定积分的应用Word下载.docx
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f
(1)Xlf
(2)Xf(n):
Xnff(JXi
i7
上式由于分割不同,i选取不同是不一样的,即近似值与分割及i选取有关(图1-2)
(4)取极限将分割不断加细,每个小曲边梯形底边长趋于零,它的高度改变量趋
于零,曲边梯形的面积与取代它的矩形面积无限接近,从而和式VfXi的极限就定
iA
义为曲边梯形面积的精确值。
令皇=max{x1,x2,,xn},当-0时,有
S=Iim'
f(i)xi
上面的例子,最终归结为一个特定的形式和式逼近。
在科学技术中还有许多同样的数学问题,解决这类数学问题的思想方法概括说来就是“分割,近似求和,取极限”这是定积分概念的背景。
1.2定积分的定义
设函数Xf(x)在区间[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入若干个分点
a=x0:
x1:
x2:
…-XnA:
xn=b
把[a,b]分成n个小区间:
[Xo,Xι],[X1,X2],[X2,X3],,[X」,Xi],,[x∏j,x∏]
各个小区间的长度依次为:
Ax1=X1-X0,Ax2=X2-x1,,,∙lx∏=X∏-X∏J
在每个小区间[x~,Xi]上任取一点i(Xij<
i<
X),作函数值与小区间长度.-■:
Xi的乘积
f(iΓ"
Xi。
并作和
∏
S八f(JlXi
i4
记彊=max{%lx?
,x∏},如果不论对[a,b]怎样分割,也不管在小区间[紀,xj上点
i(i=1,2√,∏)怎样取法,只要当,>
0时,和S总是趋于确定的极限I,我们称这
b
个极限值为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分(简称为积分),记作.f(x)dx,即
ba
b∏.
f(x)dx=∣=Iimrf(i)xi
(1)
a-j0y
其中f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,a称为积分下限,b称为积分上限,
X称为积分变量,二f(i)「:
Xi称为积分和。
i二
(1)曲边梯形的面积是曲边方程y=f(χ)在区间[a,b]上的定积分。
即
S=f(x)dx(f(X)_0)
a
2定积分在几何学上的应用
2.1定积分在平面几何中的应用
在初高中我们学习过求圆,三角形,平四边形,梯形等比较规则的图形面积,然而对于不规则的图形就无能为力了,所以再学定积分以前我们只能求一些简单图形的面积,部分稍复杂的图形,可能用有限个简单图形的分割也能求出来,但有很大的局限性,
定积分的出现为这些问题,提出了很好的解决条件。
一般地,由上、下两条连续曲线y=f2(x)与y=f1(x)以及两条直线x=a与x=b(a<
b)所
围成的平面图形,它的面积计算公式为A=b[f2(x)-f(x)1]dx
(1)
例求由抛物线『=X与x-2y-3=0所围成平面图形的面积A
X-328
2g3
Q
解该平面图形如图3所示,先求出直线与抛物线交点P(1,-1)与Q(9,3).用
X=I把图形分成左,右两部分,应用公式
(1)分别求得它们的面积为
1__1_
A^=.0L-X-(-、x)]dx=2O一XdX=4/3,
A=A+A2=32/3。
2.2定积分在立体几何中的应用
2.2.1由截面面积函数求立方体体积
设I】为三维空间中的一立体,它夹在垂直于X轴的两平面x=a与x=b之间(a<
b).为了方便起见称I】为位于[a,b]上的立方体。
若在任意一点X[a,b]处作垂直于X轴的平面,它截得$^的截面面积显然是X的函数,记得A(x),x[a,b],并称之为门的截面面积函数。
则通过定积分的定义,得到由截面面积函数求立方体体积的一般计算公式和旋
转体的体积公式V=A(X)dx
"
222
例求由椭球面~2^y2~2=1所围立体(椭球)的体积
abC
解以平面X=XO(XO≤a)截椭球面,得椭圆(它在yoz平面上的正投影):
2
y
2X。
b(1-七)
z2
所以截面面积函数为A(X)=二bc(1-务),x∙[-a,a].
于是求得椭球体积
4abc。
3
bX2
V=IIbC(I2)dx
aa
显然,当a=b=c=r时,这就等于球的体积-r
2.2.2旋转曲面的面积
设平面光滑曲线C的方程为y=f(X),x∙[a,b](不妨设f(x)>
=O).这段曲线绕X轴
旋转一周得到旋转曲面,则面积公式s=2二a"
f(X)」—f'
2(x)dx。
如果光滑曲线C由参数方程x=x(t),y=y(t),t[-,-]给出,且y(t)-0,那么由
弧微分知识推知曲线C绕X轴旋转所得旋转曲面的面积为S=2二.^y(tμ..x'
2(t)y'
(t)dt.
