八皇后问题实验报告 递归 非递归 java C语言 +分析Word文件下载.docx
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诺克给出的。
诺克也是首先将问题推广到更一般的n皇后摆放问题的人之一。
1874年,S.冈德尔提出了一个通过行列式来求解的方法。
八皇后问题出现在1990年代初期的著名电子游戏第七访客中。
设置一个三维数组,第一个下标是皇后的行坐标,第二个下标是皇后的列坐标,第三个下标是残卷号。
相当于有N张叠在一起的8*8棋盘,每张棋盘只在复制前面棋盘及皇后后加放置一个皇后。
直到放满8皇后后才是一张完整的8皇后图,称完卷。
这里实际操作时多加一行多加一列即第0行第0列,但这一行/列不作输出,只是作此行/列有无皇后的参考。
总的来说现在解八皇后问题的总体算法都是采用回溯法,也叫作穷搜法,再穷搜的时候去掉分支,减少不必要的运算,对于八皇后问题的求解,一般只能做出15皇后问题,有部分算法高手在有精良设备的情况下算出了25皇后的解。
受算法和硬件计算能力的影响,因为计算量为O(n!
),而且回溯法使用的内存空间特别大,所以此问题的求解还有很多可以探究的地方,尤其是算法上的改进。
1.3问题的应用
八皇后问题可以用来解决地图的着色问题,以及迷宫的求解问题,同时,八皇后问题是一个典型的回溯法求解问题,可以用它来类比很多和回溯法有关的问题。
对于现在的DNA序列问题也可以从中得到启发。
二.总体设计
2.1运行环境
(1)编译环境:
JDK1.8,以及eclipse,Mars4.5.2,VisualC++6.0
(2)电脑系统:
Windowsserver200332位
(3)编译语言:
Java,C语言
2.2程序框架
(1)MainQueen:
实现可视化界面,可以选择递归和非递归两种算法得到八皇后问题的解,并将答案打印出来。
(2)QueenNR:
采用非递归方法求解问题。
(3)QueenRS:
采用递归方法求解问题。
(4)编译C语言程序。
2.3算法分析
2.3.1总体算法分析
算法的核心是回溯法,也称为试探法,它并不考虑问题规模的大小,而是从问题的最明显的最小规模开始逐步求解出可能的答案,并以此慢慢地扩大问题规模,迭代地逼近最终问题的解。
这种迭代类似于穷举并且是试探性的,因为当目前的可能答案被测试出不可能可以获得最终解时,则撤销当前的这一步求解过程,回溯到上一步寻找其他求解路径。
为了能够撤销当前的求解过程,必须保存上一步以来的求解路径。
当撤销之后满足条件,就一直做下去,直到试探完所有的可能解。
总结如下:
(1)设置初始化的方案(给变量赋初值,读入已知数据等)。
(2)变换方式去试探,若全部试完则转(7)。
(3)判断此法是否成功(通过约束函数),不成功则转
(2)。
(4)试探成功则前进一步再试探。
(5)正确方案还未找到则转
(2)。
(6)已找到一种方案则记录并打印。
(7)退回一步(回溯),若未退到头则转
(2)。
(8)已退到头则结束或打印无解
另外一个关键就是对于每一个部分解的判定,可归纳问题的条件为:
1.不在同一行(列)上
2.不在同一斜线上
3.不在同一反斜线上
具体到八皇后的问题,我们可以逐行或者逐列来进行可行摆放方案的遍历,每一行(或列)遍历出一个符合条件的位置,接着就到下一行或列遍历下一个棋子的合适位置,这种遍历思路可以保证我们遍历过程中有一个条件是绝对符合的——就是下一个棋子的摆放位置与前面的棋子不在同一行(或列)。
接下来,我们只要判断当前位置是否还符合其他条件,如果符合,就遍历下一行(或列)所有位置,看看是否继续有符合条件的位置,以此类推,如果某一个行(或列)的所有位置都不合适,就返回上一行(或列)继续该行(或列)的其他位置遍历,当我们顺利遍历到最后一行(或列),且有符合条件的位置时,就是一个可行的8皇后摆放方案,累加一次八皇后可行方案的个数,然后继续遍历该行其他位置是否有合适的,如果没有,则返回上一行,遍历该行其他位置,依此下去。
这样一个过程下来,我们就可以得出所有符合条件的8皇后摆放方案了。
这是一个深度优先遍历的过程,同时也是经典的递归思路。
接下来,我们以逐列遍历,具体到代码,进一步说明。
首先,从第一列开始找第一颗棋子的合适位置,我们知道,此时第一列的任何一个位置都是合适的,当棋子找到第一个合适的位置后,就开始到下一列考虑下一个合适的位置,此时,第二列的第一行及第二行显然就不能放第二颗棋子了,因为其与第一个棋子一个同在一行,一个同在一条斜线上。
第二列第三行成为第二列第一个合适的位置,以此类推,第三列的第5行又会是一个合适位置,这个过程中,我们注意到,每一列的合适位置都是受到前面几列的位置所影响,归纳如下:
假设前面1列的棋子放在第3行,那当前列不能放的位置就一定是3行,2行,4行。
因为如果放在这三行上就分别跟前一列的棋子同在一行、同在斜线、同在反斜线上,不符合我们的要求。
现在我们用cols数组来表示8个列棋子所放的行数,数组下标从0开始,其中数组下标表示列数,数组的元素值表示该列棋子所在行数,当前列为N(N>
=0,N<
max),即cols[N-1]=3,则有:
cols[N]!
