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这个函数是奇函数;
如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
a+b
7・对于函数y二f(x)(x・R),f(x•a)二f(b-x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x;
两个函
2
数y=f(xa)与y=f(b-x)的图象关于直线x对称•
8・几个函数方程的周期(约定a>
0)
(1)f(x)=f(xa),则f(x)的周期T=a;
11
(2),f(x+a)=(f(x)式0),或f(x+a)=-(f(x)式0),则f(x)的周期T=2a;
f(x)f(x)
9・分数指数幕
巴1*-1*
(1)an(a0,m,nN,且n1).
(2)anm(a0,m,nN,且n1)•
"
aan
10.根式的性质
|aa>
0
(1)(na)n=a.
(2)当n为奇数时,nan二a;
当n为偶数时,n.an=|a|='
一•
、—a,a£
II.有理指数幕的运算性质
(1)aras=ars(a0,r,sQ).
(2)(ar)s=ars(a0,r,sQ).(3)(ab)r=arbr(a0,b0,rQ).
12.指数式与对数式的互化式logaN=b=ab=N(a0,^M,N0)•
①.负数和零没有对数,②.1的对数等于0:
loga1=0,③.底的对数等于1:
loga1,
④.积的对数:
loga(MN)=logaMlogaN,商的对数:
logaM=logaM-logaN,
N
幕的对数:
logaM“二nlogaM;
logambn=niogab
m
伯.对数的换底公式loga=logmN(a0,且a=1,m0,且m=1,N0).
logma
推论logambn=nlogab(a.0,且a.1,m,n.0,且m=1,n-1,N0).
am
S,n=1
15.an=j(数列{aj的前n项的和为sn=印+a?
十川+an).
Sn-Snmn一2
16.等差数列的通项公式an=a1(n-1)d=dn•a^i-d(n・N*);
其前n项和公式为sn=
=na1n(^d=dn2(a1」d)n.
2222
3
24.余弦定理
222222222
abe_2bccosA;
bca_2cacosB;
cab_2abcosC.
111
25.面积定理SabsinCbcsinAcasinB
(2).
222
26.三角形内角和定理
Cq-A+B在厶ABC中,有AB-CC--(AB)2C=2愿「2(AB).
222
27.实数与向量的积的运算律
设入、□为实数,那么
(1)结合律:
入(卩a)=(入卩)a;
(2)第一分配律:
(入+卩)a=入a+卩a;
(3)第二分配律:
入(a+b)=入a+入b.
28.向量的数量积的运算律:
(1)a•b=b•a(交换律);
(2)(-a)•b=-(a•b)=,a•b=a•(,b);
(3)(a+b)•c=a•c+b•c.
30.向量平行的坐标表示
设a=(X|,y-j),b=(x2,y2),且b=0,则allb(b=0)=x1y^x2y1=0.
31.a与b的数量积(或内积)a•b=|a||b|cos0.
32.数量积a•b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos0的乘积.
33.平面向量的坐标运算
(1)设a=(X1,yJ,b=(x2,y2),则a+b=(X1冷,y「y?
).
(2)设a=(X1,yJ,b=(X2,y?
),则^-b.1^,力一丫2)•
(3)设A(X1,y1),B(x2,y2),则AB=OB-^OA=(x?
-^,y?
-■%).
(4)设a=(x,y),.■二R,则a=(九x、y).
(5)
设a=(x1,yj,b=(X2,y2),则a•b=(x^ym).
(X2—xj2卜2—yj2(A(心yj,B(x2,y?
)).
36.向量的平行与垂直
设a=(X1,yj,b=(X2,y2),且b=0,则
A||b:
=bda:
二x1y2「x2y1=0.
a_b(a=0)=a•b=0ux1x2-%y2=0.
37.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,yJ、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是
X1x2%%y?
*3、
G(,).
33
T■*
)J.
(2)O为ABC的重心=OAOBOC=0.OC=OCOA.
设O为ABC所在平面上一点,角,代B,C所对边长分别为a,b,c,则
(1)O为ABC的外心=OA二OB二OC
(3)O为ABC的垂心=OAOB=OBOC
38.
