中考数学二次函数压轴题含答案Word下载.docx
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3).
3)如图;
∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN?
OB,
1)求抛物线的解析式;
2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;
3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M
点的坐标.
转化思想.
(2)首先根据抛物线的解析式确定A点坐标,然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出
直径AB和圆心的位置,由此确定圆心坐标.
(3)△MBC的面积可由S△MBC=BC×
h表示,若要它的面积最大,需要使h取最大值,即点
M到直线BC的距离最大,若设一条平行于BC的直线,那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时,该交点就是点M.
(1)将B(4,0)代入抛物线的解析式中,得:
0=16a﹣×
4﹣2,即:
a=;
∴抛物线的解析式为:
y=x2﹣x﹣2.
(2)由
(1)的函数解析式可求得:
A(﹣1,0)、C(0,﹣2);
∴OA=1,OC=2,OB=4,
即:
OC2=OA?
OB,又:
OC⊥AB,
∴△OAC∽△OCB,得:
∠OCA=∠OBC;
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°
∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径;
所以该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为:
(,0).
(3)已求得:
B(4,0)、C(0,﹣2),可得直线BC的解析式为:
y=x﹣2;
设直线l∥BC,则该直线的解析式可表示为:
y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程:
x+b=x2﹣x﹣2,即:
x2﹣2x﹣2﹣b=0,且△=0;
∴4﹣4×
(﹣2﹣b)=0,即b=﹣4;
∴直线l:
y=x﹣4.
所以点M即直线l和抛物线的唯一交点,有:
,解得:
即M(2,﹣3).
即M(2,﹣3).
过M点作MN⊥x轴于N,
S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×
2×
(2+3)+×
3﹣×
4=4.
平行四边形类
3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx+n经过点A(3,0)、B(0,﹣3),点P
是直线AB上的动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,设点P的横坐标为t.
(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式.
(2)若点P在第四象限,连接AM、BM,当线段PM最长时,求△ABM的面积.(3)是否存在这样的点P,使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,请直接写出点P的横坐标;
若不存在,请说明理由.
二次函数综合题;
解一元二次方程-因式分解法;
待定系数法求一次函数解析式;
待定系数法求二次函数解析式;
三角形的面积;
平行四边形的判定..专题:
存在型.
(1)分别利用待定系数法求两函数的解析式:
把A(3,0)B(0,﹣3)分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b,得到关于m、n的两个方程组,解方程组即可;
(2)设点P的坐标是(t,t﹣3),则M(t,t2﹣2t﹣3),用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长,即PM=(t﹣3)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t,然后根据二次函数的最值得到
当t=﹣=时,PM最长为=,再利用三角形的面积公式利用
S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可;
(3)由PM∥OB,根据平行四边形的判定得到当PM=OB时,点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形,然后讨论:
当P在第四象限:
PM=OB=3,PM最长时只有,所以不可能;
当P在第一象限:
PM=OB=3,(t2﹣2t﹣3)﹣(t﹣3)=3;
当P在第三象限:
PM=OB=3,t2﹣3t=3,分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值.
(1)把A(3,0)B(0,﹣3)代入y=x2+mx+n,得
设直线AB的解析式是y=kx+b,
把A(3,0)B(0,﹣3)代入y=kx+b,得
,解得
所以直线AB的解析式是y=x﹣3;
2)设点P的坐标是(t,t﹣3),则M(t,t2﹣2t﹣3),因为p在第四象限,
所以PM=(t﹣3)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t,
3)存在,理由如下:
∵PM∥OB,
PM=OB时,点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形,
去),所以P点的横坐标是;
点的横坐标是
所以P点的横坐标是
4.如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0,1),B(2,0),O(0,
0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°
,得到△A′B′O.
(1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式;
(2)设点P是在第一象限内抛物线上的一动点,是否存在点P,使四边形PB′A′B的面积是
△A′B′O面积4倍?
若存在,请求出P的坐标;
(3)在
(2)的条件下,试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形?
并写出四边形PB′A′B
的两条性质.
二次函数综合题..
压轴题.
(1)利用旋转的性质得出A′(﹣1,0),B′(0,2),再利用待定系数法求二次函数解析式即可;
(2)利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB,再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍,得出一元二次方程,得出P点坐标即可;
(3)利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形,利用等腰梯形性质得出答案即可.
解:
(1)△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°
得到的,又A(0,1),B(2,0),O(0,0),
∴A′(﹣1,0),B′(0,2).
方法一:
设抛物线的解析式为:
y=ax2+bx+c(a≠0),
∵抛物线经过点A′、B′、B,
y=a(x+1)(x﹣2)将B′(0,2)代入得出:
2=a(0+1)(0﹣2),解得:
a=﹣1,
故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣(x+1)(x﹣2)=﹣x2+x+2;
(2)∵P为第一象限内抛物线上的一动点,
设P(x,y),则x>
0,y>
0,P点坐标满足y=﹣x2+x+2.