=cols[N-1](=3,表示不在同一行)
=cols[N-1]-1(=3-1=2,表示不在同一斜线上)
ols[N]!
=cols[N-1]+1(=3+1,表示不在同一反斜线上)
这里我们注意到,如果N-2列存在的话,那么我们还要考虑当前列N不与N-2列的棋子同行,同斜线,同反斜线。
把当前列N的前面的某一列设为m,则m的所有取值为{m>
=0,m<
N}的集合,故又可在上面式子的基础,归纳为如下:
=cols[m](与第m列的棋子不在同一行)
=cols[m]-(N-m)(>
=0,与第m列的棋子不在同一斜线上)
=cols[m]+(N-m)(<
=8-1,与第m列的棋子不在同一反斜线上)
为了使此程序能够解决N皇后的问题,一般将参数改成N,已解决N皇后的问题,当然,这还和计算机性能和算法差异有关,此程序一般能解决到15皇后的问题。
在Java程序中以实现N皇后问题。
2.3.2非递归算法分析
程序首先对N行中的每一行进行探测,寻找该行中可以放置皇后的位置,具体方法是对该行的每一列进行探测,看是否可以放置皇后,如果可以,则在该列放置一个皇后,然后继续探测下一行的皇后位置。
如果已经探测完所有的列都没有找到可以放置皇后的列,此时就应该回溯,把上一行皇后的位置往后移一列,如果上一行皇后移动后也找不到位置,则继续回溯直至某一行找到皇后的位置或回溯到第一行,如果第一行皇后也无法找到可以放置皇后的位置,则说明已经找到所有的解程序终止。
如果该行已经是最后一行,则探测完该行后,如果找到放置皇后的位置,则说明找到一个结果,打印出来。
但是此时并不能再此处结束程序,因为我们要找的是所有N皇后问题所有的解,此时应该清除该行的皇后,从当前放置皇后列数的下一列继续探测。
2.3.3递归算法的分析
第1次考虑把皇后放在第1行的某个位置,第2次放的时候就不用去放在第一行了,因为这样放皇后间是可以互相攻击的。
第2次我就考虑把皇后放在第2行的某个位置,第3次我考虑把皇后放在第3行的某个位置,这样依次去递归。
每计算1行,递归一次,每次递归里面考虑8列,即对每一行皇后有8个可能的位置可以放。
找到一个与前面行的皇后都不会互相攻击的位置,然后再递归进入下一行。
找到一组可行解即可输出,然后程序回溯去找下一组可靠解。
用一个一维数组来表示相应行对应的列,比如cols[i]=j表示,第i行的皇后放在第j列。
如果当前行是r,皇后放在哪一列呢?
cols[r]列。
一共有8列,所以我们要让cols[r]依次取第0列,第1列,第2列……一直到第7列,每取一次我们就去考虑,皇后放的位置会不会和前面已经放了的皇后有冲突。
怎样是有冲突呢?
