一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题含答案.docx
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一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题含答案
一元二次不等式及其解法
1.一元一次不等式解法
任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后,都可以化为ax>b(a≠0)的形式.
当a>0时,解集为;当a<0时,解集为.
2.一元二次不等式及其解法
(1)我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为__________不等式.
(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解,一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.
(3)一元二次不等式的解:
函数与不等式
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a>0)的根
有两相异实根
x1,x2(x1<x2)
有两相等实根
x1=x2=-
无实根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
①
②
R
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
∅
③
3.分式不等式解法
(1)化分式不等式为标准型.方法:
移项,通分,右边化为0,左边化为的形式.
(2)将分式不等式转化为整式不等式求解,如:
⇔f(x)g(x)>0;<0⇔f(x)g(x)<0;
≥0⇔≤0⇔
()已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=( )
A.[-2,-1]B.[-1,2)
C.[-1,1]D.[1,2)
解:
∵A={x|x≥3或x≤-1},B={x|-2≤x<2},∴A∩B={x|-2≤x≤-1}=[-2,-1].故选A.
设f(x)=x2+bx+1且f(-1)=f(3),则f(x)>0的解集为( )
A.{x|x∈R}B.{x|x≠1,x∈R}
C.{x|x≥1}D.{x|x≤1}
解:
f(-1)=1-b+1=2-b,f(3)=9+3b+1=10+3b,
由f(-1)=f(3),得2-b=10+3b,
解出b=-2,代入原函数,f(x)>0即x2-2x+1>0,x的取值范围是x≠1.故选B.
已知-<<2,则x的取值范围是( )
A.-2 C.x<-或x>2D.x<-2或x> 解: 当x>0时,x>;当x<0时,x<-2. 所以x的取值范围是x<-2或x>,故选D. 不等式>0的解集是. 解: 不等式>0等价于(1-2x)(x+1)>0, 也就是(x+1)<0,所以-1<x<. 故填. ()若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为________. 解: 显然k≠0.若k>0,则只须(2x2+x)max<,解得k∈∅;若k<0,则只须<(2x2+x)min,解得k∈(-3,0).故k的取值范围是(-3,0).故填(-3,0). 类型一 一元一次不等式的解法 已知关于x的不等式(a+b)x+2a-3b<0的解集为,求关于x的不等式(a-3b)x+b-2a>0的解集. 解: 由(a+b)x<3b-2a的解集为, 得a+b>0,且=-, 从而a=2b,则a+b=3b>0,即b>0, 将a=2b代入(a-3b)x+b-2a>0, 得-bx-3b>0,x<-3,故所求解集为(-∞,-3). 点拨: 一般地,一元一次不等式都可以化为ax>b(a≠0)的形式.挖掘隐含条件a+b>0且=-是解本题的关键. 解关于x的不等式: (m2-4)x<m+2. 解: (1)当m2-4=0即m=-2或m=2时, ①当m=-2时,原不等式的解集为∅,不符合 ②当m=2时,原不等式的解集为R,符合 (2)当m2-4>0即m<-2或m>2时,x<. (3)当m2-4<0即-2<m<2时,x>. 类型二 一元二次不等式的解法 解下列不等式: (1)x2-7x+12>0; (2)-x2-2x+3≥0; (3)x2-2x+1<0;(4)x2-2x+2>0. 解: (1){x|x<3或x>4}. (2){x|-3≤x≤1}. (3)∅. (4)因为Δ<0,可得原不等式的解集为R. ()已知函数f(x)=则不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是( ) A.{x|-1≤x≤-1}B.{x|x≤1} C.{x|x≤-1}D.{x|--1≤x≤-1} 解: 由题意得不等式x+(x+1)f(x+1)≤1等价于① 或 ② 解不等式组①得x<-1;解不等式组②得-1≤x≤-1. 故原不等式的解集是{x|x≤-1}.故选C. 类型三 二次不等式、二次函数及二次方程的关系 已知关于x的不等式x2-bx+c≤0的解集是{x|-5≤x≤1},求实数b,c的值. 