学年湖南省师范大学附属中学高一数学上期末考试试题.docx
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学年湖南省师范大学附属中学高一数学上期末考试试题
湖南师大附中2017-2018学年度高一第一学期期末考试数学
命题:
高一数学备课组 审题:
高一数学备课组
时量:
120分钟 满分:
150分
得分:
____________
第Ⅰ卷(满分100分)
一、选择题:
本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若直线过点(1,2),(2,2+),则此直线的倾斜角是
A.30°B.45°C.60°D.90°
2.已知直线l1:
ax-y-2=0和直线l2:
(a+2)x-y+1=0,若l1⊥l2,则a的值为
A.2B.1C.0D.-1
3.若a、b表示直线,α表示平面,下列命题中正确的个数为
①a⊥α,b∥αa⊥b;②a⊥α,a⊥bb∥α;③a∥α,a⊥bb⊥α.
A.1B.2C.3D.0
4.在空间直角坐标系中,点B是A(1,2,3)在xOz坐标平面内的射影,O为坐标原点,则|OB|等于
A.B.C.D.
5.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是
A.内切B.相交C.外切D.外离
6.如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为,则该几何体的俯视图可以是
7.已知圆C:
x2+y2-4x-5=0,则过点P(1,2)的最短弦所在直线l的方程是
A.3x+2y-7=0B.2x+y-4=0
C.x-2y-3=0D.x-2y+3=0
8.直三棱柱ABC—A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于
A.30°B.45°C.60°D.90°
9.从直线x-y+3=0上的点向圆x2+y2-4x-4y+7=0引切线,则切线长的最小值为
A.B.C.D.-1
10.如图,等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G,已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形,下列命题中,错误的是
A.恒有DE⊥A′F
B.异面直线A′E与BD不可能垂直
C.恒有平面A′GF⊥平面BCDE
D.动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上
答题卡
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
答案
二、填空题:
本大题共3个小题,每小题5分,共15分.
11.如图,△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图,O′A′=3,O′B′=4,则△AOB的面积是________.
12.在三棱锥A-BCD中,AB⊥AC,AB⊥AD,AC⊥AD,若AB=3,AC=4,AD=5,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为________.
13.如图所示,已知矩形ABCD中,AB=3,BC=a,若PA⊥平面AC,在BC边上取点E,使PE⊥DE,则满足条件的E点有两个时,a的取值范围是________.
三、解答题:
14.(本题满分10分)
已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为-.
(Ⅰ)求直线l的方程;
(Ⅱ)求与直线l切于点(2,2),圆心在直线x+y-11=0上的圆的方程.
15.(本题满分12分)
已知坐标平面上动点M(x,y)与两个定点A(26,1),B(2,1)的距离之比等于5.
(Ⅰ)求动点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;
(Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为C,过点P(-2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8,求直线l的方程.
16.(本题满分13分)
如图所示,ABCD是正方形,O是正方形的中心,
PO⊥底面ABCD,底面边长为a,E是PC的中点.
(Ⅰ)求证:
PA∥平面BDE;
(Ⅱ)平面PAC⊥平面BDE;
(Ⅲ)若二面角E-BD-C为30°,
求四棱锥P-ABCD的体积.
第Ⅱ卷(满分50分)
一、选择题:
本大题共2个小题,每小题5分,共10分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.
17.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题:
“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,问物几何?
”人们把此类题目称为“中国剩余定理”问题,若正整数N除以正整数m后的余数为n,则记为N=n(modm),例如11=2(mod3).现将该问题以程序框图的算法给出,执行该程序框图,则输出的n等于
A.21B.22C.23D.24
18.在四棱锥P-ABCD中,AD⊥面PAB,BC⊥面PAB,底面ABCD为梯形,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠CPB,满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是
A.直线的一部分B.半圆的一部分
C.圆的一部分D.球的一部分
答题卡
题号
17
18
得分
答案
二、填空题:
本大题共1小题,每小题5分.
19.定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=则关于x的函数F(x)=f(x)-的所有零点之和为________
三、解答题:
本大题共3小题,共35分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
20.(本题满分10分)
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
(Ⅰ)求证:
AC⊥BD1;
(Ⅱ)是否存在直线与直线AA1,CC1,BD1都相交?
若存在,请你在图中画出两条满足条件的直线(不必说明画法及理由);若不存在,请说明理由.
21.(本题满分12分)
平面直角坐标系中,在x轴的上方作半径为1的圆Γ,与x轴相切于坐标原点O.平行于x轴的直线l1与y轴交点的纵坐标为-1,A(x,y)是圆Γ外一动点,A与圆Γ上的点的最小距离比A到l1的距离小1.
(Ⅰ)求动点A的轨迹方程;
(Ⅱ)设l2是圆Γ平行于x轴的切线,试探究在y轴上是否存在一定点B,使得以AB为直径的圆截直线l2所得的弦长不变.
22.(本题满分13分)
已知函数f(x)=log2(x+1).
(Ⅰ)若f(x)+f(x-1)>0成立,求x的取值范围;
(Ⅱ)若定义在R上奇函数g(x)满足g(x+2)=-g(x),且当0≤x≤1时,g(x)=f(x),求g(x)在[-3,-1]上的解析式,并写出g(x)在[-3,3]上的单调区间(不必证明);
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的g(x),若关于x的不等式g≥g在R上恒成立,求实数t的取值范围.