例计算圆x2+y2=R2在[xι,X2][-R,R]上的弧段绕X轴旋转所得球带的面积。
解对曲线y=jR2_x2在区间[%,X2]上应用公式(3),得到
S=2兀fJR2_x2+一dx=2nR(x2—x1)。
特别当x1=-R,x2=R时,则
X1IR-X
得球的表面积S球=4二R2.
3定积分在经济学中的应用
3.1求经济函数在区间上的增量
根据边际成本,边际收入,边际利润以及产量X的变动区间[a,b]上的改变量(增量)就等于它们各自边际在区间[a,b]上的定积分:
R(b)-R(a)=R(x)dx
(1)
C(b)-C(a)=.C(x)dx
(2)
L(b)-L(a)=L(x)dx(3)
例已知某商品边际收入为-0∙08x+25(万元/t),边际成本为5(万元/t),求产量
X从250t增加到300t时销售收入R(X),总成本C(X),利润I(x)的改变量(增量)。
解首先求边际利润
L(X)=R(X)-C(X)=-0.08x25-5=-0.08x20
所以根据式
(1)、式
(2)、式(3),依次求出:
300300
R(300)-R(250)=25。
R(x)dx=25o(—°
.O8x25)dx=15
C(300)-C(250)=25°
C(x)dx=.250dx=250万元
L(300)-L(250)=25。
L(x)dx=25o(—O.°
8x20)dx=-100万元
例某厂生产某种产品,每日生产的产品的总成本C的变化率(即边际成本)是日
25
产量X的函数C(X)=7,已知固定成本为1000元,求总成本函数y.
解因总成本是边际成本的一个原函数,所以
C(X)=J(7+戸dx=7x+50√X+c
已知当X=0时,C(0)=1000,代入上式得C=1000,于是总成本函数为
C(X)=7x50.X1000
例某产品销售总收入是销售量X的函数R(X)。
已知销售总收入对销售量的变化率
(即边际收入)R(X)=300-―X,求销售量由100增加到400时所得的销售收入.
5
解因销售收入是边际收入的一个原函数,按题意,有
400
R(400)-R(300)=300R(X)dX
4002
=爲(300-gx)dx
=(300x-1χ2)
300
=16000(元)
3.2求经济函数在区间上的平均变化率
设某经济函数的变化率为f(t),则称
f(t)dt
t1
t2-t1
为该经济函数在时间间隔[t2,t1]内的平均变化率。
例某银行的利息连续计算,利息率是时间t(单位:
年)的函数:
r(t^0.080.015,t。
求它在开始2年,即时间间隔[0,2]内的平均利息率
解由于
∖(t)d^J(0.080.015t)d^0.160.01t70=0.160.02&
所以开始2年的平均利息率为
L(t)=3105.Γ^1(元/年)求利润从第
4年初到第8年末,即时间间隔[3,8]内年平
均变化率
8
3=3810
8855
3L(t)dt=3310tIdt=210(t1)2
所以从第4年初到第8年末,利润的年平均变化率为
QL(t)dt5
37.610(元/年)
8-3
即在这5年内公司平均每年平均获利7.6105元。
3.3由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量
设某个项目在t(年)时的收入为f(t)(万元),年利率为r,即贴现率是f(t)e^,
brt
则应用定积分计算,该项目在时间区间[a,b]上总贴现值的增量为f(t)endt。
Fa
设某工程总投资在竣工时的贴现值为A(万元),竣工后的年收入预计为a(万元)年利率为r,银行利息连续计算。
在进行动态经济分析时,把竣工后收入的总贴现值达到A,即使关系式
ae"
A
成立的时间T(年)称为该项工程的投资回收期
例某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元,竣工后的年收入预计为200万元,年利息率为0.08,求该工程的投资回收期。
200
e
-0.08
=2500(1-e^.08T
200e4λ08tdt
解这里A=1000,a=200,r=0.08,则该工程竣工后T年内收入的总贴现值为
令2500(1-e°
08T)=1000,即得该工程回收期为
11-1000、1I
Tln
(1)In0.6
0.0825000.08
=6.39(年)
3.4利润、产量与开工时数的最佳值的确定
例1某厂生产一种产品,年产量为X吨时,总费用的变化率(即边际费用)为f(x)=0.25x+8(单位:
百元/吨),这种产品每吨的销售价为3000元,问一年生产多少产品工厂利润最大,并求出年利润的最大值.