解: ∵不等式x2-bx+c≤0的解集是{x|-5≤x≤1}, ∴x1=-5,x2=1是x2-bx+c=0的两个实数根, ∴由韦达定理知∴ 已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3},求不等式cx2-bx+a>0的解集. 解: ∵不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}, ∴a<0,且2和3是方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系得 即 代入不等式cx2-bx+a>0,得6ax2+5ax+a>0(a<0). 即6x2+5x+1<0, ∴所求不等式的解集为. 类型四 含有参数的一元二次不等式 解关于x的不等式: mx2-(m+1)x+1<0. 解: (1)m=0时,不等式为-(x-1)<0,得x-1>0,不等式的解集为{x|x>1}; (2)当m≠0时,不等式为m(x-1)<0. ①当m<0,不等式为(x-1)>0, ∵<1,∴不等式的解集为. ②当m>0,不等式为(x-1)<0. (Ⅰ)若<1即m>1时,不等式的解集为; (Ⅱ)若>1即0<m<1时,不等式的解集为; (Ⅲ)若=1即m=1时,不等式的解集为∅. 点拨: 当x2的系数是参数时,首先对它是否为零进行讨论,确定其是一次不等式还是二次不等式,即对m≠0与m=0进行讨论,这是第一层次;第二层次: x2的系数正负(不等号方向)的不确定性,对m<0与m>0进行讨论;第三层次: 与1大小的不确定性,对m<1、m>1与m=1进行讨论. 解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R). 解: 不等式整理为ax2+(a-2)x-2≥0, 当a=0时,解集为(-∞,-1]. 当a≠0时,ax2+(a-2)x-2=0的两根为-1,,所以当a>0时, 解集为(-∞,-1]∪; 当-2<a<0时,解集为; 当a=-2时,解集为{x|x=-1}; 当a<-2时,解集为. 类型五 分式不等式的解法 (1)解不等式≤1. 解: ≤1⇔-1≤0⇔≤0⇔≥0. ≥0⇔ 得{xx>-或x≤-2}. ※ (2)不等式>0的解集是. 解: >0⇔>0⇔ (x-2)(x+2)(x+1)>0, 数轴标根得{x|-2<x<-1或x>2}, 故填{x|-2<x<-1或x>2}. 点拨: 分式不等式可以先转化为简单的高次不等式,再利用数轴标根法写出不等式的解集,如果该不等式有等号,则要注意分式的分母不能为零.※用“数轴标根法”解不等式的步骤: (1)移项: 使得右端为0(注意: 一定要保证x的最高次幂的项的系数为正数). (2)求根: 就是求出不等式所对应的方程的所有根..(3)标根: 在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置,只需标出相对位置即可).(4)画穿根线: 从数轴“最右根”的右上方向左下方画线,穿过此根,再往左上方穿过“次右根”,一上一下依次穿过各根,“奇穿偶不穿”来记忆.(5)写出不等式的解集: 若不等号为“>”,则取数轴上方穿根线以内的范围;若不等号为“<”,则取数轴下方穿根线以内的范围;若不等式中含有“=”号,写解集时要考虑分母不能为零. (1)若集合A={x|-1≤2x+1≤3},B=,则A∩B=( ) A.{x|-1≤x<0}B.{x|0<x≤1} C.{x|0≤x≤2}D.{x|0≤x≤1} 解: 易知A={x|-1≤x≤1},B集合就是不等式组的解集,求出B=,所以A∩B={x|0<x≤1}.故选B. (2)不等式≤0的解集为( ) A.B. C.∪[1,+∞)D.∪[1,+∞) 解: ≤0⇔ 得- 类型六 和一元二次不等式有关的恒成立问题 (1)若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈成立,则a的最小值为( ) A.0B.-2C.-D.-3 解: 不等式可化为ax≥-x2-1,由于x∈, ∴a≥-.∵f(x)=在上是减函数, ∴=-.∴a≥-. (2)已知对于任意的a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于0,则x的取值范围是( ) A.1<x<3B.x<1或x>3 C.1<x<2D.x<1或x>2 解: 记g(a)=(x-2)a+x2-4x+4,a∈[-1,1], 依题意,只须⇒⇒x<1或x>3,故选B. 点拨: 对于参数变化的情形,大多利用参变量转换法,即参数转换为变量;变量转换为参数,把关于x的二次不等式转换为关于a的一次不等式,化繁为简,然后再利用一次函数的单调性,求出x的取值范围. 对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2x+a成立的x的取值范围. 解: 原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0,设f(a)=(x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0,故有: 即解得 ∴x<-1或x>3. 类型七 二次方程根的讨论 若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内有且仅有一解,则a的取值范围是( ) A.a<-1B.a>1
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