第8讲 数学广角数与形教师版Word文档下载推荐.docx
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(1)填表如下:
3
4
14
20
26
(2)8+(7﹣1)×
6
=8+6×
=8+36
=44(根)
6n+2=56
6n=54
n=9
搭7条“金鱼”需要44根火柴;
有56根火柴,可以搭9条“金鱼”.
2.(2020•雄县)二进制时钟是一种“特殊的时钟”,它用4行6列24盏灯来表示时间(图1)竖着看,从左到右每两列为一组,每列依次表示时、分、秒的十位数字和个位数字;
每列从下往上的灯依次表示1、2、4、8(●表示灯亮,〇表示灯熄灭,灯灭代表0),同一列中多盏灯同时亮,要把它们各自表示的数加起来得到对应的数.例如,图1中最右侧一列,从下往上第一、二、三盏灯是,分别表示数字1、2、4,1+2+4=7,此时这列灯表示数字7,按照这样的表示方法,请在图2的括号里写出此时时钟表示的时刻.图3是雯雯同学上午进入校门的时刻,请涂出二进制时钟上的显示.
【思路分析】根据所给图示,发现每行与每列的变换规律:
竖着看,从左到右每两列为一组,每列依次表示时、分、秒的十位数字和个位数字;
每列从下往上的灯依次表示1、2、4、8(●表示灯亮,〇表示灯熄灭,灯灭代表0),同一列中多盏灯同时亮,要把它们各自表示的数加起来得到对应的数.然后利用规律做题即可.
.
【名师点评】本题主要考查数与形结合的规律,关键是根据图示发现规律,并运用规律做题.
3.(2020春•上街区期末)根据前三个算式的规律,写出其他算式的得数,并说明理由.
在完成第①题时,我是这样想的:
被除数不变,除数乘几(0除外),商就除以相同的数 .
在完成第②题时,我是这样想的:
除数不变,被除数乘几(0除外),商就乘相同的数 .
【思路分析】①根据所给算式发现:
被除数不变,除数乘2、3、……6,商就除以2、3、……6.据此完成题目,并总结规律.
②根据所给算式发现:
除数不变,被除数乘2、3、……8,商也乘2、3、……8.据此完成题目,并总结规律.
被除数不变,除数乘几(0除外),商就除以相同的数.
除数不变,被除数乘几(0除外),商就乘相同的数.
故答案为:
被除数不变,除数乘几,商就除以相同的数.除数不变,被除数乘几,商就乘相同的数.
【名师点评】解答此题的关键是观察所给出的算式,找出算式之间数与数的关系,得出规律,再根据规律解决问题.
一.选择题(共6小题)
1.(2019秋•大田县期末)根据1÷
11=0.
,2÷
,3÷
,可以推出9÷
11=( )
A.0.
B.0.
C.0.
D.0.
【思路分析】根据1÷
,可以看出循环节都是两个数字,循环节的两个数字是9与被除数的乘积;
由此规律,可知9÷
11的循环节是81,据此解答.
【规范解答】根据题意与分析可得:
根据1÷
故选:
D.
【名师点评】注意式子的运算结果中数字之间的联系,发现规律,进一步解决问题.
2.(2020•顺德区)如图是用棋子摆成的图形,摆第一个图形需要3枚棋子,摆第二个图形需要6枚棋子,摆第三个图形需要9枚棋子……照这样的规律摆第11个图形需要( )枚棋子.
A.27B.30C.33D.36
【思路分析】观察图形可知,摆第一个图形需要3=3×
1枚棋子,摆第二个图形需要3×
2=6枚棋子,摆第三个图形需要3×
3=9枚棋子,摆第四个图形需要3×
4=12枚棋子……,据此可得摆第n个图形需要3n枚棋子,据此即可解答问题.
根据题干分析可得:
摆第一个图形需要3=3×
1枚棋子,
摆第二个图形需要3×
2=6枚棋子,
摆第三个图形需要3×
3=9枚棋子,
摆第四个图形需要3×
4=12枚棋子
…,
据此可得摆第n个图形需要3n枚棋子,
当n=11时,11×
3=33(枚)
照这样的规律摆第11个图形需要33枚棋子.
C.
【名师点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.
3.(2019•北京)寒假的时候,同学们去莲花山滑雪场滑雪,有些同学用雪杖摆成了如图:
像上面那样摆10个三角形,至少需要( )根滑雪杖.
A.21B.20C.9D.30
【思路分析】根据图示,摆1个三角形,需要滑雪杖:
3根;
摆2个三角形,需要滑雪杖:
3+2=5(根);
摆3个三角形,需要滑雪杖:
3+2+2=7(根)……摆n个三角形,需要滑雪杖:
3+2(n﹣1)=(2n+1)根.据此解答.
