高中数学必修15习题经典题5第五章三角函数最新.docx
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高中数学必修15习题经典题5第五章三角函数最新
第五章三角函数第一节角的概念的推广与弧度制A组
1.点P从(-1,0)出发,沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动弧长到达Q点,则Q点的坐标为________.
解析:
由于点P从(-1,0)出发,顺时针方向运动弧长到达Q点,如图,因此Q点的坐标为(cos,sin),即Q(-,).答案:
(-,)
2.设α为第四象限角,则下列函数值一定是负值的是________.
①tan ②sin ③cos ④cos2α更多转自
解析:
α为第四象限角,则为第二、四象限角,因此tan<0恒成立,应填①,其余三个符号可正可负.答案:
①
3.若sinα<0且tanα>0,则α是第_______象限的角.答案:
三
4.函数y=++的值域为________.
解析:
当x为第一象限角时,sinx>0,cosx>0,tanx>0,y=3;
当x为第二象限角时,sinx>0,cosx<0,tanx<0,y=-1;
当x为第三象限角时,sinx<0,cosx<0,tanx>0,y=-1;
当x为第四象限角时,sinx<0,cosx>0,tanx<0,y=-1.答案:
{-1,3}
5.若一个α角的终边上有一点P(-4,a),且sinα·cosα=,则a的值为________.
解析:
依题意可知α角的终边在第三象限,点P(-4,a)在其终边上且sinα·cosα=,易得tanα=或,则a=-4或-.答案:
-4或-
6.已知角α的终边上的一点P的坐标为(-,y)(y≠0),且sinα=y,求cosα,tanα的值.
解:
因为sinα=y=,所以y2=5,
当y=时,cosα=-,tanα=-;
当y=-时,cosα=-,tanα=.
B组
1.已知角α的终边过点P(a,|a|),且a≠0,则sinα的值为________.
解析:
当a>0时,点P(a,a)在第一象限,sinα=;
当a<0时,点P(a,-a)在第二象限,sinα=.答案:
2.已知扇形的周长为6cm,面积是2cm2,则扇形的圆心角的弧度数是_____.
解析:
设扇形的圆心角为αrad,半径为R,则
,解得α=1或α=4.答案:
1或4
3.如果一扇形的圆心角为120°,半径等于10cm,则扇形的面积为________.
解析:
S=|α|r2=×π×100=π(cm2).答案:
πcm2
4.若角θ的终边与168°角的终边相同,则在0°~360°内终边与角的终边相同的角的集合为__________.答案:
{56°,176°,296°}
5.若α=k·180°+45°(k∈Z),则α是第________象限.
解析:
当k=2m+1(m∈Z)时,α=2m·180°+225°=m·360°+225°,故α为第三象限角;当k=2m(m∈Z)时,α=m·360°+45°,故α为第一象限角.
答案:
一或三
6.设角α的终边经过点P(-6a,-8a)(a≠0),则sinα-cosα的值是________.
解析:
∵x=-6a,y=-8a,∴r==10|a|,
∴sinα-cosα=-===±.答案:
±
7.若点A(x,y)是300°角终边上异于原点的一点,则的值为________.
解析:
=tan300°=-tan60°=-.答案:
-
8.已知点P(sin,cos)落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为________.
解析:
由sin>0,cos<0知角θ在第四象限,∵tanθ==-1,θ∈[0,2π),∴θ=.答案:
9.已知角α的始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=kx上,若sinα=,且cosα<0,则k的值为________.
解析:
设α终边上任一点P(x,y),且|OP|≠0,∴y=kx,
∴r==|x|.又sinα>0,cosα<0.∴x<0,y>0,
∴r=-x,且k<0.∴sinα===-,又sinα=.
∴-=,∴k=-2.答案:
-2
10.已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径是R.若α=60°,R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积.
解:
设弧长为l,弓形面积为S弓,∵α=60°=,R=10,∴l=π(cm),
S弓=S扇-S△=·π·10-·102sin60°=50(-)(cm2).
11.扇形AOB的周长为8cm.
(1)若这个扇形的面积为3cm2,求圆心角的大小;
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解:
设扇形AOB的半径为r,弧长为l,圆心角为α,
(1)由题意可得解得或
∴α==或α==6.
(2)∵2r+l=2r+αr=8,∴r=.∴S扇=αr2=α·=≤4,
当且仅当α=,即α=2时,扇形面积取得最大值4.此时,r==2(cm),
∴|AB|=2×2sin1=4sin1(cm).
12.
(1)角α的终边上一点P(4t,-3t)(t≠0),求2sinα+cosα的值;
(2)已知角β的终边在直线y=x上,用三角函数定义求sinβ的值.
解:
(1)根据题意,有x=4t,y=-3t,所以r==5|t|,
①当t>0时,r=5t,sinα=-,cosα=,所以2sinα+cosα=-+=-.
②当t<0时,r=-5t,sinα==,cosα==-,
所以2sinα+cosα=-=.
(2)设P(a,a)(a≠0)是角β终边y=x上一点,若a<0,则β是第三象限角,r=-2a,此时sinβ==-;若a>0,则β是第一象限角,r=2a,
此时sinβ==.
第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式
A组
1.若cosα=-,α∈(,π),则tanα=________.
解析:
cosα=-,α∈(,π),所以sinα=,∴tanα==-.
答案:
-
2.若sinθ=-,tanθ>0,则cosθ=________.
解析:
由sinθ=-<0,tanθ>0知,θ是第三象限角,故cosθ=-.
