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2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
教具重点探索30°
角的三角函数值.
2.能够进行含30°
角的三角函数值的计算比较锐角三角函数值的大小.
教学难点
进一步体会三角函数的意义.
教学方法
自主探索法
教学准备
一副三角尺
多媒体演示
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
[问题]为了测量一棵大树的高度,准备了如下测量工具:
①含30°
和60°
两个锐角的三角尺;
②皮尺.请你设计一个测量方案,能测出一棵大树的高度.
(用多媒体演示上面的问题,并让学生交流各自的想法)
[生]我们组设计的方案如下:
让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处,使这位同学拿起三角尺,她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点,30°
的邻边和水平方向平行,用卷尺测出AB的长度,BE的长度,因为DE=AB,所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.
[生]在Rt△ACD中,∠CAD=30°
,AD=BE,BE是已知的,设BE=a米,则AD=a米,如何求CD呢?
[生]含30°
角的直角三角形有一个非常重要的性质:
30°
的角所对的边等于斜边的一
半,即AC=2CD,根据勾股定理,(2CD)2=CD2+a2D=a.
则树的高度即可求出.
[师]我们前面学习了三角函数的定义,如果一个角的大小确定,那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定,如果能求出30°
的正切值,在上图中,tan30°
=,则CD=
atan30°
,岂不简单.
你能求出30°
角的三个三角函数值吗?
Ⅱ.讲授新探索30°
[师]观察一副三角尺,其中有几个锐角?
它们分别等于多少度?
[生]一副三角尺中有四个锐角,它们分别是30°
.
[师]sin30°
等于多少呢?
你是怎样得到的?
与同伴交流.
[生]sin30°
=0°
表示在直角三角
形中,30°
角的对边与
斜边的比值,与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°
角所对的边为a(如图所示),根据“直角三角形中30°
角所对的边等于斜边的一半”的性质,则斜边等于2a.根据勾股定理,可知30°
角的邻边为a,所以sin30°
=[师]cos30°
等于多少?
tan30°
呢?
[生]cos30°
=an30°
[师]我们求出了30°
角的三个三角函数值,还有两个特殊角——45°
,它们的三角函数值分别是多少?
你是如何得到的?
[生]求60°
的三角函数值可以利用求30°
角三角函数值的三角形.因为30°
角的对边和邻边分别是60°
角的邻边和对边.利用上图,很容易求得sin60°
0°
an60°
=[生]也可以利用上节课我们得出的结论:
一锐角的正弦等于它余角的余弦,一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°
=cos(90°
-60°
)=cos30°
=cos60°
=sin(90°
-
60°
)=sin30°
[师生共析]我们一同来
求45°
角的三角函数值.含
45°
角的直角三角形是等腰
直角三角形.(如图)设其中一
条直角边为a,则另一条直角
边也为a,斜边a.由此可求得°
°
=an45°
=
[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示)
30°
角的三角函数值
三角函数角
sinαcoαtanα
45°
这个表格中的30°
角的三角函数值需熟记,另一方面,要能够根据30°
角的三角函数值,说出相应的锐角的大小.
为了帮助大家记忆,我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°
角的正弦值,你能发现什么规律呢?
[生]30°
角的正弦值分母都为2,分子从小到大分别为,,,随着角度的增大,正弦值在逐渐增大.
[师]再来看第二列函数值,有何特点呢?
[生]第二列是30°
,45°
角的余弦值,它们的分母也都是2,而分子从大到小分别为,,,余弦值随角度的增大而减小.
[师]第三列呢?
[生]第三列是30°
角的正切值,首先45°
角是等腰直角三角形中的一个锐角,所以tan45°
=1比较特殊.
[师]很好,掌握了上述规律,记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°
、
角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒.
2.例题讲解(多媒体演示)
[例1]计算
(1)sin30°
+cos45°
;
(2)sin260°
+cos260°
-tan45°
分析:
本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值,今后若无特别说明,用特殊角三角函数值进行计算时,一般不取近似值,另外sin260°
表示(sin60°
)2,cos260°
表示
(cos60°
)2.
解:
(1)sin30°
(2)sin260°
=()2+()2-+-1
=0.
[例2]一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°
,且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01m)
引导学生自己根据题意画出示意图,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
根据题意(如图)
可知,∠BOD=60°
,
OB=OA=OD=2.5m,
∠AOD=×
60°
=30°
∴OC=ODcos30°
=2.5×
≈2.165(m).
∴AC=2.5-2.165≈0.34(m).
所以,最高位置与最低位置的高度约为
0Ⅲ.随堂练习
多媒体演示计算:
(1)sin60°
(2)cos60°
+tan60°
(3)sin45°
+sin60°
-2cos45°
(1)原式=-1=;
(2)原式=+=
(3)原式=×
+×
;
2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为30°
.高为7m,扶梯的长度是多少?
扶梯的长度为=14(m),
所以扶梯的长度为Ⅳ.课时小结
本节课总结如下:
(1)探索30°
角的三角函数值0°
=,sin45°
=,sin60°
=;
=,cos45°
=,cos60°
tan30°
=,tan45°
=1,tan60°
(2)能进行含30°
(3)能根据30°
角的三角函数值,说出相应锐角的大小.
Ⅴ.课后作业
习题1.3第1、2题
Ⅵ.活动与探究
(2003年甘肃)如图为住宅区内的两幢楼,它们的高AB=CD=30m,两楼问的距离AC=24m,现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°
时,求甲楼的影子在乙楼上有多高?
(精确到0.1m,≈1.41,≈1.73)
[过程]根据题意,将实际问题转化为数学问题,当光线从楼顶E,直射到乙楼D点,D点向下便接受不到光线,过D作DB⊥AE(甲楼).在Rt△BDE中.BD=AC=24m,∠EDB=30°
.可求出BE,由于甲、乙楼一样高,所以DF=B[结果]在Kt△BDE中,BE=DBtan30°
=24×
∵DF=BE,
∴DF=8≈8×
1.73=13.84(m).
甲楼的影子在乙楼上的高CD=30-13.84≈16.2(m).
板书设计
§
1.230°
一、探索30°
的三角函数值1.预备知识:
含30°
的直角三角形中,30°
角
的对边等于斜边的一半.
含45°
的直角三角形是等腰直角三角形.
2.30°
,45°
,60°
角的三角函数值列表如下:
角ααcoαtanα
二、含30°
角的三角函数值的计算.
三、实际应用
备课资料
参考练习(2003年北京石景山)计算:
答案:
3-
2.(2003年北京崇文)汁算:
(+1)-1+2sin30°
答案:
-(2003年广东梅州)计算:
(1+)0-|1-sin30°
|1+()-答案:
(2003年广西)计算:
sin60°
+
-(2003年内蒙古赤峰)计算;
2-3-(+π)0-cos60°
-答案:
-
- 配套讲稿:
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- 关 键 词:
- 三角函数
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