22
a,b・R=ab-2ab(当且仅当a=b时取“=”号)
常用不等式:
(1)
(2)a,b・R=L^_・ab(当且仅当a=b时取“=”号).
(3)a—b兰a+b+b.
39已知x,y都是正数,则有
(1)若积xy是定值p,则当x=y时和xy有最小值2p;
12
(2)若和xy是定值s,则当x二y时积xy有最大值一s2.
4
40.含有绝对值的不等式当a>
0时,有xca=x?
ca二_acx<
a.
x〉aux>
aux>
a或-a.
y2—y1
41.斜率公式k2-(R(Xi,yi)、F2(X2,y2)).
X2—Xj
42.直线的五种方程
(〔)点斜式y-w^ax-xj(直线I过点F^(x1,y-i),且斜率为k).
(2)斜截式y=kx•b(b为直线I在y轴上的截距).
y_yx—x
(3)两点式(yiy2)(P1(xi,yi)、P2(x2,y2)(xi7-x2)).
y2-yix2-xi
(4)截距式-*=i(ab分别为直线的横、纵截距,a、b=0)
ab
(5)—般式Ax•By・C=0(其中A、B不同时为0).
43.两条直线的平行和垂直
⑴若li:
y=kixD,J:
y=k2Xd①h〔出二ki=k2,bi=6;
②li_^二--i・⑵若li:
A]XByG=0,l2:
A2XB2yC2=0,且Ai、A2、Bi、B2都不为零,
(li:
AxBiyCi=0,l2:
A2XB?
yC2二0,人代BiB^-0).
抛物线y2=2px(p>
0)焦半径CF=x0+E.
过焦点弦长CD=Xr+卩+乂2+卫=右+x2+p.
56.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB|=J(x,—x2)2+(%—y2)2或
AB=J(1+k2)(xo_x,)2=1%_Xo|山+tan2:
=|%—y?
|山+cotG(弦端点A(x「yj,B(xo,y?
),由方
y=kx+b2
程丿消去y得到ax+bx+c=0,也aO,。
为直线AB的倾斜角,k为直线的斜率).
『(x,y)=0
57
(1)加法交换律:
a+b=b+a.
(2)加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c).(3)数乘分配律:
入(a+b)=入a+入b.
59共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b丰0),a//b亍存在实数入使a=入b.
P、A、B三点共线二AP||ABAP二tAB=OP=(1-t)OAtoB.
60.向量的直角坐标运算
设a=(a1,ao,a3),b=(bibb)则
(1)a+b=佝0月2bo,a3bs);
(2)a—b=佝—b^ao-bo,a3"
3);
(3)入a=(■印,■a?
■a3)(入€R);
432
其体积VR,其表面积S=4二R•
(3)球与正四面体的组合体:
66
棱长为a的正四面体的内切球的半径为—a,外接球的半径为—a.
124
11
68V柱体Sh(S是柱体的底面积、h是柱体的高).V锥体Sh(S是锥体的底面积、h是锥体的高)
43
69.分类计数原理(加法原理)N^mii•m2,|1(mn.
n!
70.排列数公式A,m=n(n—(n—m+1)=.(n,m€N,且mEn).注:
规定0!
=1.
(n-m)!
71.组合数公式—=也(n€N,m^N,且m兰n).
Am1x2乂…乂mm!
(n—m)!
72.
n
(4)cn=2n;
-AnJAnJ(着眼位置)
组合数的两个性质(i)cnm=c;
』;
(2)cm+cmj=cm1.注:
规定co=i.
i55.组合恒等式(i)cmJ「m◎」;
(2)cn^=^cnnJ;
(3)c^1=■—cnv;
mn—mm
73.排列数与组合数的关系A:
=m!
C:
.
74•单条件排列以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列.
(1)“在位”与“不在位”
1某(特)兀必在某位有阳:
种;
②某(特)元不在某位有A;
-■A普(补集思想)
-■Am」Ar7f(着眼元素)种.
(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻)
1定位紧贴:
k(k岂m<
n)个元在固定位的排列有aX^种.