答案:
-
3.若sin(+α)=,则cos(-α)=________.
解析:
cos(-α)=cos[-(+α)]=sin(+α)=.答案:
4.已知sinx=2cosx,则=______.
解析:
∵sinx=2cosx,∴tanx=2,∴==.
答案:
5.若cos2θ+cosθ=0,则sin2θ+sinθ=________.
解析:
由cos2θ+cosθ=0,得2cos2θ-1+cosθ=0,所以cosθ=-1或cosθ=,当cosθ=-1时,有sinθ=0,当cosθ=时,有sinθ=±.于是sin2θ+sinθ=sinθ(2cosθ+1)=0或或-.答案:
0或或-
6.已知sin(π-α)cos(-8π-α)=,且α∈(,),求cosα,sinα的值.
解:
由题意,得2sinαcosα=.①又∵sin2α+cos2α=1,②
①+②得:
(sinα+cosα)2=,②-①得:
(sinα-cosα)2=.
又∵α∈(,),∴sinα>cosα>0,即sinα+cosα>0,sinα-cosα>0,
∴sinα+cosα=.③sinα-cosα=,④
③+④得:
sinα=.③-④得:
cosα=.
B组
1.已知sinx=2cosx,则sin2x+1=________.
解析:
由已知,得tanx=2,所以sin2x+1=2sin2x+cos2x===.答案:
2.cos=________.
解析:
cos=cos=-cos=-.答案:
-
3.已知sinα=,且α∈(,π),那么的值等于________.
解析:
cosα=-=-,====-.
答案:
-
4.若tanα=2,则+cos2α=_________________.
解析:
+cos2α=+=+=.答案:
5.已知tanx=sin(x+),则sinx=___________________.
解析:
∵tanx=sin(x+)=cosx,∴sinx=cos2x,∴sin2x+sinx-1=0,解得sinx=.答案:
6.若θ∈[0,π),且cosθ(sinθ+cosθ)=1,则θ=________.
解析:
由cosθ(sinθ+cosθ)=1⇒sinθ·cosθ=1-cos2θ=sin2θ⇒sinθ(sinθ-cosθ)=0⇒sinθ=0或sinθ-cosθ=0,又∵θ∈[0,π),∴θ=0或.答案:
0或
7.已知sin(α+)=,则cos(α+)的值等于________.
解析:
由已知,得cos(α+)=cos[(α+)+]=-sin(α+)=-.
答案:
-
8.若cosα+2sinα=-,则tanα=________.
解析:
由
将①代入②得(sinα+2)2=0,∴sinα=-,cosα=-,∴tanα=2.
答案:
2
9.已知f(α)=,则f(-)的值为________.
解析:
∵f(α)==-cosα,∴f(-π)=-cos=-.答案:
-
10.求sin(2nπ+)·cos(nπ+)(n∈Z)的值.
解:
(1)当n为奇数时,sin(2nπ+)·cos(nπ+)=sin·cos[(n+1)π+]
=sin(π-)·cos=sin·cos=×=.
(2)当n为偶数时,sin(2nπ+)·cos(nπ+)=sin·cos=sin(π-)·cos(π+)=sin·(-cos)=×(-)=-.
11.在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cosA=-cos(π-B),求△ABC的三内角.
解:
由已知,得
①2+②2得:
2cos2A=1,即cosA=±.
(1)当cosA=时,cosB=,又A、B是三角形内角,∴A=,B=,∴C=π-(A+B)=π.
(2)当cosA=-时,cosB=-.又A、B是三角形内角,∴A=π,B=π,不合题意.综上知,A=,B=,C=π.
12.已知向量a=(,1),向量b=(sinα-m,cosα).
(1)若a∥b,且α∈[0,2π),将m表示为α的函数,并求m的最小值及相应的α值;
(2)若a⊥b,且m=0,求的值.
解:
(1)∵a∥b,∴cosα-1·(sinα-m)=0,∴m=sinα-cosα=2sin(α-).
又∵α∈[0,2π),∴当sin(α-)=-1时,mmin=-2.
此时α-=π,即α=π.
(2)∵a⊥b,且m=0,∴sinα+cosα=0.∴tanα=-.
∴==tanα·2sinα·cosα
=tanα·=tanα·=.
第三节正弦函数与余弦函数的图像与性质A组
1.已知函数f(x)=sin(x-)(x∈R),下面结论错误的是.
①函数f(x)的最小正周期为2π②函数f(x)在区间[0,]上是增函数
③函数f(x)的图象关于直线x=0对称④函数f(x)是奇函数
解析:
∵y=sin(x-)=-cosx,y=-cosx为偶函数,
∴T=2π,在[0,]上是增函数,图象关于y轴对称.答案:
④
2.函数y=2cos2(x-)-1是________.
①最小正周期为π的奇函数 ②最小正周期为π的偶函数 ③最小正周期为的奇函数 ④最小正周期为的偶函数
解析:
y=2cos2(x-)-1=cos(2x-)=sin2x,∴T=π,且为奇函数.
答案:
①
3.若函数f(x)=(1+tanx)cosx,0≤x<,则f(x)的最大值为________.
解析:
f(x)=(1+·)·cosx=cosx+sinx=2sin(x+),
∵0≤x<,∴≤x+<,∴当x+=时,f(x)取得最大值2.答案:
2
4.已知函数f(x)=asin2x+cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为x=,则a的值为________.
解析:
∵x=是对称轴,∴f(0)=f(),即c
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