ABCD中,
=
,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交边AD于点E.若AE•ED=
,则矩形ABCD的面积为多少?
1.下列性质:
①对边平行且相等;
②对角线互相平分;
③对角相等;
④对角线相等;
⑤4个角都是90°
⑥是轴对称图形,其中,矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是_______(填序号).
2.矩形的两条对角线所成的钝角为120°
,若一条对角线的长是2,则它的周长是()
A.6B.2
C.2(1+
)D.1+
3.矩形的一条对角线长为10,则另一条对角线长为_______,若一边长为8,则矩形的面积为_______.
4.如图,在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,BE⊥AC于E,CF⊥BD于F,试说明BE=CF.
5.如图,在矩形ABCD中,AF=BE,试说明DE=CF.
4-2.矩形的判定及应用
例1如图,四边形ABCD是平行四边形,M是AD的中点,
且BM=CM,试说明四边形ABCD是矩形.
例2.如图,AB∥CD,GM、GN、HM
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