连接PB,PO,PB′,∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB,
=×
1×
2+×
x+×
y,
2
=x+(﹣x2+x+2)+1,
=﹣x2+2x+3.
∵A′O=1,B′O=2,∴△A′B′O面积为:
×
2=1,假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍,则4=﹣x2+2x+3,
即x2﹣2x+1=0,
解得:
x1=x2=1,
此时y=﹣12+1+2=2,即P(1,2).
∴存在点P(1,2),使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.
(3)四边形PB′A′B为等腰梯形,答案不唯一,下面性质中的任意2个均可.
①等腰梯形同一底上的两个内角相等;
②等腰梯形对角线相等;
③等腰梯形上底与下底平行;
④等腰梯形两腰相等.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)或用符号表示:
①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′;
②PA′B=′B;
③B′P∥A′B;
④B′A′P=B.
﹣﹣(10分)
1)求抛物线顶点A的坐标;
(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧),试判断△ABD的形状;
(3)在直线l上是否存在一点P,使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求点P的坐标;
分类讨论.
(1)先根据抛物线的解析式得出其对称轴,由此得到顶点A的横坐标,然后代入直线l的
解析式中即可求出点A的坐标.
(2)由A点坐标可确定抛物线的解析式,进而可得到点B的坐标.则AB、AD、BD三边
的长可得,然后根据边长确定三角形的形状.
(3)若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形,应分①AB为对角线、②AD为对
角线两种情况讨论,即①ADPB、②ABPD,然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标.
(1)∵顶点A的横坐标为x=﹣=1,且顶点A在y=x﹣5上,
∴当x=1时,y=1﹣5=﹣4,
∴A(1,﹣4).
(2)△ABD是直角三角形.
将A(1,﹣4)代入y=x2﹣2x+c,可得,1﹣2+c=﹣4,∴c=﹣3,
∴y=x2﹣2x﹣3,∴B(0,﹣3)
当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,x1=﹣1,x2=3
∴C(﹣1,0),D(3,0),BD2=OB2+OD2=18,AB2=(4﹣3)2+12=2,AD2=(3﹣1)2+42=20,
BD2+AB2=AD2,
∴∠ABD=90°
,即△ABD是直角三角形.
(3)存在.
由题意知:
直线y=x﹣5交y轴于点E(0,﹣5),交x轴于点F(5,0)
∴OE=OF=5,
又∵OB=OD=3
∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形
∴BD∥l,即PA∥BD
则构成平行四边形只能是PADB或PABD,如图,
过点P作y轴的垂线,过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G.设P(x1,x1﹣5),则G(1,x1﹣5)
则PG=|1﹣x1|,AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|
PA=BD=3
由勾股定理得:
(1﹣x1)2+(1﹣x1)2=18,x12﹣2x1﹣8=0,x1=﹣2或4∴P(﹣2,﹣7)或P(4,﹣1),
存在点P(﹣2,﹣7)或P(4,﹣1)使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形.
周长类
6.如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(﹣3,0)、(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且顶点在直线x=上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)在
(2)的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标;
(4)在
(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作∥BD交x轴于点N,连接PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S和t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,S是否存在最大值?
若存在,求出最大值和此时M点的坐标;
(1)根据抛物线y=经过点B(0,4),以及顶点在直线x=上,得出b,c即可;
(2)根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),利用图象上点的性质得出x=5或2时,y的值即可.
(3)首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,求出解析式,当x=时,求出y即可;
(4)利用MN∥BD,得出△OMN∽△OBD,进而得出,得到ON=,进而表示出
△PMN的面积,利用二次函数最值求出即可.
2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,∴AB=,∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5,
∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),当x=5时,y=,
当x=2时,y=,
∴点C和点D都在所求抛物线上;
3)设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点,
当x=时,y=
4)∵MN∥BD,
∴△OMN∽△OBD,
设对称轴交x于点F,
(0<
t<
4),
a=﹣<
0∴抛物线开口向下,S存在最大值.
等腰三角形类
7.如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°
至OB的位置.
1)求点B的坐标;
2)求经过点A、O、B的抛物线的解析式;
3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三
(1)首先根据OA的旋转条件确定B点位置,然后过B做x轴的垂线,通过构建直角三角形和OB的长(即OA长)确定B点的坐标.
(2)已知O、A、B三点坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式.
(3)根据
(2)的抛物线解析式,可得到抛物线的对称轴,然后先设出P点的坐标,而O、
B坐标已知,可先表示出△OPB三边的边长表达式,然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论,然后分辨是否存在符合条件的P点.
