人教版九级下《第章锐角三角函数》专项训练含答案.docx
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人教版九级下《第章锐角三角函数》专项训练含答案
第28章锐角三角函数专项训练
专训1 求锐角三角函数值的常用方法
名师点金:
锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间的关系,对于斜三角形,要把它转化为直角三角形求解.在求锐角的三角函数值时,首先要明确是求锐角的正弦值,余弦值还是正切值,其次要弄清是哪两条边的比.
直接用锐角三角函数的定义
1.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若CD=5,AC=6,
(第1题)
则tanB的值是( )
A. B.
C. D.
2.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tan∠BAD=,求sinC的值.
(第2题)
3.如图,直线y=x+与x轴交于点A,与直线y=2x交于点B.
(1)求点B的坐标;
(2)求sin∠BAO的值.
(第3题)
利用同角或互余两角三角函数间的关系
4.若∠A为锐角,且sinA=,则cosA=( )
A.1B.C.D.
5.若α为锐角,且cosα=,则sin(90°-α)=( )
A.B.C.D.
6.若α为锐角,且sin2α+cos230°=1,则α=______.
巧设参数
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=,则tanB的值为( )
A.B.C.D.
8.已知,在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边长分别为a,b,c,且a,b,c满足b2=(c+a)(c-a).若5b-4c=0,求sinA+sinB的值.
利用等角来替换
9.如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB的中线,过点A作AE⊥CD,AE分别与CD,CB相交于点H,E且AH=2CH,求sinB的值.
(第9题)
专训2 同角或互余两角的三角函数关系的应用
名师点金:
1.同角三角函数关系:
sin2α+cos2α=1,tanα=.
2.互余两角的三角函数关系:
sinα=cos(90°-α),cosα=sin(90°-α),tanα·tan(90°-α)=1.
同角间的三角函数的应用
1.已知=4,求的值.
2.若α为锐角,sinα-cosα=,求sinα+cosα的值.
余角间的三角函数的应用
3.若45°-α和45°+α均为锐角,则下列关系式正确的是( )
A.sin(45°-α)=sin(45°+α)
B.sin2(45°-α)+cos2(45°+α)=1
C.sin2(45°-α)+sin2(45°+α)=1
D.cos2(45°-α)+sin2(45°+α)=1
4.计算tan1°·tan2°·tan3°·…·tan88°·tan89°的值.
同角的三角函数间的关系在一元二次方程中的应用
5.已知sinα·cosα=(α为锐角),求一个一元二次方程,使其两根分别为sinα和cosα.
6.已知α为锐角且sinα是方程2x2-7x+3=0的一个根,求的值.
专训3 用三角函数解与圆有关问题
名师点金:
用三角函数解与圆有关的问题,是近几年中考热门命题内容,题型多样化;一般以中档题、压轴题形式出现,应高度重视.
一、选择题
1.如图,已知△ABC的外接圆⊙O的半径为3,AC=4,则sinB=( )
A.B.C.D.
(第1题)
(第2题)
2.如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O,点C恰好在半圆上,过C作CD⊥AB交AB于D,已知cos∠ACD=,BC=4,则AC的长为( )
A.1B.C.3D.
3.在△ABC中,AB=AC=5,sinB=.⊙O过B,C两点,且⊙O半径r=,则OA的长为( )
A.3或5B.5C.4或5D.4
4.如图,在半径为6cm的⊙O中,点A是劣弧BC的中点,点D是优弧BC上一点,且∠D=30°.下列四个结论:
(第4题)
①OA⊥BC;
②BC=6cm;
③sin∠AOB=;
④四边形ABOC是菱形.
其中正确结论的序号是( )
A.①③ B.①②③④ C.②③④ D.①③④
二、填空题
5.如图,AB是⊙O的直径,AB=15,AC=9,则tan∠ADC=________.
(第5题)
(第6题)
6.如图,直线MN与⊙O相切于点M,ME=EF且EF∥MN,则cosE=________.
7.如图,在半径为5的⊙O中,弦AB=6,点C是优弧AB上的一点(不与A,B重合),则cosC的值为________.
(第7题)
(第8题)
8.如图,在直角坐标系中,四边形OABC是直角梯形,BC∥OA,⊙P分别与OA,OC,BC相切于点E,D,B,与AB交于点F,已知A(2,0),B(1,2),则tan∠FDE=________.
三、解答题
9.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,tanB=,半径为2的⊙C分别交AC,BC于点D,E,得到.
(1)求证:
AB为⊙C的切线;
(2)求图中阴影部分的面积.
(第9题)
10.如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB.
(1)求证:
AT是⊙O的切线;
(2)连接OT交⊙O于点C,连接AC,求tan∠TAC的值.
(第10题)
11.如图,AB是⊙O的直径,CD与⊙O相切于点C,与AB的延长线交于点D,DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.
(1)求证:
DC=DE;
(2)若tan∠CAB=,AB=3,求BD的长.
(第11题)
12.如图,以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC,BC的交点分别为D,E,且=.
(1)试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)已知半圆的半径为5,BC=12,求sin∠ABD的值.
(第12题)
13.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,对角线AC,BD交于点E,点O在线段AE上,⊙O过B,D两点,若OC=5,OB=3,且cos∠BOE=.
求证:
CB是⊙O的切线.
(第13题)
答案
1.C
2.解:
∵AD⊥BC,∴tan∠BAD=.