解总费用是边际费用的原函数,故
X2
C(X)=J(0.25x8)dx=0.125x8x
而收入函数R(X)=30x(百元),又由
L(X)=R(X)-C(XH22x-0.125X
贝UL(X)=22—0.25X
令L(X)=O,得X=88(吨)。
驻点唯一。
此时
L(88)=-0.25:
0,
由实际问题可知,当X=88时,L(X)取得最大值
L(88)=2288-0.125882=968(百元).因此,年产量为88吨时工厂获得最大利润96800元。
例2某工厂生产一种产品,每日总收入的变化率(即边际收入)是日产量X的函数R'
(x)=30-0.2x(单位:
元/件)。
该厂生产此种产品的能力为每小时30件,问怎样安排生产才能使这种产品每日的总收入最大?
并求出此最大总收入值
解由题意
R(X)=:
i(30-0.2x)dx=30x-0∙1χ2,
令R(X)=30-0.2x=0,得x=150,
又R(X^-0.2:
0,因为R(X)只有唯一的驻点x=150,由实际问题知,当
x=150时,R(X)取得最大值R(150)=30150-0.1150^2250.因此,每日取得最大总收入的产量为150件,此时R(150)=2250(元).完成150件产品需要的工时为150=5(小时),所以,每天生产这种产品5小时,就使
30
每日收入最大,最大值为2250元。
3.5资本存量问题
例1资本存量S=s(t)是时间t的函数。
它的导数等于净投资I(t)。
现知道净投资
∣(t)=3jt(单位:
10万元/年)。
求第一年底到第四年底的资本存量.
解因资本存量S是净投资的一个原函数,故
s(4)—s
(1)=p√tdt
=2t2
4
=14(10万元)
1
所以,第一年底到第四年底的总资本存量为1400000元。
t的函数
例2某银行根据前四年存款情况,知该行现金净存量的变化率是时间
f(x)=14.5t4(单位:
万元/年),计划从第五年起积存现金1000万元。
按此变化率需几年时间?
解依题意
1000=4x14.5t4dt
即1000
=曽[(4X)4一4可
9
』4
99
由此,得(4X)4晋F
解此方程,得
4x:
9.9993
X:
6.
所以,从第五年积存1000万元现金约需6年.
3.6消费者剩余和生产者剩余在自由市场中,生产并销售某一商品的数量可由这一商品的供给与需求曲线描述,它的状态可在如图上直观表现如下:
Po的经济意义是供应者会生产此商品的最低价。
P1是消费者会购买此种商品的最高价。
q是免费供给此种商品的需求量(如卫生纸)经市场功能调节后,市场将趋于平
衡价P*和平衡数量q*,两条曲线在(q*,p*)相交。
消费者以平衡价格购买了某种商品,他们本来打算出较高的价格购买这种商品,消费者剩余是指消费者因此而省下来的钱的总数。
用积分式来表达就是:
q*
消费者剩余「°
Qd(q)dq-p*q*=曲边三角形MPιp*面积.
生产者以平衡价格出售了某种商品,他们本来打算以较低一些的售价售出这些商品,生产者剩余是指生产者因此而获得的额外收入。
用积分式表达就是
生产者剩余=p*q*-:
Qs(q)dq=曲边三角形Mp0p*面积.
4定积分在工程中的应用
4.1定积分中值定理
定积分中值定理作为定积分的一个重要性质,计算河床的平均深度时,应用定积分中值定理知识。
此问题主要出现在水利工程专业的《工程水文学》课程中,主要应用于计算河流、湖泊等河床横断面水的平均深度,以此用作河流测流、工程设计或施工的一个依据。
只要测量出河面在某处的宽度(B),河床的横断面形状和河床的最大深度(h),
1b
则可运用定积分中值定理知识计算该处河床的平均深度(h),即h-f(x)dx(m).
b_a妇
例设一河流的河面在某处的宽度为2b,河流的横断面为一抛物线弓形,河床的最深处在河流的中央,深度为h,求河床的平均深度h.
分析:
首先,选取坐标系使X轴在水平面上,y轴正向朝下,且y轴为抛物线的对称轴。
于是,抛物线方程为y=h-占χ2.然后,运用定积分中值定理便可求得河床的平均深度h.
