数论之余数三大定理Word下载.docx
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8.有48本书分给两组小朋友,已知第二组比第一组多5人。
如果把书全部分给第一组,那么每人4本,有剩余;
每人5本,书不够。
如果把书全分给第二组,那么每人3本,有剩余;
每人4本,书不够。
问:
第二组有多少人
9.一个两位数除以13的商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数。
10.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.
11.有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.
12.在小于1000的自然数中,分别除以18及33所得余数相同的数有多少个(余数可以为0)
13.一个三位数除以17和19都有余数,并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和。
那么这样的三位数中最大数是多少,最小数是多少
14.两位自然数ab与ba除以7都余1,并且ab,求abba。
15.学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同。
请问学校共有
多少个班
16.在除13511,13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是
17.22003与20032的和除以7的余数是。
18.(真题)在1995,1998,2000,2001,2003中,若其中几个数的和被
9除余7,则将这几个数归为一组。
这样的数组共有组。
19.有一个整数,用它去除70,110,160所得到的3个余数之和是50,那么这个整数是。
20.用自然数n去除63,91,129得到的三个余数之和为25,那么
n=
21.号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘
22.六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱,一起到新华书店购买《成语大词典》。
一看定价才发现有5个人带的钱不够,但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本,丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本。
这种《成语大词典》的定价是元。
23.商店里有六箱货物,分别重15,16,18,19,20,31千克,两个顾客买走了其中的五箱。
已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍,那么商店剩下的一箱货物重量是千克。
24.求2461135604711的余数。
25.求478296351除以17的余数。
26.求31997的最后两位数。
27.2222除以13所得余数是.
2000个"
2"
28.求14389除以7的余数。
29.122232川200122002除以7的余数是多少
30.
31303031被13除所得的余数是多少
33.11223344川川20052005除以10所得的余数为多少
34.求所有的质数P,使得4『1与6p21也是质数。
35.在图表的第二行中,恰好填上89〜98这十个数,使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3。
因数
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
36.3个三位数乘积的算式abcbcacab234235286(其中abc),在校
对时,发现右边的积的数字顺序出现错误,但是知道最后一位6是正确的,
问原式中的abc是多少
37.(真题)一个大于1的数去除290,235,200时,得余数分别为a,a2,a5,则这个自然数是多少
38.一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数,则这个自然数是多少
39.甲、乙、丙三数分别为603,939,393。
某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍,A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍。
求A等于多少
40.(真题)一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a5、2a、a,求这个自然数和a的值.
41.著名的裴波那契数列是这样的:
1、1、2、3、5、8、13、21……这串数
列当中第2008个数除以3所得的余数为多少
42.有一串数:
1,1,2,3,5,8,……,从第三个数起,每个数都是前两
个数之和,在这串数的前2009个数中,有几个是5的倍数
43.托玛想了一个正整数,并且求出了它分别除以3、6和9的余数。
现知这三余数的和是15。
试求该数除以18的余数。
44.一个家庭,有父、母、兄、妹四人,他们任意三人的岁数之和都是3的
整数倍,每人的岁数都是一个质数,四人岁数之和是100,父亲岁数最大,
母亲是多少岁
45.
如图,在一个圆圈上有几十个孔(不到100个),小明像玩跳棋那样,从A孔出发沿着逆时针方向,每隔几孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔。
他先试着每隔2孔跳一步,结果只能跳到B孔。
他又试着每隔4孔跳一步,也只能跳到B孔。
最后他每隔6孔跳一步,正好跳回到A孔,你知道这个圆圈上共有多少个孔吗
46.将12345678910111213……依次写到第1997个数字,组成一个1997位数,
那么此数除以9的余数是。
47.设2n1是质数,证明:
12,22,…,n2被2n1除所得的余数各不相
同。
48.试求不大于100,且使3n7n4能被11整除的所有自然数n的和。
49.若a为自然数,证明10(a2005a1949)。
50.设n为正整数,k2004n,k被7除余数为2,k被11除余数为3,求n的最小值。
51.(真题)有三个连续自然数,其中最小的能被15整除,中间的能被17整除,最大的能被19整除,请写出一组这样的三个连续自然数。
52.从1,2,3,……,n中,任取57个数,使这57个数必有两个数的差为13,则n的最大值为多少
53.从1,2,3,4,…,2007中取N个不同的数,取出的数中任意三个的
和能被15整除。
N最大为多少
54.将自然数1,2,3,4……依次写下去,若最终写到2000,成为
123川19992000,那么这个自然数除以99余几
55.将1至2008这2008个自然数,按从小到大的次序依次写出,得一个多位数:
,试求这个多位数除以9的余数。
56.已知n是正整数,规定n!
12川n,
令m1!
12!
23!
3川2007!
