平面几何基础知识教程圆.docx
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平面几何基础知识教程圆
平面几何基础知识教程(圆)
一、几个重要定义
外心:
三角形三边中垂线恰好交于一点,此点称为外心
内心:
三角形三内角平分线恰好交于一点,此点称为内心
垂心:
三角形三边上的高所在直线恰好交于一点,此点称为垂心
凸四边形:
四边形的所有对角线都在四边形ABCD内部的四边形称为凸四边形
折四边形:
有一双对边相交的四边形叫做折四边形(如下图)
(折四边形)
二、圆内重要定理:
1.四点共圆
定义:
若四边形ABCD的四点同时共于一圆上,则称A,B,C,D四点共圆
基本性质:
若凸四边形ABCD是圆内接四边形,则其对角互补
证明:
略
判定方法:
1.定义法:
若存在一点O使OA=OB=OC=OD,则A,B,C,D四点共圆
2.定理1:
若凸四边形ABCD的对角互补,则此凸四边形ABCD有一外接圆
证明:
略
特别地,当凸四边形ABCD中有一双对角都是90度时,此四边形有一外接圆
3.视角定理:
若折四边形ABCD中,,则A,B,C,D四点共圆
证明:
如上图,连CD,AB,设AC与BD交于点P
因为,所以
特别地,当=90时,四边形ABCD有一外接圆
2.圆幂定理:
圆幂定理是圆的相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理的统一形式。
相交弦定理:
P是圆内任一点,过P作圆的两弦AB,CD,则
证明:
(切)割线定理:
P是圆外任意一点,过P任作圆的两割(切)线PAB,PCD,则
证明方法与相交弦定理完全一样,可仿前。
特别地,当C,D两点重合成为一点C’时,割线PCD变成为切线PC’
而由割线定理,,此时割线定理成为切割线定理
而当B,A两点亦重合为一点A’时,由切割线定理
因此有PC’=PA’,此时切割线定理成为切线长定理
现考虑割线与切线同时存在的情况,即切割线定理的情况:
如图,PCD是圆的割线,PE是圆的切线
设圆心为O,连PO,OE,则由切割线定理有:
而注意到黄色Δ是RTΔ,由勾股定理有:
,结合切割线定理,我们得到
,这个结果表明,如果圆心O与P是确定的,那么
PC与PD之积也是唯一确定的。
以上是P在圆外的讨论
现在再重新考虑P在圆内的情形,如下图,PCD是圆内的现,PAB是以P为中点的弦
则由相交弦定理有
连OP,OA,由垂径定理,ΔOPA是RTΔ由勾股定理有
,结合相交弦定理,便得到
这个结果同样表明,当O与P是固定的时候PC与PD之积是定值
以上是P在圆内的讨论
当P在圆上时,过P任作一弦交圆于A(即弦AP),此时
也是定值
综上,我们可以把相交弦定理,切割线定理,割线定理,切线长定理统一起来,得到圆幂定理。
圆幂定理:
P是圆O所在平面上任意一点(可以在圆内,圆上,圆外),过点P任作一直线交圆O于A,B两点(A,B两点可以重合,也可以之一和P重合),圆O半径为r
则我们有:
由上面我们可以看到,当P点在圆内的时候,,此时圆幂定理为相交弦定理
当P在圆上的时候,
当P在圆外的时候,此时圆幂定理为切割线定理,割线定理,或切线长定理
以下有很重要的概念和定理:
根轴
先来定义幂的概念:
从一点A作一圆周上的任一割线,从A起到和圆周相交为止的两线段之积,称为点对于这圆周的幂
对于已知两圆有等幂的点的轨迹,是一条垂直于连心线的直线。
根轴的定义:
两圆等幂点的轨迹是一条直线,这条直线称为两圆的根轴
性质1若两圆相交,其根轴就是公共弦所在直线
由于两圆交点对于两圆的幂都是0,所以它们位于根轴上,而根轴是直线,所以根轴是两交点的连线
性质2若两圆相切,其根轴就是过两圆切点的公切线(即性质1的极限情况)
性质3若三圆两两不同心,则其两两的根轴交于一点,或互相平行
所交的这点称为根心
证明:
若三圆心共线,则两两圆的根轴均垂直于连心线,因此此时两两的根轴互相平行
若三圆心不共线,则必成一三角形,因此两两的根轴必垂直于两两的连心线。
如图,设CD与EF交于点O,连AO交圆分O2圆O3于B’,B’’,则
其中前两式是点O对圆O2的幂,后二式是点O对圆O3的幂,中间是圆O对圆O1的幂进行转化
由此B’与B’’重合,事实上它们就是点B(圆O2与圆O3的非A的交点),由此两两的根轴共点
圆幂定理是对于圆适用的定理,今使用圆幂定理对圆内接四边形判定方法的补充:
圆内接四边形判定方法
4.相交弦定理逆定理:
如果四边形ABCD的对角线AC,BD交于点P,且满足
,则四边形ABCD有一外接圆
5.切割线定理逆定理:
如果凸四边形ABCD一双对边AB与DC交于点P
且满足,则四边形ABCD有一外接圆
这样我们就补充了两种判定方法
例(射影定理):
RTΔABC中,BC是斜边,AD是斜边上的高
则
证明:
(1)
(2)(3)
例2:
垂心
ΔABC中,三边所在的高的所在的直线交于一点
证明:
3.Miquel定理
之前1,2的重要定理都是讨论关于点共圆的情况。
那么反过来,圆共点的情况又如何?
从最简单的开始了解,在本文之后讨论圆共点问题中,甚至其他类型的问题,Miquel定理都给予莫大的便利,我们将要不止一次地用到它。
先看一个事实:
如图,ΔABC中,AD,BE,CF分别是三边上的高,则分别以AEF,BDF,CDE作圆
这三个圆共于一点,而且可以通过观察,这个点就是垂心刚好是AD,BE,CF的交点
在介绍Miquel定理之后,我们将会给这题与垂心一个阐释
Miquel定理:
ΔABC中,X,Y,Z分别是直线AB,BC,AC上的点,则
这样的点O称为X,Y,Z对于ΔABC的Miquel点
证明:
事实上这个证明隐含着对一般证圆共点的方法
在发掘Miquel定理的证明方法时可以得到一种更一般的证题方法
注意这个证明只在X,Y,Z在AB,BC,AC边上时可以
当在直线AB,BC,AC上时需要改一下,这里略去了。
现在回到之前关于垂心的问题。
为什么D,E,F关于ΔABC的Miquel点就是ΔABC的垂心
证明:
有了Miquel定理,我们可以对垂心有一个新的看法
用同样的方法可以对内心,外心以同样的解释:
由此可见,共点圆与三角形的特殊点有很大的关系,上述3种只是最简单的最容易发现的
提起外心就会联想到外接圆,这里不得不提一个常用定理:
正弦定理
正弦定理:
ΔABC中,外接圆半径R,则
证明:
作直径AOD,连BD
其余同理
想到三角函数里面的函数名,那么自然会想到余弦定理
余弦定理:
证明:
接着便就是著名的费马点,它也与共点圆有关系
费马点,即ΔABC内一点,使其到三顶点距离之和最小的点
当ΔABC任一内角都<120时,费马点存在于内部,当Δ有一内角>=120时费马点与此角顶点重合
设ΔABC中任一内角均<120,则费马点F可以通过如下方法作出来:
分别以AB,AC,BC向外作正Δ,连接对着的顶点,则得
事实上,点F是这3个正Δ的外接圆所共的点
而FA+FB+FC其实就是顶点到对着的正Δ顶点的连线的长
而且之后将会有一种方法计算FA+FB+FC的长度
而这将会在之后进行讨论
4.Simson定理
Simson定理是常用而且著名的定理,多用于证明点共线,其逆定理也成立
Simson定理:
P是ΔABC外接圆上一点,过点P作PD垂直BC,PE垂直于AB,同理PF
则D,E,F是共线的三点
直线DEF称为点P关于ΔABC的Simson线
引理(完全四边形的Miquel定理):
四条直线两两交于A,B,C,D,E,F六点
则共点
其中所共的点叫做完全四边形的Miquel点
证明:
这里运用Miquel定理作为证明
今逆定理证略
从这个证明我们看到Miquel定理的威力不仅在于圆共点,而且对于共点圆也同样适用