解:
-b2
河床的平均深度h-f(x)dx=-h.
b-a'
a3
4.2定积分的近似计算知识的应用
近似求物体的截面积,应用梯形法或抛物线法等定积分的近似计算知识。
此问题主要出现在水利工程专业的《灌溉排水技术》课程中,主要应用于近似计算河床、渠道的过水断面面积,进而计算截面流量(即渠系测流)。
由水利学知识可知,单位时间内流过某一截面的流体的体积就叫做通过这个截面的流量,即Q=v/t(m/s).在水利工程
中,流量的计算通常运用公式Q=sv(m/s),即过水断面面积(S)与流速(V)的乘积。
例1有一条宽为24米的大型干渠,正在输水浇灌农田,试利用流速仪并结合梯形法
或抛物线法近似求横截面积等高等数学知识进行测流。
根据灌溉管理学知识,首先选择测流断面,确定测线。
测流断面选择在渠段正直,水流均匀,无漩涡和回流的地方,断面与水流方向垂直;
测流断面的测线确定为12条。
其次,测定断面。
先在渠道两岸拉一条带有尺度的绳索,测出测深线的起点距(与断面起点桩的水平距离);
测线深度,用木制或竹制的测深杆施测,从渠道一岸到对岸每隔2米测量一次水深,测得数据如下表。
根据施测结果绘出测流断面图,如图所示。
第三,利用流速仪施测断面流速。
例如,利用旋环式流速仪测出该渠道断面平均流速为v=0.60m∕s.第四,近似计算渠道过水断面面积和流量。
测线深度施测数据表(单位:
∏D
Xi
6
10
12
14
16
18
20
22
24
yi
0.5
0.7
1.0
1.5
1.6
1.9
2.2
2.0
1.7
1.3
0.8
解答:
(1)抛物线法(辛卜生公式):
A≈30.67m2;
Q=18.40m3∕s.
(2)梯形法:
A≈30.40m2;
Q=18.24m3∕s.
例2有一条河流,宽为200米,从河一岸到正对岸每隔20米测量一次水深,测的数据如下表。
试分别用梯形法和抛物线法求此河床横截面积的近似值。
单位:
m
40
60
80
100
120
140
160
180
11
17
19
21
15
4.3微元法知识的应用
微元法在专业基础课和专业课中应用非常广泛,求解物体所受液体的侧压力,应用微元法知识。
此问题主要出现在水利工程专业的《水力学》、《水工建筑物》等课程中,主要应用于计算水闸及输水建筑物(如坝下涵管、隧洞、渠道、管道等)上的闸门所受水压力的大小,作为设计或校核闸门结构的一个重要依据。
水闸是一种低水头水工建筑
物,既能挡水,又能泄水,用以调节水位,控制泄流量;
多修建于河道、渠系及水库、湖泊岸边,在水利工程中的应用十分广泛。
闸门是水闸不可缺少的组成部分,用来调节流量和上、下游水位,宣泄洪水和排放泥沙等。
闸门的形式很多,按其结构形式通常分为平面闸门、弧形闸门及自动翻倒闸门等;
按其工作条件可分为工作闸门和修理闸门;
按其所处的位置不同可分为露顶闸门和潜孔闸门;
按其所用的材料可分为钢闸门、钢筋混凝土闸门、钢丝网水泥闸门和木闸门等;
按其形状不同又可分为矩形闸门、梯形闸门、圆形闸门和椭圆形闸门等。
闸门的主要作用是挡水,承受水压力是其作用荷载之一。
运用微元法计算闸门所受水压力时,设受水压力作用的区域与水平面垂直且由曲线y=f(x)
>
0,(0≤a≤X≤b)x=a,x=b及X轴所组成。
X轴正向朝下,y轴在水平面上,水的密度为21000kg∕m3,则闸门所受的水压力大小为P=bIgXf(X)dx(N).
例有一个水平放置的无压输水管道,其横断面是直径为6m的圆,水流正好半满,
求此时输水管道一端的竖直闸门上所受的水压力。
首先建立合适的直角坐标系,如图所示,则圆的方程为X2y^r2=9.
然后,运用微元法求解即可。
图4-2
P=1.76×
IO5N.
5定积分在医学的应用
如图显示了人的心血管系统。
血液流经全身通过静脉进入右心房,然后通过肺动脉泵入肺部补充氧气。
之后通过肺静脉流回左心房,再通过主动脉流往全身其它部位,进行血液循环。
心输出量就是单位时间(一分钟)内,心脏泵出的血液量,即血液通过动脉的速率。
安静状态下,成年男性每搏输出量为60〜80毫升,心率75次/分钟,故心输
时询
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叩
4111
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