高中数学最全数列总结及题型精选.docx
- 文档编号:1751651
- 上传时间:2022-10-23
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:407.99KB
高中数学最全数列总结及题型精选.docx
《高中数学最全数列总结及题型精选.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学最全数列总结及题型精选.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高中数学最全数列总结及题型精选
高中数学:
数列及最全总结和题型精选
一、数列的概念
(1)数列定义:
按一定次序排列的一列数叫做数列;
数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项),在第二个位置的叫第2项,……,序号为的项叫第项(也叫通项)记作;
数列的一般形式:
,,,……,,……,简记作。
(2)通项公式的定义:
如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如:
①:
1,2,3,4,5,…
②:
…
说明:
①表示数列,表示数列中的第项,=表示数列的通项公式;
②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如,==;
③不是每个数列都有通项公式。
例如,1,1.4,1.41,1.414,……
(3)数列的函数特征与图象表示:
从函数观点看,数列实质上是定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值……,,…….通常用来代替,其图象是一群孤立点。
(4)数列分类:
①按数列项数是有限还是无限分:
有穷数列和无穷数列;②按数列项与项之间的大小关系分:
递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。
例:
下列的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列?
(1)1,2,3,4,5,6,…
(2)10,9,8,7,6,5,…
(3)1,0,1,0,1,0,…(4)a,a,a,a,a,…
(5)数列{}的前项和与通项的关系:
二、等差数列
(一)、等差数列定义:
一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母表示。
用递推公式表示为或
例:
等差数列,
(二)、等差数列的通项公式:
;
说明:
等差数列(通常可称为数列)的单调性:
为递增数列,为常数列,为递减数列。
例:
1.已知等差数列中,等于()
A.15B.30C.31D.64
2.是首项,公差的等差数列,如果,则序号等于
(A)667(B)668(C)669(D)670
3.等差数列,则为为(填“递增数列”或“递减数列”)
(三)、等差中项的概念:
定义:
如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项。
其中
,,成等差数列即:
()
例:
1.(06全国I)设是公差为正数的等差数列,若,,则()
A.B.C.D.
(四)、等差数列的性质:
(1)在等差数列中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项;
(2)在等差数列中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列;
(3)在等差数列中,对任意,,,;
(4)在等差数列中,若,,,且,则;
(五)、等差数列的前和的求和公式:
。
(是等差数列)
递推公式:
例:
1.如果等差数列中,,那么
(A)14(B)21(C)28(D)35
2.(2009湖南卷文)设是等差数列的前n项和,已知,,则等于()
A.13B.35C.49D.63
3.(2009全国卷Ⅰ理)设等差数列的前项和为,若,则=
4.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有()
A.13项B.12项C.11项D.10项
5.已知等差数列的前项和为,若
6.(2009全国卷Ⅱ理)设等差数列的前项和为,若则
7.已知数列是等差数列,,其前10项的和,则其公差等于()
C.D.
8.(2009陕西卷文)设等差数列的前n项和为,若,则
9.(00全国)设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{}的前n项和,求Tn。
(六).对于一个等差数列:
(1)若项数为偶数,设共有项,则①偶奇;②;
(2)若项数为奇数,设共有项,则①奇偶;②。
1.一个等差数列共2011项,求它的奇数项和与偶数项和之比__________
2.一个等差数列前20项和为75,其中奇数项和与偶数项和之比1:
2,求公差d
3.一个等差数列共有10项,其偶数项之和是15,奇数项之和是,则它的首项与公差分别是_______
(七).对与一个等差数列,仍成等差数列。
例:
1.等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()
A.130B.170C.210D.260
2.一个等差数列前项的和为48,前2项的和为60,则前3项的和为。
3.已知等差数列的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为
4.设为等差数列的前项和,=
5.(06全国II)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=
A.B.C.D.