湖南师大附中2017-2018学年度高一第一学期期末考试数学参考答案-(这是边文,请据需要手工删加)
湖南师大附中2017-2018学年度高一第一学期期末考试
数学参考答案
一、选择题:
本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
D
B
C
D
C
B
B
1.C 【解析】利用斜率公式k==tanθ,可求倾斜角为60°.
2.D 【解析】由题知(a+2)a+1=0a2+2a+1=(a+1)2=0,
∴a=-1.也可以代入检验.
3.A 【解析】①正确.
4.D 【解析】点A(1,2,3)在xOz坐标平面内的射影为B(1,0,3),
∴|OB|==.
5.B 【解析】将两圆化成标准方程分别为x2+y2=1,(x-2)2+(y+1)2=9,可知圆心距d=,由于2 6.C 【解析】当俯视图为A中正方形时,几何体为边长为1的正方体,体积为1;当俯视图为B中圆时,几何体为底面半径为,高为1的圆柱,体积为;当俯视图为C中三角形时,几何体为三棱柱,且底面为直角边长为1的等腰直角三角形,高为1,体积为;当俯视图为D中扇形时,几何体为圆柱的,且体积为. 7.D 【解析】化成标准方程(x-2)2+y2=9,过点P(1,2)的最短弦所在直线l应与PC垂直,故有kl·kPC=-1,由kPC=-2得kl=,进而得直线l的方程为x-2y+3=0. 8.C 【解析】将直三棱柱ABC-A1B1C1补形为正方体ABDC-A1B1D1C1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于BA1与BD1所成的角,为60°. 9.B 【解析】当圆心到直线距离最短时,可得此时切线长最短.d=,切线长==. 10.B 【解析】对A来说,DE⊥平面A′GF,∴DE⊥A′F; 对B来说,∵E、F为线段AC、BC的中点,∴EF∥AB,∴∠A′EF就是异面直线A′E与BD所成的角,当(A′E)2+EF2=(A′F)2时,直线A′E与BD垂直,故B不正确; 对C来说,因为DE⊥平面A′GF,DE平面BCDE,∴平面A′GF⊥平面BCDE,故C正确; 对D来说,∵A′D=A′E,∴DE⊥A′G,∵△ABC是正三角形,∴DE⊥AG,又A′G∩AG=G,∴DE⊥平面A′GF,从而平面ABC⊥平面A′AF,且两平面的交线为AF,∴A′在平面ABC上的射影在线段AF上,正确. 二、填空题 11.12 【解析】△OAB为直角三角形,两直角边分别为4和6,S=12. 12.50π 【解析】三棱锥A-BCD的外接球就是长宽高分别为3、4、5的长方体的外接球,所以外接球的半径R满足: 2R==5.所以三棱锥A-BCD的外接球的表面积S=4πR2=50π. 13.a>6 【解析】由PA⊥平面AC,PE⊥DE,得AE⊥DE.问题转化为以AD为直径的圆与BC有两个交点,所以>3,解得a>6. 三、解答题 14.【解析】(Ⅰ)3x+4y-14=0 (Ⅱ)(x-5)2+(y-6)2=25 15.【解析】(Ⅰ)由题意,得=5. =5, 化简,得x2+y2-2x-2y-23=0. 即(x-1)2+(y-1)2=25. ∴点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25, 轨迹是以(1,1)为圆心,以5为半径的圆. (Ⅱ)当直线l的斜率不存在时,l: x=-2, 此时所截得的线段的长为2=8, ∴l: x=-2符合题意. 当直线l的斜率存在时,设l的方程为 y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0, 圆心到l的距离d=, 由题意,得+42=52, 解得k=. ∴直线l的方程为x-y+=0. 即5x-12y+46=0. 综上,直线l的方程为 x=-2,或5x-12y+46=0. 16.【解析】(Ⅰ)证明: 连接OE,如图所示. ∵O、E分别为AC、PC中点, ∴OE∥PA. ∵OE面BDE,PA平面BDE, ∴PA∥平面BDE. (Ⅱ)证明: ∵PO⊥平面ABCD,∴PO⊥BD. 在正方形ABCD中,BD⊥AC, 又∵PO∩AC=O,∴BD⊥平面PAC. 又∵BD平面BDE,∴平面PAC⊥平面BDE. (Ⅲ)取OC中点F,连接EF. ∵E为PC中点, ∴EF为△POC的中位线,∴EF∥PO. 又∵PO⊥平面ABCD, ∴EF⊥平面ABCD, ∵OF⊥BD,∴OE⊥BD. ∴∠EOF为二面角E-BD-C的平面角, ∴∠EOF=30°. 在Rt△OEF中, OF=OC=AC=a, ∴EF=OF·tan30°=a,∴OP=2EF=a. ∴VP-ABCD=×a2×a=a3. 17.C 18.C 【解析】因为AD⊥平面PAB,BC⊥平面PAB,所以AD∥BC,且∠DAP=∠CBP=90°.又∠APD=∠CPB,AD=4,BC=8,可得tan∠APD===tan∠CPB,即得==2,在平面PAB内,以AB所在直线为x轴,AB中点O为坐标原点,建立平面直角坐标系,则A(-3,0)、
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