同行,同列,对角线。
由于已经不会同行了,所以不用考虑这一点。
只有满足了当前皇后和前面所有的皇后都不会互相攻击的时候,才能进入下一级递归。
三.详细设计
3.1递归法的详细设计
(1)定义一个cols[]数组,存储八皇后问题中每一列(j)对应放置的皇后的位置(i)。
(2)定义getArrangement(intn)递归函数,其中定义一个boolean型rows[]数组,记录每一行能够正常放置的位置,如果能放置,设置为true,默认为null。
函数中,先找出每列合适的的第一个位置。
然后判断是不是最后一列,是最后一列就输出,不是就进入递归。
如果该列没找到一个合适的位置,跳出此次递归,进入上一次递归。
具体函数如下:
publicvoidgetArrangement(intn){
//遍历该列所有不合法的行,并用rows数组记录,不合法即rows[i]=true
boolean[]rows=newboolean[MAXQUEEN];
//判断该点是不是合法,如果有合法的,不赋值为null
for(inti=0;
i<
n;
i++){
//判断行是否合法
rows[cols[i]]=true;
intd=n-i;
//判断左右斜线是否合法
if(cols[i]-d>
=0)rows[cols[i]-d]=true;
if(cols[i]+d<
=MAXQUEEN-1)rows[cols[i]+d]=true;
}
MAXQUEEN;
//判断该行是否合法合法就跳出选出第一个可以添加的行
if(rows[i])continue;
cols[n]=i;
//设置当前列合法棋子所在行数
if(n<
MAXQUEEN-1){//当前列不为最后一列时
getArrangement(n+1);
}else{
num++;
//累计方案个数
printChessBoard();
//打印棋盘信息
}
(3)定义输出函数publicvoidprintChessBoard(),输出函数比较简单,利用全部赋值之后clos数组,序号代表列,序列的值代表行。
两个for循环即可输出。
‘+’代表空,‘0’代表皇后。
publicvoidprintChessBoard(){
System.out.print("
第"
+num+"
种走法\n"
);
for(intj=0;
j<
j++){
if(i==cols[j]){
0"
}else
+"
}
\n"
3.2非递归法的详细设计
(1)定义一个flag[n][n]数组,作为存储皇后位置。
定义record[2][n]数组作为回溯步骤,其中record[0][n]记录序号对应行的位置,record[1][n],记录序号对应列的位置。
多几个数组便于理解和回溯。
(2)定义reset(int[][]flag)函数,将数组flag全部初始化为-1;
代码略。
(3)定义isTrue(int[][]record,intm,intn)判断函数。
判断对应的点能否放置皇后。
采用了和递归法中不一样的思路,将判断独立成一个函数,利用记录数组和位置m,n判定。
使得对点的判断更加直观。
publicbooleanisTrue(int[][]record,intm,intn){
intleft=n-1,right=n+1,len=record[0].length;
booleanf=true;
if(m==0)
returntrue;
else{
for(inti=m;
i>
0;
){i--;
if(record[1][i]==n){//是否同一列
f=false;
break;
if(left>
=0){
if(record[1][i]==left){//是否同一右斜
elseleft--;
if(right<
=len-1){
if(record[1][i]==right){//是否同一左斜
elseright++;
(4)定义parseQueen(int[][]flag,int[][]record)核心回溯函数。
publicvoidparseQueen(int[][]flag,int[][]record){
inti=0,j=0,len=flag.length;
//System.out.println("
length="
+len);
while(true){
if(record[1][i]!
=-1){//判断当前点是否为上次退行的位置,是则进行再定位
//清除原来在回溯一行定位的点
j=record[1][i];
record[1][i]=-1;
flag[i][j]=-1;
//把回溯点的值改为-1
if(j<
len-1)j++;
//往右移
if(i>
0)i--;
//往上移
else{/*System.out.println("
iojhipo"
*///在此结束回溯
return;
}//结束
else{//当前点为普通点
if(!
isTrue(record,i,j)){//该定位点位置不满足要求
//往右找定位点
//往上找定位点
*/return;
}//结束
else{//该定位点位置满足要求
//放置定位点
flag[i][j]=1;
record[0][i]=i;
record[1][i]=j;
if(i<
len-1){//往下走
i++;
j=0;
}//endif
else{//到末尾,找到一条路径
isExist=true;
printArray(flag);
//打印
//做回溯处理准备
i--;
//往上继续搜寻
}//endelse
}
(5)定义输出函数rintArray(int[][]flag),代码略(见代码清单)。
注明:
C语言程序的分析和上述类似,不在赘述。
四.具体实现及运行
4.1QueenMainl类的实现:
4.2QueenNR类:
实现了QueenMain类的非递归按钮功能
4.3QueenRS类:
实现了QueenMain类的递归按钮功能
4.4C语言程序:
五.总结
1.八皇后问题的求解计算量是特别大的,对于非递归算法,由于等价于穷搜法,他的时间复杂度约等于O(n!
