高考理科数学复习题解析 函数的图象Word文件下载.docx
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特别地,当f(a+x)=f(a-x)时,函数f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图象关于点
对称.
2.两个函数图象的对称关系
(1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称.
(2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)中心对称.
[基础自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)函数y=f(1-x)的图象,可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位得到.()
(2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称.()
(3)当x∈(0,+∞)时,函数y=f(|x|)的图象与y=|f(x)|的图象相同.()
(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.()
[答案]
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√
2.(教材改编)甲、乙二人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步,乙先跑步到中点再改为骑自行车,最后两人同时到达B地.已知甲骑车比乙骑车的速度快,且两人骑车速度均大于跑步速度.现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示,则如图所示的四个函数图象中,甲、乙的图象应该是()
①②③④
A.甲是图①,乙是图②B.甲是图①,乙是图④
C.甲是图③,乙是图②D.甲是图③,乙是图④
B [设甲骑车速度为V甲骑,甲跑步速度为V甲跑,乙骑车速度为V乙骑,乙跑步速度为V乙跑,依题意V甲骑>V乙骑>V乙跑>V甲跑,故选B.]
3.已知a>0,a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是()
ABC D
B [y=loga(-x)与y=logax的图象关于y轴对称,故选B.]
4.函数y=log
(1-x)的大致图象是()
D [把函数y=log
x的图象对称到y轴左侧得到y=log
(-x)的图象,再把所得图象向右平移1个单位,得到y=log
(1-x)的图象,故选D.]
5.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)=()
A.ex+1B.ex-1
C.e-x+1D.e-x-1
D [依题意,与曲线y=ex关于y轴对称的曲线是y=e-x,于是f(x)相当于y=e-x向左平移1个单位的结果,
∴f(x)=e-(x+1)=e-x-1.]
作函数的图象
【例1】 作出下列函数的图象:
(1)y=
;
(2)y=|log2(x+1)|;
(3)y=
(4)y=x2-2|x|-1.
[解]
(1)先作出y=
的图象,保留y=
图象中x≥0的部分,再作出y=
的图象中x>0部分关于y轴的对称部分,即得y=
的图象,如图①实线部分.
①②
(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图②.
(3)∵y=
=2+
,故函数图象可由y=
图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图③.
③④
(4)∵y=
且函数为偶函数,先作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,得图象如图④.
[规律方法] 函数图象的三种画法
1直接法:
当函数解析式或变形后的解析式是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.
2转化法:
含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象.
3图象变换法:
若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,可利用图象变换作出.
易错警示:
1画函数的图象一定要注意定义域.
2利用图象变换法时要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
识图与辨图
【例2】
(1)(2018·
全国卷Ⅱ)函数f(x)=
的图象大致为()
(2)如图,矩形ABCD的周长为8,设AB=x(1≤x≤3),线段MN的两端点在矩形的边上滑动,且MN=1,当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时,线段MN的中点P所形成的轨迹为G,记G围成的区域的面积为y,则函数y=f(x)的图象大致为()
ABCD
(1)B
(2)D [
(1)因为f(-x)=
=-
=-f(x)(x≠0),所以f(x)是定义域上的奇函数,所以函数f(x)的图象关于原点(0,0)中心对称,排除选项A;
因为f
(1)=e-
>
2,所以排除选项C,D,选B.
(2)如图所示,点P的轨迹是分别以A,B,C,D为圆心,半径为
的4个
圆,以及线段EF,GH,RQ,SJ部分.
则G围成的面积为矩形的面积减去4个
圆的面积,即
y=x(4-x)-π×
=4x-x2-
=-(x-2)2+4-
(1≤x≤3),
且当x=2时,y=4-
∈(3,4),故选D.]
[规律方法] 识别函数图象的方法技巧
1由解析式确定函数图象
①从函数的定义域,判断图象的左右位置;
从函数的值域,判断图象的上下位置.
②从函数的单调性,判断图象的变化趋势.
③从函数的奇偶性,判断图象的对称性.
④从函数的周期性,判断图象的循环往复.
⑤从函数的特殊点,排除不合要求的图象.
⑥从函数的极值点判断函数图象的拐点.
2由实际情景探究函数图象,关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解,要注意实际问题中的定义域问题.
(1)(2019·
武汉模拟)函数f(x)=
的大致图象是()
(2)如图,不规则四边形ABCD中,AB和CD是线段,AD和BC是圆弧,直线l⊥AB交AB于E,当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时,把四边形ABCD分成两部分,设AE=x,左侧部分的面积为y,则y关于x的图象大致是()
(1)C
(2)C [
(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0},排除A.
又f(-1)=
=
>0,排除B.
当x→+∞时,f(x)→0,故选C.
(2)当l从左至右移动时,一开始面积的增加速度越来越快,过了D点后面积保持匀速增加,图象呈直线变化,过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢.故选C.]
函数图象的应用
►考法1 研究函数的性质
【例3】 已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是()
A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)
B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1)
C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)
D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)
C [将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值,得f(x)=
画出函数f(x)的图象,如图,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.]
►考法2 求不等式解集
【例4】 函数f(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的奇函数,在(0,+∞)上单调递增,f(3)=0,若x·
[f(x)-f(-x)]<0,则x的取值范围为________.
