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2016全国各地导数压轴题汇编
1、(2016年全国卷I理数)
已知函数有两个零点
(I)求的取值范围
(II)设是的两个零点,求证:
2、(2016年全国卷I文数)
已知函数
(I)讨论的单调性
(II)若有两个零点,求的取值范围
3、(2016年全国卷II理数)
(I)讨论函数的单调性,并证明当>0时,
(II)证明:
当时,函数有最小值.设g(x)的最小值为,求函数的值域.
4、(2016年全国卷II文数)
已知函数.
(I)当时,求曲线在处的切线方程;
(II)若当时,,求的取值范围.
5、(2016年全国卷III理数)
设函数其中a>0,记的最大值为
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求;
(Ⅲ)证明
6、(2016年全国卷III文数)
设函数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)证明当时,;
(Ⅲ)设,证明当时,.
7、(2016年天津理数)
设函数其中
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)若存在极点,且其中,求证:
;
(Ⅲ)设,函数,求证:
在区间上的最大值不小于
8、(2016年四川理数)
设函数其中
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)确定的所有可能取值,使得在区间(1,+∞)内恒成立(=2.718…为自然对数的底数)。
9、(2016年山东理数)
已知.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)当时,证明对于任意的成立
2、(I)
(i)设,则当时,;当时,.
所以在单调递减,在单调递增.
(ii)设,由得x=1或x=ln(-2a).
①若,则,所以在单调递增.
②若,则ln(-2a)<1,故当时,;
当时,,所以在单调递增,在单调递减.
③若,则,故当时,,当时,,所以在单调递增,在单调递减.
(II)(i)设,则由(I)知,在单调递减,在单调递增.
又,取b满足b<0且,
则,所以有两个零点.
(ii)设a=0,则所以有一个零点.
(iii)设a<0,若,则由(I)知,在单调递增.
又当时,<0,故不存在两个零点;若,则由(I)知,在单调递减,在单调递增.又当时<0,故不存在两个零点.综上,a的取值范围为.
3、试题解析:
(Ⅰ)的定义域为.
且仅当时,,所以在单调递增,
因此当时,
所以
(II)
由(I)知,单调递增,对任意
因此,存在唯一使得即,
当时,单调递减;
当时,单调递增.
因此在处取得最小值,最小值为
于是,由单调递增
所以,由得
因为单调递增,对任意存在唯一的
使得所以的值域是
综上,当时,有,的值域是
考点:
函数的单调性、极值与最值.
4、【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)先求定义域,再求,,,由直线方程得点斜式可求曲线在处的切线方程为(Ⅱ)构造新函数,对实数分类讨论,用导数法求解.
试题解析:
(I)的定义域为.当时,
,曲线在处的切线方程为
(II)当时,等价于
令,则
,
(i)当,时,,故在上单调递增,因此;
(ii)当时,令得
,
由和得,故当时,,在单调递减,因此.
综上,的取值范围是
考点:
导数的几何意义,函数的单调性.
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