摆1个三角形,需要滑雪杖:
3根
3+2=5(根)
3+2+2=7(根)
摆n个三角形,需要滑雪杖:
3+2(n﹣1)=(2n+1)根
摆10个三角形需要滑雪杖:
2×
10+1
=20+1
=21(根)
摆10个三角形,至少需要21根滑滑雪杖.
A.
4.(2018秋•福州期末)用小棒摆正六边形,(如图所示),按照这样的方法摆下去,摆n个正六边形需要( )小棒.
A.6nB.5nC.5n+1D.6n+1
【思路分析】根据图示,摆1个正六边形需要小棒根数:
6根;
摆2个正六边形需要小棒根数:
6+5=11(根);
摆3个正六边形需要小棒根数:
6+5+5=16(根);
……摆n个正六边形需要小棒根数:
6+5(n﹣1)=(5n+1)根.据此解答.
摆1个正六边形需要小棒根数:
摆n个正六边形需要小棒根数:
6+5(n﹣1)=(5n+1)根.
摆n个正六边形需要( 5n+1 )根小棒.
【名师点评】本题主要考查数与形结合的规律,关键根据图示发现规律.
5.如图的每个正方形中的四个数之间都有相同的规律,请根据此规律,计算出m的值是( )
A.86B.74C.52
【思路分析】分析前三个正方形可知,规律为右上和左下两个数的积加左上的数等于右下的数,且左上,左下,右上三个数是相邻的偶数.因此,图中阴影部分的两个数分别是左下是8,右上是10;
然后求出m的值即可.
第四图左下角的数是:
6+2=8
右上角的数是:
8+2=10
那么右下角的数m就是:
10×
8+6=86
【名师点评】通过观察,分析、归纳并发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力.
6.(2019春•凤凰县月考)填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,n等于( )
A.52B.74C.86
【思路分析】观察前三个图可得:
左上角、右上角、左下角同一位置的数都是连续的递增双数;
0+4×
2=8,2+6×
4=26,4+8×
6=52,右下角的数的规律是:
左上角的数+右上角的数×
左下角的数=右下角的数;
据此解答即可.
右上角的数:
左下角的数:
所以n=6+10×
=6+80
=86
【名师点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.
二.填空题(共6小题)
7.(2020春•磐石市期末)按规律填数:
(1)2,4,6,8, 10 ,12, 14 .
(2)56,46,36,26, 16 .
【思路分析】
(1)2,4,6,8,这四个数连续的双数,依次增加2即可;
(2)56,46,36,26,这四个数个位都是6,十位是5、4、3、2,依次减少1个十;
(1)8+2=10
12+2=14
所以,2,4,6,8,10,12,14.
(2)这些数个位都是6,十位是5、4、3、2、1;
所以,56,46,36,26,16.
10,14;
16.
8.认真观察如图,看从中受到什么启发,然后再计算出后面算式的结果.
=
【思路分析】根据图示,观察算式可知:
分子是1,分母分别是2的1次方,2的2次方,2的3次方,……求这些分数的和为最后一个分数的分母做分母,分子是分母减1.据此解答.
=
;
=1﹣(
)
=1﹣
9.(2020•无锡)探索实践:
如图,用“十字形”分割正方形.分割一次,可以分成4个正方形;
分割二次,可以分成7个正方形……用这样的“十字形”连续分割3次,可以分成 10 个正方形;
连续分割拟n次,可以分成 (3n+1) 个正方形;
要分成100个正方形需要分割 33 次.
【思路分析】根据图示,分割一次,可以分成4个正方形;
分割二次,可以分成4+3=7(个)正方形;
分割3次,可以分成4+3+3=10(个)正方形;
……连续分割n次,可以分成4+3(n﹣1)=(3n+1)个正方形;
据此解答.
分割1次,正方形个数:
4个
分割2次,正方形个数:
4+3=7(个)
分割3次,正方形个数:
4+3+3=10(个)
分割n次,正方形个数:
4+3(n﹣1)=(3n+1)个
3n+1=100
3n=99
n=33
连续分割3次,可以分成10个正方形;
连续分割拟n次,可以分成(3n+1)个正方形;
要分成100个正方形需要分割33次.
10;
(3n+1);
33.
10.(2020•唐县)观察如图的点阵图,找规律.
第五个点阵图有 18 点,第n个图形共有 3(n+1) 个点.
【思路分析】根据图示可知,第一个点阵图点数:
1+2+3=2×
3=6(个);
第二个点阵图点数:
2+3+4=3×
3=9(个);
第三个点阵图点数:
3+4+5=4×
3=12(个);
第n个点阵图点数:
3(n+1)个.据此解答.
