第8讲 曲线与方程 优化方案高考总复习数学文新课标.docx
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第8讲曲线与方程优化方案高考总复习数学文新课标
第8讲 曲线与方程
1.曲线与方程
在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解.
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.
那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.
2.曲线的交点
设曲线C1的方程为F1(x,y)=0,曲线C2的方程为F2(x,y)=0,则C1,C2的交点坐标即为方程组的实数解,若此方程组无解,则两曲线无交点.
3.求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系.
(2)设点——设轨迹上的任一点P(x,y).
(3)列式——列出动点P所满足的关系式.
(4)代换——依条件式的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x,y的方程式,并化简.
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.
导师提醒
1.注意区分两个条件
(1)如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P0(x0,y0)在曲线上的充要条件是f(x0,y0)=0.
(2)“曲线C是方程f(x,y)=0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”的充分不必要条件.
2.会用三种数学思想
(1)函数与方程思想:
求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x,y的方程及函数关系.
(2)数形结合思想:
由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合.
(3)等价转化思想:
通过坐标系使“数”与“形”相互结合,在解决问题时又需要相互转化.
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.( )
(2)方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线.( )
(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.( )
(4)方程y=与x=y2表示同一曲线.( )
(5)y=kx与x=y表示同一直线.( )
答案:
(1)√
(2)× (3)× (4)× (5)×
若M,N为两个定点,且|MN|=6,动点P满足·=0,则P点的轨迹是( )
A.圆B.椭圆
C.双曲线D.抛物线
解析:
选A.因为·=0,所以PM⊥PN.
所以点P的轨迹是以线段MN为直径的圆.
已知点O(0,0),A(1,-2),动点P满足|PA|=3|PO|,则P点的轨迹方程是( )
A.8x2+8y2+2x-4y-5=0
B.8x2+8y2-2x-4y-5=0
C.8x2+8y2+2x+4y-5=0
D.8x2+8y2-2x+4y-5=0
解析:
选A.设P点的坐标为(x,y),
则=3,
整理得8x2+8y2+2x-4y-5=0.
平面上有三个不同点A(-2,y),B,C(x,y),若⊥,则动点C的轨迹方程为________.
解析:
=,=,
由⊥,得·=0,
即2x+·=0,
所以动点C的轨迹方程为y2=8x(x≠0).
答案:
y2=8x(x≠0)
已知F是抛物线y=x2的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF中点的轨迹方程是________.
解析:
因为抛物线x2=4y的焦点F(0,1),设线段PF的中点坐标是(x,y),则P(2x,2y-1)在抛物线x2=4y上,所以(2x)2=4(2y-1),化简得x2=2y-1.
答案:
x2=2y-1
定义法求轨迹方程(典例迁移)
已知A(-5,0),B(5,0),动点P满足||,||,8成等差数列,则点P的轨迹方程为________.
【解析】 由已知得||-||=8,
所以点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支,
且a=4,b=3,c=5,
所以点P的轨迹方程为-=1(x≥4).
【答案】 -=1(x≥4)
[迁移探究] (变条件)若将本例中的条件“||,||,8”改为“||,||,8”,求点P的轨迹方程.
解:
由已知得||-||=8,
所以点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的左支,且a=4,b=3,c=5,
所以点P的轨迹方程为-=1(x≤-4).
定义法求轨迹方程
(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据曲线的方程,写出所求的轨迹方程.
(2)利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.
1.(2019·豫北名校联考)已知△ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为__________________.
解析:
设A(x,y),由题意可知D.又因为|CD|=3,所以+=9,即(x-10)2+y2=36,由于A、B、C三点不共线,所以点A不能落在x轴上,即y≠0,所以点A的轨迹方程为(x-10)2+y2=36(y≠0).
答案:
(x-10)2+y2=36(y≠0)
2.如图,已知△ABC的两顶点坐标A(-1,0),B(1,0),圆E是△ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等),动点C的轨迹为曲线M,求曲线M的方程.
解:
由题知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4>|AB|,
所以曲线M是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点).
设曲线M:
+=1(a>b>0,y≠0),
则a2=4,b2=a2-=3,
所以曲线M的方程为+=1(y≠0).
直接法求轨迹方程(多维探究)
角度一 已知动点满足的关系式求轨迹方程(或
判断轨迹)
已知点F(0,1),直线l:
y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且·=·,则动点P的轨迹C的方程为( )
A.x2=4y B.y2=3x
C.x2=2yD.y2=4x
【解析】 设点P(x,y),则Q(x,-1).
因为·=·,
所以(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2),
即2(y+1)=x2-2(y-1),
整理得x2=4y,
所以动点P的轨迹C的方程为x2=4y.