在有了Simson定理之后,我们可以运用Simson定理来给予完全四边形的Miquel定理一个新的证明(即前面的引理)
证明:
由这个证明,我们可以知道完全四边形的Miquel定理和Simson定理是等价的
能够运用Simson定理证明的必也可用完全四边形的密克定理证明,反之亦然
这样,Simson定理便与密克定理产生了莫大的关联
例.如图,P为ΔABC外接圆上一点,作交圆周于A’,作交圆周于B’,C’同理。
求证:
证明:
设PA’交BC于D,PB’交AC于E,F同理,则由Simson定理知,DEF三点共线
由图形看来,题断三条互相平行的线均与Simson线平行,因此可以试证
连PB
而注意到P,B,D,F四点共圆,因此
因此AA’与Simson线平行。
其余同理
事实上,Simson定理可以作推广,成为Carnot定理
Carnot定理:
通过ΔABC外接圆上的一点P,引与三边BC,CA,AB分别成同向等角(即)的直线PD,PE,PF与三边或其所在直线的交点分别为D,E,F则D,E,F是共线的三点
可以仿照前面的证明
(这里的证明也可以运用四点共圆的判定定理与性质,再证)
证明留给读者,作为习题
5.Ptolemy定理
本文主要介绍一些平面几何圆中较为重要和常用的定理,而Ptolemy定理是一个十分重要的定理,及其也有重要的推广
Ptolemy定理:
若四边形ABCD是圆内接四边形,则
证明:
至此,我们重新把求费马点至三顶点距离的长度和的问题提出,运用Ptolemy定理解决:
如图,设AB=c,AC=b,BC=a由,有A,F,B’,C四点共圆
(这里我们用到著名的求积公式:
证略).
至此,本文平面几何圆的基础知识已经全部介绍完毕,这里将以著名的Chapple定理结束(只做了解)
这是与圆幂定理的应用有关的定理之一
Chapple定理:
设R是ΔABC的外接圆半径,r是内切圆半径,d是这两圆的圆心距,则
证明:
事实上Chapple定理对旁心也有相应的公式,不过是等号右边的符号-变+
但对本文不提及旁心,因此略去
习题:
第一部分(四点共圆的应用)
1.如图,在△ABC中,AB=AC.任意延长CA到P,再延长AB到Q使AP=BQ.求证:
△ABC的外心O与A,P,Q四点共圆.(1994年全国初中数学联合竞赛二试第1题)
2.如图,在中,是底边上一点,是线段上一点,且.求证:
.(1992年全国初中数学联合竞赛二试第2题)
3.如图,设AB,CD为⊙O的两直径,过B作PB垂直于AB,并与CD延长线相交于点P,过P作直线与⊙O分别交于E,F两点,连结AE,AF分别与CD交于G,H求证:
OG=OH.(2002年我爱数学初中生夏令营一试第2题).
第二部分(圆幂定理的应用)
4.如图,等边三角形ABC中,边AB与⊙O相切于点H,边BC,CA与⊙O交于点D,E,F,G。
已知AG=2,GF=6,FC=1.则DE=_______.(第33届美国中学生数学邀请赛试题改编)
5.如图,⊙O和⊙O′都经过点A和B,PQ切⊙O于P,交⊙O′于Q,M,交AB的延长线于N.求证:
.
6.如图,已知点P是O外一点,PS,PT是O的两条切线,过点P作O的割线PAB,交O于A.B两点,并交ST于点C,求证:
.(2001年TI杯全国初中数学竞赛B卷第14题)
第三部分(Ptolemy定理的应用)
7.已知a,b,x,y是正实数,且,求证:
.
8.从锐角△ABC的外心O向它的边BC,CA,AB作垂线,垂足分别为D,E,F.设△ABC的外接圆和内切圆半径分别为R,r.求证:
OD+OE+OF=R+r.
9.设△ABC与△A’B’C’的三边分别为a,b,c与a’,b’,c’,且∠B=∠B’,∠A+∠A’=.试证:
aa’=bb’+cc’.
第四部分(Simon定理
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