数学建模竞赛中优化问题与规划模型模板Word格式文档下载.docx
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田地总量x1+x2+x350劳力总数1/2x1+1/3x2+1/4x320
模型I:
设决策变量:
种植蔬菜x1亩,棉花x2亩,水稻x3亩,
求目标函数f=110x1+75x2+60x3
在约束条件x1+x2+x3501/2x1+1/3x2+1/4x320下的最大值
规划问题:
求目标函数在约束条件下的最值,
规划问题包含3个组成要素:
决策变量、目标函数、约束条件。
当目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数时,称为线性规划问题,否则称为非线性规划问题。
2.线性规划问题求解方法
称满足约束条件的向量为可行解,称可行解的集合为可行域,
称使目标函数达最值的可行解为最优解.
命题1线性规划问题的可行解集是凸集.
因为可行解集由线性不等式组的解构成。
两个变量的线性规划问题的可行解集是平面上的凸多边形。
命题2线性规划问题的最优解一定在可行解集的某个极点上达到.
图解法:
解两个变量的线性规划问题,在平面上画出可行域,计算目标函数在各极点处的值,经比较后,取最值点为最优解。
命题3当两个变量的线性规划问题的目标函数取不同的目标值时,构成一族平行直线,目标值的大小描述了直线离原点的远近。
于是穿过可行域的目标直线组中最远离(或接近)原点的直线所穿过的凸多边形的顶点即为取的极值的极点—最优解。
单纯形法:
经过确定约束方程组的基本解,并计算相应目标函数值,在可行解集的极点中搜寻最优解.
正则模型:
决策变量:
x1,x2,…,xn.目标函数:
Z=c1x1+c2x2+…+cnxn.
约束条件:
a11x1+…+a1nxn≤b1,……am1x1+…+amnxn≤bm,
模型的标准化
10.引入松弛变量将不等式约束变为等式约束.
若有ai1x1+…+ainxn≤bi,则引入xn+i≥0,使得ai1x1+…+ainxn+xn+i=bi
若有aj1x1+…+ajnxn≥bj,则引入xn+j≥0,使得aj1x1+…+ajnxn-xn+j=bj.
且有Z=c1x1+c2x2+…+cnxn+0xn+1+…+0xn+m.
20.将目标函数的优化变为目标函数的极大化.若求minZ,令Z’=–Z,则问题变为maxZ’.
30.引入人工变量,使得所有变量均为非负.若xi没有非负的条件,则引入xi’≥0和xi’’≥0,令xi=xi’–xi’’,则可使得问题的全部变量均非负.
标准化模型
求变量x1,x2,…,xn,
maxZ=c1x1+…+cnxn,
s.t.a11x1+…+a1nxn=b1,
……
am1x1+…+amnxn=bm,
x1≥0,…,xn≥0,
定义:
若代数方程AX=B的解向量有n-m个分量为零,其余m个分量对应A的m个线性无关列,则称该解向量为方程组的一个基本解.在一个线性规划问题中,如果一个可行解也是约束方程组的基本解,则称之为基本可行解.
命题4一个向量x是线性规划问题可行解集的一个极点,当且仅当它是约束方程的一个基本可行解。
于是寻找取得极值的凸集极点的几何问题变成了求代数方程基本解的问题,形成了解优化问题的单纯形方法,改进单纯形方法等。
按这些计算方法编制程序,产生了专门解优化问题的软件Lindo、Lingo。
用Matlab求解:
标准的线性规划的模型:
minf=cTx
s.t.Axb
A1x=b1
LBxUB
Matlab求解程序:
[x,f]=linprog(c,A,b,A1,b1,LB,UB)
还有软件Excel也可应用于解优化问题。
3对偶问题
以最经济的投入达到收益最大的目标.
(或者说以直接出售土地和劳动力的方式达到收益最大的目标.)
1求什么?
土地成本价格y1劳动力成本价格y2
成本价格最低Ming=50y1+20y2
蔬菜的市场价y1+1/2y2110
棉花的市场价y1+1/3y275
水稻的市场价y1+1/4y260
模型II.