【答案】 A
角度二 无明确等量关系求轨迹方程
(一题多解)已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:
直角顶点C的轨迹方程.
【解】 法一:
设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.
因为AC⊥BC,所以kAC·kBC=-1,又kAC=,kBC=,所以·=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.
因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).
法二:
设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2.由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点).
所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).
直接法求曲线方程的一般步骤
(1)建立合理的直角坐标系.
(2)设出所求曲线上点的坐标,把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程.
(3)化简整理这个方程,检验并说明所求的方程就是曲线的方程.
直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程,要注意“翻译”的等价性.
[提醒] 对方程化简时,只要前后方程解集相同,证明一步可以省略,必要时可说明x,y的取值范围.
1.已知|AB|=2,动点P满足|PA|=2|PB|,则动点P的轨迹方程为________.
解析:
如图所示,以AB的中点O为原点,直线AB为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).
设P(x,y),因为|PA|=2|PB|,
所以=2,
整理得x2+y2-x+1=0,
即+y2=.
所以动点P的轨迹方程为+y2=.
答案:
+y2=
2.如图,过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴非负半轴于A点,l2交y轴非负半轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.
解:
设点M坐标为(x,y).
因为M(x,y)为线段AB中点,
所以点A,B的坐标分别为A(2x,0),B(0,2y).
当x≠1时,因为l1⊥l2,且l1,l2过点P(2,4),
所以kPA·kPB=-1,
即·=-1(x≠1),
化简得x+2y-5=0(x≠1).
当x=1时,A,B分别为(2,0),(0,4),
所以线段AB的中点为(1,2),
满足方程x+2y-5=0(x≥0,y≥0).
综上,M的轨迹方程为x+2y-5=0(x≥0,y≥0).
相关点法(代入法)求轨迹方程(师生共研)
如图所示,抛物线E:
y2=2px(p>0)与圆O:
x2+y2=8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M.
(1)求p的值;
(2)求动点M的轨迹方程.
【解】
(1)由点A的横坐标为2,可得点A的坐标为(2,2),
代入y2=2px,解得p=1.
(2)由
(1)知抛物线E:
y2=2x.
设C,D,y1≠0,y2≠0,切线l1的斜率为k,则切线l1:
y-y1=k,代入y2=2x,
得ky2-2y+2y1-ky=0,由Δ=0,解得k=,
所以l1的方程为y=x+,
同理l2的方程为y=x+.
联立解得
易知CD的方程为x0x+y0y=8,
其中x0,y0满足x+y=8,x0∈[2,2],
由得x0y2+2y0y-16=0,
则
代入
可得M(x,y)满足可得
代入x+y=8,并化简,得-y2=1,
考虑到x0∈[2,2],知x∈[-4,-2],
所以动点M的轨迹方程为-y2=1,x∈[-4,-2].
1.如图,已知P是椭圆+y2=1上一点,PM⊥x轴于M.若=λ.
(1)求N点的轨迹方程;
(2)当N点的轨迹为圆时,求λ的值.
解:
(1)设点P,点N的坐标分别为P(x1,y1),N(x,y),
则M的坐标为(x1,0),且x=x1,
所以=(x-x1,y-y1)=(0,y-y1),
=(x1-x,-y)=(0,-y),
由=λ得(0,y-y1)=λ(0,-y).
所以y-y1=-λy,即y1=(1+λ)y.
因为P(x1,y1)在椭圆+y2=1上,
则+y=1,所以+(1+λ)2y2=1,
故+(1+λ)2y2=1为所求的N点的轨迹方程.
(2)要使点N的轨迹为圆,则(1+λ)2=,
解得λ=-或λ=-.
故当λ=-或λ=-时,N点的轨迹是圆.
2.已知曲线E:
ax2+by2=1(a>0,b>0),经过点M的直线l与曲线E交于点A,B,且=-2.若点B的坐标为(0,2),求曲线E的方程.
解:
设A(x0,y0),因为B(0,2),M,
故=,=.
由于=-2,
所以=-2.
所以x0=,y0=-1,即A.
因为A,B都在曲线E上,
所以解得
所以曲线E的方程为x2+=1.
分类讨论思想在曲线方程中的应用
已知抛物线y2=2px经过点M(2,-2),椭圆+=1的右焦点恰为抛物线的焦点,且椭圆的离心率为.
(1)求抛物线与椭圆的方程;
(2)若P为椭圆上一个动点,Q为过点P且垂直于x轴的直线上的一点,=λ(λ≠0),试求Q的轨迹.
【解】
(1)因为抛物线y2=2px经过点M(2,-2),
所以(-2)2=4p,解得p=2.
所以抛物线的
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