第一个点阵图点数:
3=6(个)
3=9(个)
3=12(个)
第五个点阵图点数:
(5+1)×
=6×
=18(个)
3(n+1)个
第五个点阵图有18点,第n个图形共有3(n+1)个点.
18;
3(n+1).
11.找规律,填一填.
(1)1001、2002、3003、 4004 、 5005 、 6006 .
(2)九千一百、八千二百、七千三百、 六千四百 、 五千五百 、 四千六百 .
(1)2002﹣1001=1001、3003﹣2002=1001,规律:
每次增加1001;
(2)九千一百、八千二百、七千三百、规律:
千位数字每次减少1,百位数字每次增加1;
(1)3003+1001=4004
4004+1001=5005
5005+1001=6006
所以,1001、2002、3003、4004、5005、6006.
(2)九千一百、八千二百、七千三百、六千四百、五千五百、四千六百.
4004、5005、6006;
六千四百、五千五百、四千六百.
12.(2020•海安市)现有若干个圆环,它们的外直径都是5厘米,环宽5毫米,将它们扣在一起(如图所示)拉紧后测量总长度.
圆环个数
…
总长度(cm)
5
9
13
17
像这样,10个圆环拉紧后的长度是 41 厘米.如果圆环的个数为n,拉紧后总长度是 (4n+1) 厘米.
【思路分析】根据图示可知:
1个圆环的长度是5厘米;
2个圆环的总长度是5+4=9(厘米);
3个圆环的总长度是:
5+4+4=13(厘米);
……n个圆环的总长度是:
5+4(n﹣1)=(4n+1)厘米.据此解答即可.
1个圆环的长度是5厘米
2个圆环的总长度是5+4=9(厘米)
5+4+4=13(厘米)
10个圆环的总长度是:
4×
=40+1
=41(厘米)
n个圆环的总长度是:
5+4(n﹣1)=(4n+1)厘米
10个圆环拉紧后的长度是41厘米.如果圆环的个数为n,拉紧后总长度是(4n+1)厘米.
41;
(4n+1).
【名师点评】此题关键是从简单情形入手,找出图形之间的联系,数字之间的运算规律,利用规律解决问题.
三.判断题(共5小题)
13.(2014•吉州区模拟)用小棒照图搭正方形,搭一个正方形用4根,搭两个正方形用7根,搭a个正方形有4a根. ×
.(判断对错)
【思路分析】通过观察易得搭一个正方形要火柴4根;
搭两个正方形要火柴(4+3)根,即7根;
搭三个正方形要火柴(4+3×
2)根,即10根,由此得到搭a个正方形要火柴4+3×
(a+1)=3a+1根,据此即可解答.
观察第一个图得,搭一个正方形要火柴4根;
观察第二个图得,搭两个正方形要火柴(4+3)根,即7根;
观察第三个图得,搭三个正方形要火柴(4+3×
2)根,即10根,
所以搭a个正方形要火柴4+3×
(a﹣1)=3a+1根.
×
【名师点评】本题考查了规律型:
图形的变化类:
通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素,然后推广到一般情况.
14.(2012•岳麓区)按1、8、27、 64 、125、216的规律排,横线中的数应为64. 正确 .(判断对错)
【思路分析】此题关键是发现以上数列是按各数的立方顺序排列的.
13=1;
23=8;
33=27;
43=64;
53=125;
63=216.
由此发现规律:
以上数列是按1、2、3、4、5、6的立方顺序排列的,43=64.
正确.
【名师点评】认真观察,发现数列中的规律,从而利用规律解决问题.
15.(2017秋•临漳县期末)第五个点阵中点的个数是:
1+4×
4=17. √ (判断对错)
【思路分析】根据题干,第一个点阵有1个点,第二个点阵上下左右各增加了一个点即有:
1+1×
4个点,第三个点阵上下左右各增加了2个点即有:
1+2×
2个点由此可得:
第n点阵的点数=1+(n﹣1)×
4,由此规律即可解决判断.
4,
n=5时,点数个数为:
1+(5﹣1)×
4=1+4×
4=17.
所以原题说法正确.
√.
【名师点评】抓住题干,从特殊的例子推理得出一般的结论,由此即可解决此类问题.
16.(2019•河南模拟)摆1个正方形需要4根小棒,往后每多摆1个正方形就增加3根小棒,按这样的规律摆10个正方形,一共需要31根小棒. √ .(判断对错)
【思路分析】摆一个正方形要小棒4根;
摆两个正方形要小棒(4+3)根,即7根;
摆三个正方形要小棒(4+3×
2)根,即10根,由此得到摆n个正方形要小棒4+3×
(n﹣1)=3n+1根;
然后把n=10代入3n+1中即可求出摆10个正方形需要的小棒数.