(1)如图,过B点作BC⊥x轴,垂足为C,则∠BCO=90°
,∵∠AOB=120°
,∴∠BOC=60°
,又∵OA=OB=4,∴OC=OB=×
4=2,BC=OB?
sin60°
=4×
=2,∴点B的坐标为(﹣2,﹣2);
2)∵抛物线过原点O和点A、B,∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx,
将A(4,0),B(﹣2.﹣2)代入,得
3)存在,如图,抛物线的对称轴是直线x=2,直线x=2与x轴的交点为D,设点P的坐标为(2,y),
1若OB=OP,
则22+|y|2=42,解得y=±
2,
∴∠POD=60°
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°
+120°
=180°
即P、O、B三点在同一直线上,
∴y=2不符合题意,舍去,
∴点P的坐标为(2,﹣2)
2若OB=PB,则42+|y+2|2=42,
解得y=﹣2,
故点P的坐标为(2,﹣2),
3若OP=BP,则22+|y|2=42+|y+2|2,
综上所述,符合条件的点P只有一个,其坐标为(2,﹣2),
8.在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(﹣1,0),如图所示:
抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B.
(1)求点B的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?
若存在,求所有点P的坐标;
(1)根据题意,过点B作BD⊥x轴,垂足为D;
根据角的互余的关系,易得B到x、y轴的距离,即B的坐标;
(2)根据抛物线过B点的坐标,可得a的值,进而可得其解析式;
(3)首先假设存在,分A、C是直角顶点两种情况讨论,根据全等三角形的性质,可得答案.
(1)过点B作BD⊥x轴,垂足为D,
∵∠BCD+∠ACO=90°
,∠ACO+∠CAO=90°
∴∠BCD=∠CAO,(1分)
又∵∠BDC=∠COA=90°
,CB=AC,
∴△BCD≌△CAO,(2分)
∴BD=OC=1,CD=OA=2,(3分)
∴点B的坐标为(﹣3,1);
(4分)
(2)抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B(﹣3,1),
则得到1=9a﹣3a﹣2,(5分)
解得a=,
所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2;
(7分)
(3)假设存在点P,使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形:
1若以点C为直角顶点;
则延长BC至点P1,使得P1C=BC,得到等腰直角三角形△ACP1,(8分)过点P1作P1M⊥x轴,
∵CP1=BC,∠MCP1=∠BCD,∠P1MC=∠BDC=90°
∴△MP1C≌△DBC.(10分)
∴CM=CD=2,P1M=BD=1,可求得点P1(1,﹣1);
(11分)
2若以点A为直角顶点;
则过点A作AP2⊥CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形△ACP2,(12分)过点P2作P2N⊥y轴,同理可证△AP2N≌△CAO,(13分)
∴NP2=OA=2,AN=OC=1,可求得点P2(2,1),(14分)
经检验,点P1(1,﹣1)与点P2(2,1)都在抛物线y=x2+x﹣2上.(16分)
9.在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板放在第一象限,斜靠在两坐标轴上,且
点A(0,2),点C(1,0),如图所示,抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点B.
代数几何综合题;
(1)首先过点B作BD⊥x轴,垂足为D,易证得△BDC≌△COA,即可得BD=OC=1,
CD=OA=2,则可求得点B的坐标;
(2)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式;
(3)分别从①以AC为直角边,点C为直角顶点,则延长BC至点P1使得P1C=BC,得到等腰直角三角形ACP1,过点P1作P1M⊥x轴,②若以AC为直角边,点A为直角顶点,则过点A作AP2⊥CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形ACP2,过点P2作P2N⊥y轴,③若以AC为直角边,点A为直角顶点,则过点A作AP3⊥CA,且使得AP3=AC,得到等腰直角三角形ACP3,过点P3作P3H⊥y轴,去分析则可求得答案.
,∠AC0+∠OAC=90°
∴∠BCD=∠CAO,
∴△BDC≌△COA,
∴BD=OC=1,CD=OA=2,
∴点B的坐标为(3,1);
(2)∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2过点B(3,1),
∴1=9a﹣3a﹣2,
a=,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2;
(3)假设存在点P,使得△ACP是等腰直角三角形,
①若以AC为直角边,点C为直角顶点,
则延长BC至点P1使得P1C=BC,得到等腰直角三角形ACP1,过点P1作P1M⊥x轴,如图
(1),
∴△MP1C≌△DBC,
∴CM=CD=2,P1M=BD=1,
∴P1(﹣1,﹣1),经检验点P1在抛物线y=x2﹣x﹣2上;
②若以AC为直角边,点A为直角顶点,则过点A作AP2⊥CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形ACP2,过点P2作P2N⊥y轴,如图
(2),同理可证△AP2N≌△CAO,
∴NP2=OA=2,AN=OC=1,
∴P2(﹣2,1),经检验P2(﹣2,1)也在抛物线y=x2﹣x﹣2上;
3若以AC为直角边,点A为直角顶点,则过点A作AP3⊥CA,且使得AP3=AC,得到等腰直角三角形ACP3,过点P3作P3H⊥y轴,如图(3),同理可证△AP3H≌△CAO,
∴HP3=OA=2,AH=OC=1,∴P3(2,3),经检验P3(2,3)不在抛物线y=x2﹣x﹣2上;
故符合条件的点有P1(﹣1,﹣1),P2(﹣2,1)两点.
综合类
10.如图,已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B(5,0),另一个交点为A,且与y轴交于点C(0,5).
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