∵tan∠BAD=,AD=12,∴=,∴BD=9.
∴CD=BC-BD=14-9=5,
∴在Rt△ADC中,AC===13,
∴sinC==.
3.解:
(1)解方程组得
∴点B的坐标为(1,2).
(第3题)
(2)如图,过点B作BC⊥x轴于点C,由x+=0,解得x=-3,
则A(-3,0),∴OA=3,
∴AB==2,
∴sin∠BAC===,
即sin∠BAO=.
4.D 5.B 6.30° 7.B
8.解:
∵b2=(c+a)(c-a),∴b2=c2-a2,
即c2=a2+b2,∴△ABC是直角三角形.
∵5b-4c=0,∴5b=4c,
则=,设b=4k,c=5k,那么a=3k.
∴sinA+sinB=+=.
9.解:
∵CD是斜边AB的中线,
∴CD=AD=BD.
∴∠DCB=∠B.
∵∠ACD+∠DCB=90°,∠ACD+∠CAH=90°,
∴∠DCB=∠CAH=∠B.
在Rt△ACH中,AH=2CH,
∴AC=CH.∴sinB=sin∠CAH==.
1.分析:
本题可利用求解,在原式的分子、分母上同时除以cosA,把原式化为关于的代数式,再整体代入求解即可.也可直接由=4,得到sinA与cosA之间的数量关系,代入式子中求值.
解:
(方法1)原式==.
∵=4,∴原式==.
(方法2)∵=4,∴sinA=4cosA.
∴原式===.
2.分析:
要求sinα+cosα的值,必须利用锐角三角函数之间的关系找出它与已知条件的关系再求解.
解:
∵sinα-cosα=,∴(sinα-cosα)2=,
即sin2α+cos2α-2sinαcosα=.
∴1-2sinαcosα=,即2sinαcosα=.
∴(sinα+cosα)2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+=.
又∵α为锐角,∴sinα+cosα>0.
∴sinα+cosα=.
3.C 点拨:
∵(45°-α)+(45°+α)=90°,∴sin(45°-α)=cos(45°+α),sin2(45°-α)+sin2(45°+α)=cos2(45°+α)+sin2(45°+α)=1.
4.解:
tan1°·tan2°·tan3°·…·tan88°·tan89°=(tan1°·tan89°)·(tan2°·tan88°)·…·(tan44°·tan46°)·tan45°=1.
点拨:
互余的两角的正切值的积为1,即若α+β=90°,则tanα·tanβ=1.
5.解:
∵sin2α+cos2α=1,sinα·cosα=,
∴(sinα+cosα)2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+2×=.
∵α为锐角,∴sinα+cosα>0.∴sinα+cosα=.
又∵sinα·cosα=,
∴以sinα,cosα为根的一元二次方程为x2-x+=0.
点拨:
此题用到两方面的知识:
(1)公式sin2α+cos2α=1与完全平方公式的综合运用;
(2)若x1+x2=p,x1x2=q,则以x1,x2为两根的一元二次方程为x2-px+q=0
6.解:
∵sinα是方程2x2-7x+3=0的一个根,
∴由求根公式,得
sinα==.
∴sinα=或sinα=3(不符合题意,舍去).
∵sin2α+cos2α=1,∴cos2α=1-=.
又∵cosα>0,∴cosα=.
∴==
=|sinα-cosα|==.
一、1.D
2.D 点拨:
∵AB为直径,∴∠ACB=90°.又∵CD⊥AB,∴∠B=∠ACD.∴cosB==,∴AB=.∴AC==.
3.A 4.B
二、5. 6. 7. 8.
三、
(第9题)
9.
(1)证明:
如图,过点C作CF⊥AB于点F,在Rt△ABC中,tanB==,∴BC=2AC=2.∴AB===5,∴CF===2.∴AB为⊙C的切线.
(2)解:
S阴影=S△ABC-S扇形CDE=AC·BC-=××2-=5-π.
10.
(1)证明:
∵AB=AT,∴∠ABT=∠ATB=45°,∴∠BAT=90°,即AT为⊙O的切线.
(2)解:
如图,过点C作CD⊥AB于D,则∠TAC=∠ACD,tan∠TOA===2,设OD=x,则CD=2x,OC=x=OA.∵AD=AO-OD=(-1)x,∴tan∠TAC=tan∠ACD===.
(第10题)
(第11题)
11.
(1)证明:
连接OC,如图,∵CD是⊙O的切线,
∴∠OCD=90°,∴∠ACO+∠DCE=90°.
又∵ED⊥AD,∴∠EDA=90°,∴∠EAD+∠E=90°.∵OC=OA,∴∠ACO=∠EAD,故∠DCE=∠E,∴DC=DE.
(2)解:
设BD=x,则AD=AB+BD=3+x,OD=OB+BD=1.5+x.在Rt△EAD中,∵tan∠CAB=,∴ED=AD=(3+x).由
(1)知,DC=(3+x).在Rt△OCD中,OC2+CD2=DO2,则1.52+=(1.5+x)2,解得x1=-3(舍去),x2=1,故BD=1.
12.解:
(1)△ABC为等腰三角形,理由如下:
连接AE,如图,
∵=,∴∠DAE=∠BAE,即AE平分∠BAC.
∵AB为直径,∴∠AEB=90°,∴AE⊥BC,
∴△ABC为等腰三角形
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