2007,则整数m除以2008的余数为多少
57.135川1991的末三位数是多少
58.有2个三位数相乘的积是一个五位数,积的后四位是1031,第一个数各个位的数字之和是10,第二个数的各个位数字之和是8,求两个三位数的和。
59.设20092009的各位数字之和为A,A的各位数字之和为B,B的各位数字之和为C,C的各位数字之和为D,那么D
60.(真题)两数相除,商4余8,被除数、除数、商数、余数四数之和等
于415,则被除数是。
答案及解析
1.答:
因为1992是a的46倍还多r,得到19924643……14,得
1992464314,所以a43,r14。
2.答:
(法1)因为甲乙1132,所以甲乙乙1132乙乙
12321088;
则乙(108832)1288,甲1088乙1000。
(法2)将余数先去掉变成整除性问题,利用倍数关系来做:
从1088中减掉32以后,1056就应当是乙数的(111)倍,所以得到乙数
10561288,甲数1088881000。
3.答:
本题为余数问题的基础题型,需要学生明白一个重要知识点,就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题。
方法为用被除数减去余数,即得到一个除数的倍数;
或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”,也可以得到一个除数的倍数。
本题中310-37=273,说明273是所求
余数的倍数,而273=3X7X13,所求的两位数约数还要满足比37大,符合条件的有39,91.
4.答:
被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113,所以被除数除数=2083,由于被除数是除数的17倍还多13,则由“和倍问题”可得:
除数=(2083-13)-(17+1)=115,所以被除数=2083-115=1968。
6.答:
设所得的商为a,除数为b。
(19ab)(23ab)(31ab)2001,
73a3b2001,由b19,可求得a27,b10。
所以,这三个数分别是
19ab523,23ab631,31ab847。
7.答:
设这个自然数除以11余a(0a11),除以9余b(0b9),则有
11aa93bb,即3a7b,只有a7,b3,所以这个自然数为
12784。
8.答:
由48412,4859.6知,一组是10或11人。
同理可知
48316,48412知,二组是13、14或15人,因为二组比一组多5人,所以二组只能是15人,一组10人。
9.答:
因为一个两位数除以13的商是6,所以这个两位数一定大于
13678,并且小于13(61)91;
又因为这个两位数除以11余6,而78除以11余1,这个两位数为78583。
10.答:
这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但
是由于所得的余数相同,根据同余定理,我们可以得到:
这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数。
1014556,594514,(56,14)14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14。
11.答:
(法1)39336,1473144,(36,144)12,12的约数是
1,2,3,4,6,12,因为余数为3要小于除数,这个数是4,6,12;
(法2)由于所得的余数相同,得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数。
513912,14739108,(12,108)12,所以这个数是4,6,12。
12.答:
我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,所以每198个数一次。
1〜198之间只有1,2,3,…,17,198(余0)这18个数除以18及33所得
的余数相同,而999-198=5……9,所以共有5X18+9=99个这样的数。
13.答:
设这个三位数为s,它除以17和19的商分别为a和b,余数分别
为m和n,则s17am19bn。
根据题意可知ambn,所以
samsbn,即16a18b,得8a9b。
所以a是9的倍数,b是8的
倍数。
此时,由ambn知nmaba-a-a。
由于s为三位数,最
99
小为100,最大为999,所以10017am999,而1m16,
所以17a117am999,10017am17a16,得到5a58,而a是9的
倍数,所以a最小为9,最大为54。
当a54时,nm爲6,而n18,所以m12,故此时s最大为
9
175412930;
当a9时,nm^a1,由于m1,所以此时s最小为1791154。
所以这样的三位数中最大的是930,最小的是154。
14.答:
abba能被7整除,即(10ab)(10ba)9(ab)能被7整除。
所
以只能有ab7,那么ab可能为92和81,验算可得当晶92时,ba29
满足题目要求,abba92292668
15.答:
所求班级数是除以118,67,33余数相同的数。
那么可知该数应该为
16.答:
因为1390313511392,1458913903686,由于13511,13903,14589要被同一个数除时,余数相同,那么,它们两两之差必能被同一个数整除。
(392,686)98,所以所求的最大整数是98。
17.答:
找规律。
用7除2,22,23,24,25,26,…的余数分别是2,
4,1,2,4,1,2,4,1,…,2的个数是3的倍数时,用7除的余数为1;
2的个数是3的倍数多1时,用7除的余数为2;
2的个数是3的倍数多2时,用7除的余数为4.因为22003236672,所以22003除以7余4。
又两个数的积除以7的余数,与两个数分别除以7所得余数的积相同。
而2003除以7余1,所以20032除以7余1。
故22003与20032的和除以7的余数是415。
18.答:
1995,1998,2000,2001,2003除以9的余数依次是6,0,2,
3,5。
因为252507,25360253679,所以这样的数组共有下面4个:
2000,2003,1998,2000,2003,2000,2003,2001,1995,1998,2000,2003,2001,1995。
19.答:
(70110160)50290,503162,除数应当是290的大于17
小于70的约数,只可能是29和58,11058152,5250,所以除数不
是58。