(-3,0)∪(0,3) [函数f(x)的图象大致如图所示.
因为f(x)为奇函数,且x·
[f(x)-f(-x)]<0,
所以2x·
f(x)<0.
由图可知,不等式的解集为(-3,0)∪(0,3).]
[规律方法] 1.利用函数图象研究性质的方法
(1)根据已知或作出的函数图象,从最高点、最低点,分析函数的最值、极值.
(2)从图象的对称性,分析函数的奇偶性.
(3)从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.
(4)从图象与x轴的交点情况,分析函数的零点等.
2.利用函数的图象研究不等式思路
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.
3.利用函数图象研究方程根的策略
构造函数,转化为两熟悉函数图象的交点个数问题,在同一坐标系中分别作出两函数的图象,数形结合求解.
(1)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是()
A.{x|-1<x≤0}B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|-1<x≤1}D.{x|-1<x≤2}
(2)设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是________.
(1)C
(2)[-1,+∞) [
(1)作出函数y=log2(x+1)的图象,如图所示:
其中函数f(x)与y=log2(x+1)的图象的交点为D(1,1),由图象可知f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<x≤1},故选C.
(2)如图,要使f(x)≥g(x)恒成立,则-a≤1,∴a≥-1.
]
函数图象对称性的应用
【例5】
(1)(2018·
全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f
(1)=2,则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(50)=()
A.-50B.0
C.2D.50
(2)(2018·
全国卷Ⅲ)下列函数中,其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是()
A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)
C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)
(1)C
(2)B [
(1)由f(x)是奇函数知f(1+x)=f(1-x)=-f(x-1),则f(x+2)=-f(x).从而f(x+4)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数.因为f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,所以f(0)=0.因为f(1-x)=f(1+x),所以当x=1时,f
(2)=f(0)=0;
当x=2时,f(3)=f(-1)=-f
(1)=-2;
当x=3时,f(4)=f(-2)=-f
(2)=0.综上,可得f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(50)=12×
[f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)]+f
(1)+f
(2)=12×
[2+0+(-2)+0]+2+0=2.故选C.
(2)设所求函数图象上任一点的坐标为(x,y),则其关于直线x=1的对称点的坐标为(2-x,y),由对称性知点(2-x,y)在函数f(x)=lnx的图象上,所以y=ln(2-x).故选B.]
[规律方法] 函数图象对称性的常见结论
1关于点a,0对称
①若两个函数fx与gx的图象关于a,0对称,则有fx=-g2a-x.
②函数y=fx的图象关于a,0对称,则有fx=-f2a-x.
2关于直线x=a对称
①函数fx的图象关于直线x=a对称,则有fa+x=fa-x或f2a-x=fx
②若两个函数fx与gx的图象关于直线x=a对称,则有gx=f2a-x
③偶函数fx的图象关于直线x=a对称,则函数fx是周期为2a的周期函数
④奇函数gx的图象关于直线x=a对称,则函数gx是周期为4a的周期函数.
(1)直线y=k(x+3)+5(k≠0)与曲线y=
的两个交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2+y1+y2等于()
A.2B.4C.6D.8
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(3-x)=f(x).则f(2019)=()
A.-3B.0C.1D.3
(1)B
(2)B [
(1)因为y=
+5,其图象关于点(-3,5)对称.又直线y=k(x+3)+5过点(-3,5),如图所示.所以A,B关于点(-3,5)对称,所以x1+x2=2×
(-3)=-6,y1+y2=2×
5=10.所以x1+x2+y1+y2=4.
(2)由题意知f(3-x)=f(x)=-f(-x),则f(x+3)=-f(x),从而f(x+6)=f(x).即函数f(x)是周期为6的周期函数,所以f(2019)=f(3)=f(0)=0,故选B.]
1.(2017·
全国卷Ⅰ)函数y=
的部分图象大致为()
C [令f(x)=
,
∵f
(1)=
>0,f(π)=
=0,
∴排除选项A,D.
由1-cosx≠0得x≠2kπ(k∈Z),
故函数f(x)的定义域关于原点对称.
又∵f(-x)=
=-f(x),
∴f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,∴排除选项B.
故选C.]
2.(2017·
全国卷Ⅲ)函数y=1+x+
D [当x→+∞时,
→0,1+x→+∞,y=1+x+
→+∞,故排除选项B.
当0<x<
时,y=1+x+
>0,故排除选项A,C.
故选D.]
3.(2016·
全国卷Ⅰ)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为()
D [∵f(x)=2x2-e|x|,x∈[-2,2]是偶函数,∴其图象关于y轴对称.又f
(2)=8-e2∈(0,1),故排除A,B.设g(x)=2x2-ex,则g′(x)=4x-ex.又g′(0)<0,g′
(2)>0,∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点,∴f(x)=2x2-e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点,排除C.故选D.]
4.(2016·
全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则
i=()
A.0B.m
C.2mD.4m
B [∵f(x)=f(2-x),∴函数f(x)的图象关于直线x=1对称.
又y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|的图象关于直线x=1对称,∴两函数图象的交点关于直线x=1对称.
当m为偶数时,
i=2×
=m;
当m为奇数时,
+1=m.故选B.]
自我感悟:
______________________________________________________
________________________________________________________________
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