摆一个正方形要小棒4根;
所以摆n个正方形要小棒:
4+3×
(n﹣1)=3n+1(根);
n=10,3×
10+1=31(根);
摆10个正方形一共需要31根小棒.
原题说法正确.
17.(2011•新都区)如图:
那么第7个点阵有45个点. ×
【思路分析】根据图形,第一个图是1个点,第二个图有1+4个点,第三个图有1+4+6个点,第四个图有1+4+6+8个点,依次第五个图有1+4+6+8+10个点,第六个图有1+4+6+8+10+12个点,第七个图有1+4+6+8+10+12+14个点,求出和,然后与45比较大小,即可得解.
1+4+6+8+10+12+14=55
55>45
所以第7个点阵有45个点的说法是错误的;
四.应用题(共6小题)
18.一张长方形桌子可坐6人,按下列方式将桌子拼在一起.
(1)2张桌子拼在一起可坐多少人?
3张桌子拼在一起可坐多少人?
(2)一家餐厅有40张这样的长方形桌子,按照如图方式每5张桌子拼成1张大桌子,则40张桌子可拼成8张大桌子,共可坐多少人?
(3)若在
(2)中,改成每8张桌子拼成1张大桌子,则共可坐多少人?
(1)根据图示2张桌子拼一起,可以坐:
6+2=8(人),3张桌子拼一起,可以坐:
6+2+2=10(人).
(2)先根据
(1)的规律,计算5张桌子拼一起,可以坐的人数:
6+2+2+2+2=14(人),再计算40张桌子可以拼成几个大桌子,然后乘14,计算可坐人数.
(3)根据规律计算8张桌子拼一起,可以坐的人数:
6+2+2+2+……+2=6+2×
(8﹣1)=20(人),然后计算40张桌子可以拼成几个大桌子,乘20就是一共可坐的人数.
(1)6+2=8(人)
6+2+2=10(人)
2张桌子拼在一起可坐8人;
3张桌子拼在一起可坐10人.
(2)6+2+2+2+2=14(人)
8×
14=112(人)
共可坐112人.
(3)6+2+2+2+2+2+2+2
=6+2×
(8﹣1)
=6+14
=20(人)
40÷
5×
=100(人)
改成每8张桌子拼成1张大桌子,则共可坐100人.
19.(2020•衡阳县)小红用黑白两种方块照下图这样拼图.
(1)观察图形并填表.
图序
图中黑方块的个数
6
8
(2)思考问题并填空.
①图序为10的图中黑方块有 22 个;
图序为n的图中黑方块有 (2n+2) 个.
②小红拼成的一个图中白方块有26个,这个图的图序为 8 .
(1)根据所给图示,图1黑色方块4个;
图2黑色方块4+2=6(个);
图3黑色方块:
4+2+2=8(个).
(2)①结合图示发现黑色方块的排列规律:
图1黑色方块4个;
4+2+2=8(个);
……第n个图形黑色方块的个数为:
4+2(n﹣1)=(2n+2)个.据此解答.
②图中白方块的排列规律为:
图1:
5个;
图2:
5+3=9(个);
图3:
5+3+3=11(个);
……第n个图形白方块个数:
5+3(n﹣1)=(3n+2)个.据此计算白方块是26个是第几个图形.
6
8
(2)①图1黑色方块4个
图2黑色方块4+2=6(个)
4+2+2=8(个)
图10黑方块的个数:
10+2
=20+2
=22(个)
第n个图形黑色方块的个数为:
4+2(n﹣1)=(2n+2)个
图序为10的图中黑方块有22个;
图序为n的图中黑方块有(2n+2)个.
②白方块的排列规律为:
5个
5+3=9(个)
5+3+3=11(个)
第n个图形白方块个数:
5+3(n﹣1)=(3n+2)个
3n+2=26
3n=24
n=8
白方块有26个,这个图的图序为8.
6,8;
22,(2n+2);
8.
20.(2020•海安市)海安某步行街要铺设一条人行道,人行道长400米,宽1.6米.现在用边长都是0.4米的红、黄两种正方形地砖铺设(如图是铺设的局部图示).
(1)请帮忙算一算,铺设这条人行道一共需多少块地砖?
(不计损耗)
(2)铺设这条人行道一共需要多少块红色地砖?
(1)利用长方形面积公式:
S=ab,计算人行道的面积,然后用人行道的面积除以每块地砖的面积,就是所需块数.
(2)根据图形的排列规律,每4×
4=16(块)方砖中,有4块是红色的,求所需地砖块数包含几个16
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