),即是n的全排列。
虽然采用了去除分支的办法,但是对于总体来说,并不会减少太多运算,所以对于这种大型的计算。
还需要改进算法,并且需要硬件的支持。
本实验一般只能解决到12皇后,而且计算时间都比较长。
2.对于递归算法,效率比较低,但是便于理解,方便写代码。
3.对于两个算法的比较,都是用的回溯法,只是在具体的回溯方法上的区别。
4.八皇后问题在实际的生活中有很多的得到实用的地方,熟练地掌握八皇后问题的求解过程,能解决很多实际中的算法问题。
比如迷宫问题和地图着色问题,都可以应用相应的算法。
六.代码清单
6.1Java代码:
QueenMainl类:
packagecom.Listen;
importjava.awt.BorderLayout;
importjava.awt.CardLayout;
importjava.awt.Container;
importjava.awt.Font;
importjava.awt.GridLayout;
importjava.awt.event.ActionEvent;
importjava.awt.event.ActionListener;
importjavax.swing.BoxLayout;
importjavax.swing.JButton;
importjavax.swing.JFrame;
importjavax.swing.JLabel;
importjavax.swing.JPanel;
importjavax.swing.JScrollPane;
importjavax.swing.JTextArea;
importjavax.swing.JTextField;
publicclassQueenMainextendsJFrameimplementsActionListener{
JPaneltopPanel=newJPanel();
JButtonjb1,jb2,jb3;
JTextAreajta=null;
JScrollPanejscrollPane;
JLabelinputLabel;
JTextFieldinputNum;
JPanelpanel1,panel2;
Strings="
请在上方输入4--10的数查看八皇后路径问题:
"
;
publicQueenMain(){
setLayout(newBorderLayout());
//设置按钮
panel1=newJPanel();
panel2=newJPanel();
topPanel=newJPanel();
inputLabel=newJLabel("
请输入数字:
inputNum=newJTextField(25);
panel1.add(inputLabel);
panel1.add(inputNum);
//topPanel.setLayout(BoxLayout.Y_AXIS);
topPanel.setLayout(newBoxLayout(topPanel,BoxLayout.Y_AXIS));
topPanel.add(panel1);
jb1=newJButton("
递归"
jb1.addActionListener((ActionListener)this);
jb2=newJButton("
非递归"
jb2.addActionListener((ActionListener)this);
jb3=newJButton("
清空"
jb3.addActionListener((ActionListener)this);
//添加按钮
panel2.setLayout(newGridLayout(1,3));
panel2.add(jb1);
panel2.add(jb2);
panel2.add(jb3);
topPanel.add(panel2);
add(topPanel,BorderLayout.NORTH);
jta=newJTextArea(10,15);
jta.setText(s);
jta.setEditable(false);
jta.setTabSize(4);
jta.setFont(newFont("
标楷体"
Font.BOLD,16));
jta.setLineWrap(true);
//激活自动换行功能
jta.setWrapStyleWord(true);
//激活断行不断字功能
jscrollPane=newJScrollPane(jta);
add(jscrollPane,BorderLayout.CENTER);
privatevoidQueenRs(){
intn=Integer.parseInt(inputNum.getText());
QueenRSTqr=newQueenRST(n,this);
privatevoidQueenNr(){
publicstaticvoidmain(String[]args){
QueenMainapp=newQueenMain();
app.setTitle("
八皇后问题"
app.setVisible(true);
app.setBounds(300,100,400,600);
app.setDefaultCloseOperation(JFrame.EXIT_ON_CLOSE);
publicvoidactionPerformed(ActionEvente){
if(e.getSource()==jb1){
this.jta.setText(null);
QueenRs();
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