7029212,11029323,16029515,12231550,所以
除数是29。
20.答:
n能整除639112925258。
因为2538...1,所以n是258大于8的约数。
显然,n不能大于63。
符合条件的只有43。
21.答:
本题可以体现出加法余数定理的巧用。
计算101,126,173,193除以3的余数分别为2,0,2,1。
那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2,0,2,1两两相加除以3即可。
显然126运动员打5盘是最多的。
22.答:
六名小学生共带钱133元。
133除以3余1,因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本,所以他们五人带的钱数是3的倍数,另一人带的钱除以3余1。
易知,这个钱数只能是37元,所以每本《成语大词典》的定价是(1417182126)332(元)。
23.答:
两个顾客买的货物重量是3的倍数。
(151618192031)(12)119339...2,剩下的一箱货物重量除以3应当余2,只能是20千克。
24.答:
因为246111223...8,1351112...3,604711549...8,根据同余
定理(三),2461135604711的余数等于83811的余数,而
838192,
1921117...5,所以2461135604711的余数为5。
25.答:
先求出乘积再求余数,计算量较大。
可先分别计算出各因数除以
17的余数,再求余数之积除以17的余数。
478,296,351除以17的余数分别为2,7和11,(2711)1791。
26.答:
即考虑31997除以100的余数。
由于100425,由于3327除以25
余2,所以39除以25余8,310除以25余24,那么320除以25余1;
又因为32除以4余1,则320除以4余1;
即3201能被4和25整除,而4与25互质,所以3201能被100整除,即320除以100余1,由于1997209917,
所以31997除以100的余数即等于317除以100的余数,而36729除以100余29,35243除以100余43,317(36)235,所以3门除以100的余数等于
292943除以100的余数,而29294336163除以100余63,所以31997除以100余63,即31997的最后两位数为63。
27.答:
我们发现222222整除13,2000十6余2,所以答案为22-13余
9。
28.答:
法一:
由于1433mod7(143被7除余3),
所以14389389mod7(14389被7除所得余数与389被7除所得余数相等)
而36729,7291mod7(729除以7的余数为1),
所以38936J曲3935355mod7。
14个
故14389除以7的余数为5.
法二:
计算389被7除所得的余数可以用找规律的方法,规律如下表:
1
3
2
4
5
6
7
mod7
于是余数以6为周期变化。
所以389355mod7
29.答:
由于
122232川200122002220022?
34005100120031335,而1001是7
的倍数,所以这个乘积也是7的倍数,故122232川2001220022除以7的余数是0;
30.答:
31被13除所得的余数为5,当n取1,2,3,时5n被13除所得
余数分别是5,12,8,1,5,12,8,1以4为周期循环出现,所以530被13除的余数与52被13除的余数相同,余12,则3130除以13的余数为12;
30被13除所得的余数是4,当n取1,2,3,时,4n被13除所得的余数分别是4,3,12,9,10,1,4,3,12,9,10,以6为周期循环出
现,所以431被13除所得的余数等于41被13除所得的余数,即4,故3031除以13的余数为4;
所以31303031被13除所得的余数是124133。
31.答:
2008除以13余6,10000除以13余3,注意到
200820082008100002008;
20082008200820082008100002008;
2008200820082008200820082008100002008;
根据这样的递推规律求出余数的变化规律:
除以13余6361311,2008除以13余1136390,即2008是13的倍数而2008除以3余1,所以a200820081||2008除以13的余数与2008除以13的
2008个2008
余数相同,为6.
32.答:
找规律:
741□7,7741□36,77741□39,
777741□28,
7777741□0,,所以77777是41的倍数,而19965399川1,所以边77以分成399段77777和1个7组成,那么它除以41的余数为7。
1996个7
33.答:
求结果除以10的余数即求其个位数字。
从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的,而对一个数的幕方的个位数,我们知道它总是4个一循环的,因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小
公倍数)一组,则不同组中对应的个位数字应该是一样的。
首先计算11223344卅川2020的个位数字,
为1476563690163656749094的个位数字,
为4,
由于2005个加数共可分成100组另5个数,100组的个位数字和是
4100400的个位数即0,另外5个数为20012001、20022002、20032°
°
3、
20042004、20052005,它们和的个位数字是1476523的个位数3,所以原式的个位数字是3,即除以10的余数是3。
34.答:
如果p5,则4p21101,6p21151都是质数,所以5符合题
意。
如果P不等于5,那么P除以5的余数为1、2、3或者4,p2除以5的
余数即等于12、22、32或者42除以5的余数,即1、4、9或者16除以5的余数,只有1和4两种情况。
如果p2除以5的余数为1,那么4p21除以5的余数等于4115除以5的余数,为0,即此时4p21被5整除,而4p21大于5,所以此时4P21不是质数;
如果P2除以5的余数为4,同理可知6p21不是质数,所以P不等于5,4p21与6p21至少有一个不是质数,所以只有p5满足条件。
35.答:
因为两个数的乘积除以11的余数,等于两个数分别除以11的余数之积。
因此原题中的89〜98可以改换为1〜10,这样上下两数的乘积除以11余3就容易计算了
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