2浮动紧贴:
n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有An;
{A;
种.注:
此类问题常用捆绑法;
3插空:
两组元素分别有k、h个(k兰h+1),把它们合在一起来作全排列,k个的一组互不能挨近的所有排
列数有A;
Ai种.
(3)(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=ni+门2+川+nm)个物体分给m个人,物件必须被分完,分别得到n1,
76.二项式定理(a•b)n=。
纭"
•C:
an」b•C;
an‘b2•…C:
an」b•Cnnbn;
二项展开式的通项公式Tr#=cnan」br(r=0,1,2-,n).
77.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率巳(“二C;
Pk(1-P)n±
78.离散型随机变量的分布列的两个性质
(1)p_0(i=1,2,山);
(2)P•P2・山=1.
79.数学期望=x1^+x2P2^H+xnP1+\\\
80..数学期望的性质
(1)E(a:
b)二aE「)・b.
(2)若•〜B(n,p),则E,:
二np.
81.方差D©
=(为—E©
Jp1+(x2fp2+|j|+(xn—E©
)2pn|标准差出^D"
82.方差的性质
(1)Dab二a2D;
(2)若〜B(n,p),则D二np(1「p).
83..f(x)在(a,b)的导数f(x)曲丄矽=埜=血卫=limf(x"
f(x).
dxdx3AxZix
84..函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义
函数y=f(x)在点x。
处的导数是曲线y=f(x)在P(x°
f(x0))处的切线的斜率f(x°
),相应的切线方程是
y-y°
=f(x°
)(x-X。
85..几种常见函数的导数
(1)C=0(C为常数).
(2)(Xn)=nxnJ(nQ).(3)(sinx)=cosx.
⑷(cosx)=-sinx(5)(Inx);
(logax)(6)(ex)=ex;
(ax)=ax|na.
xxIna
86..导数的运算法则
'
'
u'
uv—uv
(1)(u二v)=u二v.
(2)(uv)=uvuv.(3)
(一)2(v=0).
vv
87..复合函数的求导法则
设函数u二「(x)在点x处有导数ux'
二'
(x),函数y二f(u)在点x处的对应点U处有导数yu'
二f'
(u),则复合函
IIIIII
数y=f(“x))在点x处有导数,且yx-yuux,或写作fx(「(x))=f(u),(x).
89.复数的相等abi二cdi:
=a二c,b二d.(a,b,c,dR)
90.复数abi的模(或绝对值)|z|=|a•bi|=..a2■b2.
91.复数的四则运算法
(1)(abi)(cdi)=(ac)(bd)i
(2)(abi)-(cdi)=(a-c)(b-d)i;
⑶(abi)(cdi)=(ac-bd)(bcad)i;
(4)(abi)“(cdi)=晋b?
bc~a<
ji(cdi=0).
c+dc+d
□的角度
0s
30°
45°
60s
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360"
口的弧度
ji
6
§
~2
~3
5兀
兀
sina
1
v'
<
豆
-1
cos«
血
亞
r\
罷
石
tana
y3
无
一並
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
性质y
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象
y
L
Jy
~0
:
|:
=\:
T1
M丿/7/詐
定义域
R
rJii
2xXHk兀+—,k€Z、
I2J
值域
1-1,1]
最值
当x=2“+寸(k^Z)时,
ymax=1;
当X=2k竈——
(MZ)时,ymin=-1.
当x=2k兀(k^Z)时,
『max=1;
当x=2k兀+江
(k^Z)时,ymin=-1.
既无最大值也无最小值
周期性
2ji
2兀
JI
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
亠-小兀小H"
在〕2k兀一一,2k兀十一-
122」
(k^Z)上是增函数;
在
|2k江+》,2k兀+—1
(k^Z)上是减函数.
在kk兀一H,2k兀gz)上是
增函数;
在l2k.2kjr+兀]
("
Z)上是减函数.
z.(nJi\
在.k兀一一,k兀+—
I22丿
(k^Z)上是增函数.
对称性
对称中心(k.O)
对称轴x=k兀+=(keZ)
对称中心'
k兀+Z,0l(k€Z)
12丿丿
对称轴x=k^(k^Z)
对称中心―,01(kZ)
无对称轴
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