(八).判断或证明一个数列是等差数列的方法:
定义法:
是等差数列
中项法:
是等差数列
通项公式法:
是等差数列
前项和公式法:
是等差数列
例:
1.已知数列满足,则数列为()
A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断
2.已知数列的通项为,则数列为()
A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断
3.已知一个数列的前n项和,则数列为()
A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断
4.已知一个数列的前n项和,则数列为()
A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断
5.已知一个数列满足,则数列为()
A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断
6.数列满足=8,()
求数列的通项公式;
7.(01天津理,2)设Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=n2,则{an}是()
A.等比数列,但不是等差数列B.等差数列,但不是等比数列
C.等差数列,而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列
(九).数列最值
(1),时,有最大值;,时,有最小值;
(2)最值的求法:
①若已知,的最值可求二次函数的最值;
可用二次函数最值的求法();②或者求出中的正、负分界项,即:
若已知,则最值时的值()可如下确定或。
例:
1.等差数列中,,则前项的和最大。
2.设等差数列的前项和为,已知
求出公差的范围,
指出中哪一个值最大,并说明理由。
3.(02上海)设{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是()
A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6与S7均为Sn的最大值
4.已知数列的通项(),则数列的前30项中最大项和最小项分别是
5.已知是等差数列,其中,公差。
(1)数列从哪一项开始小于0?
(2)求数列前项和的最大值,并求出对应的值.
(十).利用求通项.
1.数列的前项和.
(1)试写出数列的前5项;
(2)数列是等差数列吗?
(3)你能写出数列的通项公式吗?
2.设数列的前n项和为Sn=2n2,求数列的通项公式;
3.(2010安徽文)设数列的前n项和,则的值为()
(A)15(B)16(C)49(D)64
4、2005北京卷)数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,,n=1,2,3,……,求a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式.
三、等比数列
等比数列定义
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母表示,即:
:
(一)、递推关系与通项公式
1.在等比数列中,,则
2.在等比数列中,,则
3.(07重庆文)在等比数列{an}中,a2=8,a1=64,,则公比q为()
(A)2(B)3(C)4(D)8
4.在等比数列中,,,则=
5.在各项都为正数的等比数列中,首项,前三项和为21,则()
A33B72C84D189
(二)、等比中项:
若三个数成等比数列,则称为的等比中项,且为是成等比数列的必要而不充分条件.
例:
1.和的等比中项为()
2.(2009重庆卷文)设是公差不为0的等差数列,且成等比数列,则的前项和=()
A.B.C.D.
(三)、等比数列的基本性质,
1.
(1)
(2)
(3)为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列.
(4)既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.
例:
1.在等比数列中,和是方程的两个根,则()
2.在等比数列,已知,,则=
3.等比数列的各项为正数,且()
A.12B.10C.8D.2+
4.(2009广东卷理)已知等比数列满足,且,则当时,()
A.B.C.D.
(四)、等比数列的前n项和,
例:
1.已知等比数列的首相,公比,则其前n项和
2.(北京卷)设,则等于()
A.B.C.D.
3.(1996全国文,21)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q;
(五).等比数列的前n项和的性质
若数列是等比数列,是其前n项的和,,那么,,成等比数列.
例:
1.(2009辽宁卷理)设等比数列{}的前n项和为,若=3,则=
A.2B.C.D.3
2.一个等比数列前项的和为48,前2项的和为60,则前3项的和为()
A.83B.108C.75D.63
3.已知数列是等比数列,且
(六)、等比数列的判定法
(1)定义法:
为等比数列;
(2)中项法:
为等比数列;
(3)通项公式法:
为等比数列;
(4)前项和法:
为等比数列。
为等比数列。
例:
1.已知数列的通项为,则数列为()
A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断
2.已知数列满足,则数列为()
A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断
3.已知一个数列的前n项和,则数列为()
A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断
四、求数列通项公式方法
(1).公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项
例:
1已知等差数列满足:
,求;
2.等比数列的各项均为正数,且,,求数列的通项公式
3.已知数列满足(),求数列的通项公式;
4.已知数列满足且(),求数列的通项公式;
5.数列已知数列满足则数列的通项公式=
(2)累加法
1、累加法适用于:
若,则
两边分别相加得
例:
1.已知数列满足,求数列的通项公式。
2.已知数列满足,求数列的通项公式。
3.已知数列满足,求数列的通项公式。
(3)累乘法
适用于:
若,则
两边分别相乘得,
例:
1.已知数列满足,求数列的通项公式。
2.已知数列满足,,求。
3.已知,,求。
(4)待定系数法
适用于
例:
1.已知数列中,,求数列的通项公式。
2.(2006,重庆,文,14)在数列中,若,则该数列的通项_______________
3.已知数列满足求数列的通项公式;
(5)递推公式中既有
分析:
把已知关系通过转化为数列或的递推关系,然后采用相应的方法求解。
1.(2005北京卷)数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,,n=1,2,3,……,求a2,a3,a4的值及数列
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 全数 总结 题型 精选