高考数学第二次质检数学理试题及答案.docx
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高考数学第二次质检数学理试题及答案
2015年高中毕业班质量检测
理科数学能力测试
(完卷时间:
120分钟;满分:
150分)
注意事项:
1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名;
2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟.
参考公式:
1.样本数据的标准差
,
其中为样本平均数;
2.球的表面积、体积公式:
,
其中为球的半径.
第Ⅰ卷(选择题共50分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题所给的四个选项中有
且只有一个选项是正确的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上.)
1.已知全集,集合,,则等于
A.B.C.D.
2.在平面直角坐标系中,已知角的顶点与点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边上一点的坐标为,则的值是
A.B.0C.D.1
3.在等差数列中,若,,则的值是
A.B.C.D.
4.若,则的大小关系为
A.B.
C.D.
5.执行如图所示的程序框图,输出的值为
A.B.1C.D.
6.在棱长为3的正方体内任取一点,则点到该正方体的六个面的距离的最小值不大于1的概率为
A.B.C.D.
7.“直线垂直于平面”的一个必要不充分条件是
A.直线与平面内的任意一条直线垂直B.过直线的任意一个平面与平面垂直C.存在平行于直线的直线与平面垂直D.经过直线的某一个平面与平面垂直
8.已知是边长为1的正三角形,动点在平面内.若,,则的取值范围为
A.B.
C.D.
9.若函数满足:
,都有成立,则称.对于函数,有
A.且B.且
C.且D.且
10.某医务人员说:
“包括我在内,我们社区诊所医生和护士共有16名.无论是否把我算在内,下面说法都是对的.在这些医务人员中:
护士多于医生;女医生多于女护士;女护士多于男护士;至少有一名男医生.”请你推断说话的人的性别与职业是
A.男医生B.男护士C.女医生D.女护士
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置上.)
11.已知,为虚数单位,若,则 ★★★.
12.展开式的常数项为,则正数★★★.
13.已知抛物线的焦点为,是的准线上一点,是直线与的一个交点.若,则直线的方程为 ★★★ .
14.已知一组正数的方差,则数据的平均数为 ★★★ .
15.已知函数,有下列四个结论:
函数的图象关于轴对称;
存在常数,对任意的实数,恒有成立;
对于任意给定的正数,都存在实数,使得;
函数的图象上至少存在三个点,使得该函数在这些点处的切线重合.
其中正确结论的序号是★★★(请把所有正确结论的序号都填上).
三、解答题(本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16.(本小题满分13分)
已知函数的图象与直线的相邻两个交点之间的
距离为.
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)设的内角所对的边分别是.若,求角
的大小.
17.(本小题满分13分)
调查表明,中年人的成就感与收入、学历、职业的满意度的指标有极强的相关性.现
将这三项的满意度指标分别记为,并对它们进行量化:
0表示不满意,1表示基本满意,2表示满意,再用综合指标的值评定中年人的成就感等级:
若,则成就感为一级;若,则成就感为二级;若,则成就感为三级.为了了解目前某群体中年人的成就感情况,研究人员随机采访了该群体的10名中年人,得到如下结果:
人员编号
人员编号
(Ⅰ)在这10名被采访者中任取两人,求这两人的职业满意度指标相同的概率;
(Ⅱ)从成就感等级是一级的被采访者中任取一人,其综合指标为,从成就感等
级不是一级的被采访者中任取一人,其综合指标为,记随机变量,求的分布列及其数学期望.
18.(本小题满分13分)
已知一个空间几何体的直观图和三视图(尺寸如图所示).
(Ⅰ)设点为棱中点,求证:
平面;
(Ⅱ)线段上是否存在一点,使得直线与平面所成角的正弦值等于
?
若存在,试确定点的位置;若不存在,请说明理由.
19.
第19题图
(本小题满分13分)
如图,已知椭圆()的离心率.点分别为椭圆的
左焦点和右顶点,且.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点作一条直线交椭圆于两点,点关
于轴的对称点为.若,求证:
.
20.(本小题满分14分)
已知函数,,为自然对数的底数.
(Ⅰ)当时,求函数在点处的切线方程;
(Ⅱ)设,比较与的
大小,并加以证明.
21.本题设有
(1)
(2)(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.若多做,则按所做的前两题计分.
(1)(本小题满分7分)选修4-2:
矩阵与变换
已知矩阵的逆矩阵.
(Ⅰ)求矩阵;
(Ⅱ)求曲线在矩阵所对应的线性变换作用下所得的曲线方程.
(2)(本小题满分7分)选修4-4:
坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为(为参数).在平面直角坐标系中,以坐
标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)把的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求与交点的极坐标().
(3)(本小题满分7分)选修4-5:
不等式选讲
已知定义在上的函数的最小值为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求不等式的解集.
理科数学能力测试参考答案及评分细则
第Ⅰ卷(选择题共50分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.)
1.A2.B3.B4.C5.C6.D7.D8.A9.C10.B
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分.)