对单位土地和对单位劳力投入成本价格分别为y1y2
求目标函数g=50y1+20y2
在约束条件y1+1/2y2110y1+1/3y275y1+1/4y260下的最小值.
设A是mn矩阵,
c是n1向量,b是m1向量
x是n1向量,y是1m向量
问题:
maxf=cTxs.t.Axbxi0,i=1,2,,n.
对偶问题:
minf=ybs.t.yAcyi0,i=1,2,,m.
对偶定理:
互为对偶的两个线性规划问题,若其中一个有有穷的最优解,则另一个也有有穷的最优解,且最优值相等.若两者之一有无界的最优解,则另一个没有可行解
模型III构成对偶问题.
模型I解得最优解(optimunsolution)Xopt=(30020),最大值f(xopt)=4500
模型II解得最优解yopt=(10200),最小值g(yopt)=4500.
模型I给出了生产中的资源最优分配方案
模型II给出了生产中资源的最低估价.
进一步问:
如果增加对土地和劳动力的投入,每种资源的单位投入增加会带来多少产值?
由最优解y=(10,200)可见,多耕一亩地增加10元收入,多一个劳动力增加200元收入。
也就是说,此时一个劳动力的估价为200元,而一亩土地估价为10元.
这种价格涉及到资源的有效利用,它不是市场价格,而是根据资源在生产中做出的贡献确定的估价,被称为”影子价格”.
再进一步问,棉花价格提高到多少才值的生产?
由y1+1/3y2=10+200/3=76.6>
75,(而其它两个约束条件是等式)可见,只有当棉花价格提高到76.6元时才值得生产.
4灵敏度分析
当线性规划问题中的常数发生变化(由于测量误差或具有多个取值可能)时,最优解是否会随之变化?
一般假定变化的常数是某参数的线性函数.讨论参数取值与最优解的关系的问题,被称为参数线性规划.
例如,当农作物的价格发生变化时,生产计划是否应马上随之改变?
参见线性规划书籍
将实际问题归结为线性规划模型是一个探索创造的过程。
线性规划模型的求解仍是计算数学的一个难题。
例2供货问题
一家公司生产某种商品.现有n个客户,第j个客户需要货物量至少为bj,
可在m各不同地点设厂供货.在地区i设厂的费用为di,供货能力为hi,
向第j个客户供应单位数量的货物费用为cij.如何设厂与供货使总费用最小.
模型:
设决策变量:
xij为在地区i向第j个客户供货数量,在地区i设厂,记yi=1,否则记yi=0
求目标函数f=i(jcijxij+yidi)
在约束条件ixij=bj,jxij-hiyi0,xij0,yi{0,1}下的最小值
例3钢材截短
有一批钢材,每根长7.3米.现需做100套短钢材.每套包括长2.9米,2.1米,1.5米的各一根.至少用掉多少根钢材才能满足需要,并使得用料最省.
可能的截法和余料
第1种7.3-(2.9×
2+1.5)=0
第2种7.3-(2.9+2.1×
2)=0.2
第3种7.3-(2.9+1.5×
2)=1.4
第4种7.3-(2.9+2.1+1.5)=0.8
第5种7.3-(2.1×
2+1.5×
2)=0.1
第6种7.3-(2.1×
3)=1
第7种7.3-(2.1+1.5×
3)=0.7
第8种7.3-(1.5×
4)=1.3
按第i种方法截xi根钢材。
求目标函数f=0.2x2+1.4x3+0.8x4+0.1x5+x6+0.7x7+1.3x8
在约束条件2x1+x2+x3+x4=1002x2+x4+2x5+3x6+x7=100x1+2x3+x4+2x5+3x7+4x8=100xi0,i=1,…,8下的最小值
用Matlab程序解得xopt=(40,20,0,0,30,0,0,0),f(xopt)=7
(实际上应要求xi为正整数。
这是一个整数规划问题)。
6.2整数规划
如果要求决策变量取整数,或部分取整数的线性规划问题,称为整数规划.