11.12. 13.或14. 15.
三、解答题(本大题共6小题,共80分.)
16.本小题主要考查三角函数的图象与性质(对称性、周期性、单调性)、两角差的正弦公式、利用正弦定理解三角形等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.满分13分.
解:
(Ⅰ)因为,
所以.1分
所以函数的最大值为2.2分
因为函数的图象与直线的相邻两个交点之间的距离为,
所以,3分
所以,解得4分
所以
令,5分
解得.
所以函数的单调递增区间是.6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
在中,因为
所以7分
所以
因为,所以.9分
因为,根据据正弦定理,有,10分
所以,所以,11分
因为,所以,所以,12分
所以.13分
17.本小题主要考查离散型随机变量的概率、分布列、数学期望等基础知识,考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识,考查必然与或然思想等.满分13分.
解:
(Ⅰ)设事件为“从10名被采访者中随机抽取两人,他们的职业满意度指标相同”.
职业满意度指标为0的有:
;
职业满意度指标为1的有:
,,,;
职业满意度指标为2的有:
,,.
从10名被采访者中随机抽取两人的所有可能结果数为,1分
,2分
职业满意度指标相同的所有可能结果数为3分
,4分
所以他们的职业满意度指标相同的概率.5分
(Ⅱ)计算10名被采访者的综合指标,可得下表:
人员编号
综合指标
4
4
6
2
4
5
3
5
1
3
其中成就感是一级的()有:
、、、、、,共6名,成就感不是一级的()有、、、,共4名.
随机变量的所有可能取值为:
.6分
7分
,8分
,9分
10分
,11分
所以的分布列为
1
2
3
4
5
12分
所以.13分
18.本小题主要考查空间体的直观图与三视图、直线与平面的平行、线面所成角、探索性问题等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.满分13分.
(Ⅰ)证明:
(方法一)由三视图知,两两垂直,故以为原点,分别为轴,轴,轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.…………………1分
则,
所以,
易知平面的一个法向量等于,………3分
所以,
所以,4分
又平面,
所以∥平面.5分
(方法二)由三视图知,两两垂直.
连结,其交点记为,连结,.1分
因为四边形为矩形,
所以为中点.因为为中点,
所以∥,且.………………………2分
又因为∥,且,
所以∥,且=.
所以四边形是平行四边形,
所以∥………………………………………4分
因为平面,平面
所以∥平面.5分
(Ⅱ)解:
当点与点重合时,直线与平面所成角的正弦值为.6分
理由如下:
因为,设平面的法向量为,
由得7分
取,得平面的一个法向量.8分
假设线段上存在一点,使得直线与平面所成角的正弦值等于.
设,
则,.9分
所以10分
.12分
所以,
解得或(舍去).
因此,线段上存在一点,当点与点重合时,直线与平面所成角的正弦值等于.13分
19.本小题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与椭圆的位置关系、推理与证明等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想等.满分13分.
解:
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,依题意,得2分
解得3分
所以椭圆的方程为.4分
(Ⅱ)方法一:
依题意得,与坐标轴不垂直.设.因为点与点关于轴对称,所以.由(Ⅰ)讨论可知,.
因为,所以直线与直线的斜率相等,故,6分
解得.7分
又因为点在椭圆上,所以,或.8分
由椭圆对称性,不妨取,则直线的斜率.
所以直线方程为.9分
由得点坐标为.10分
所以,11分
.12分
所以.13分
方法二:
依题意,得与坐标轴不垂直.
设方程为(),.
因为点与点关于轴对称,所以.
又因为椭圆关于轴对称,所以点也在椭圆上.
由消去得.5分
所以.6分
因为,所以直线的方程为.
由消去得.7分
因为直线交椭圆于两点,
所以,故.8分
所以,
解得.9分
所以.10分
所以,
.12分
所以.13分
方法三:
依题意,得与坐标轴不垂直.
设方程为(),.
因为点与点关于轴对称,所以.
又因为椭圆关于轴对称,所以点也在椭圆上.
直线过定点,5分
理由如下:
由消去得.6分
所以.7分
所以,
.9分
因为,
所以,11分
所以,所以三点共线,即直线过定点.12分
因为为线段中点,,
所以.13分
方法四:
依题意,得与坐标轴不垂直.
设方程为(),.
因为点与点关于轴对称,所以.5分
因为三点共线,所以与共线,
所以.6分
因为,所以可设(),即,
所以.7分
所以,即.8分
依题意,,所以.9分
因为点在椭圆上,所以,
解得或.10分
由椭圆对称性,不妨取,则
,
因为点在椭圆上,所以,
解得或(舍去).12分
所以,即.13分
方法六:
依题意,得与坐标轴不垂直.
设方程为(),.
因为点与点关于轴对称,所以.
由消去得.6分
所以.7分
因为,所以直线的方程为.
由消去得,.8分
因为直线交椭圆于两点,
所以,即.9分
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- 高考 数学 第二次 质检 学理 试题 答案