例4.飞船装载问题
设有n种不同类型的科学仪器希望装在登月飞船上,令cj>
0表示每件第j类仪器的科学价值;
aj>
0表示每件第j类仪器的重量.每类仪器件数不限,但装载件数只能是整数.飞船总载荷不得超过数b.设计一种方案,使得被装载仪器的科学价值之和最大.建模记xj为第j类仪器的装载数.
求目标函数f=jcjxj在约束条件jajxjb,xj为正整数,下的最大值.
用分枝定界法求解整数规划问题
基本思想:
重复划分可行域并确定最优值的界限,将原问题不断地分枝为若干个子问题,且缩小最优质的取值范围,直到求得最优解.
例:
求目标函数f=3x1+2x2在约束条件:
2x1+3x214,2x1+x29,x1x2为自然数下的最大值.
用Lindo软件求解整数规划
max3x1+2x2
s.t.
2x1+3x2<
=14
2x1+x2<
=9
end
ginx1
ginx2
(或者用gin2代替ginx1ginx2)
6.30-1规划
如果要求决策变量只取0或1的线性规划问题,称为0-1规划.
0-1约束不一定是由变量的性质决定的,更多地是由于逻辑关系引进问题的
例5背包问题
一个旅行者的背包最多只能装6kg物品.现有4件物品的重量和价值分别为2kg,3kg,3kg,4kg,1元,1.2元,0.9元,1.1元.应携带那些物品使得携带物品的价值最大?
建模:
记xj为旅行者携带第j件物品的件数,取值只能为0或1.
求目标函数f=x1+1.2x2+0.9x3+1.1x4在约束条件2x1+3x2+3x3+4x46下的最大值.
用Lingo软件求解0-1规划
Model:
Max=x1+1.2*x2+0.9*x3+1.1*x4;
2*x1+3*x2+3*x3+4*x4<
=6;
@int(x1);
@int(x2);
@int(x3);
@int(x4);
例6集合覆盖问题
实际问题1某企业有5种产品要存放,有些不能存放在一起,有些能存放在一起的,由于组合不同所需费用不同.求费用最低的储存方案.
实际问题2某航空公司在不同城市之间开辟了5条航线,一个航班能够飞不同的航线组合,不同组合成本不同,求开通所有航线且总费用最小的方案.
抽象为集合覆盖问题:
设集合S={1,2,3,4,5}有一个子集类={{1,2},{1,3,5},{2,4,5},{3},{1},{4,5}}其中每一个元素对应一个数cj,称为该元素的费用.选的一个子集使其覆盖S,且总费用最低.
即实际问题1中5种产品能存放在一起的各种组合为
={{1,2},{1,3,5},{2,4,5},{3},{1},{4,5}}第i种组合的存储费用为cj,
求这五种产品费用最低的储存方案。
设是S的一个覆盖(一种存储方案).当的第i个元素属于,(即第i种组合被采用)记xi=1,否则xi=0
求目标函数f=icixi
在约束条件x1+x2+x51x1+x31(因为第2种产品只在第1,3个组合中出现)
x2+x41x3+x61x2+x3+x61xi{0,1},I=1,2,,6,下的最小值.
6.4多目标线性规划
目标函数fk=c(k)Txk=1,2,,m,
有最优解x(k),记f(k)=f(x(k))
整体评价法
minS=(f(k)-c(k)Tx)/f(k)(使相对偏差最小)
有最佳妥协解x*.
习题:
1.资源分配,生产甲肥1吨,需要磷酸盐0.4吨,硝酸盐1.8吨,利润1万元;
生产乙肥1吨,需要磷酸盐0.1吨,硝酸盐1.5吨,利润0.5万元.现有磷酸盐10吨,硝酸盐66吨,问甲、乙肥各生产多少吨获利最大?
2.营养配餐,甲种食品每10克含5个单位的蛋白,10个单位的铁,单价3元;
乙种食品每10克含7个单位的蛋白,4个单位的铁,单价2元.现需要一份食品,含有35个单位的蛋白,40个单位的铁,问如何配餐最省钱?
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