线段的垂直平分线与角平分线专题复习汇编Word文档格式.docx
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如图2,∵AC=BC
∴点C在线段AB的垂直平分线m上.
证明一个点在某线段的垂直平分线上.
3、关于线段垂直平分线性质定理的推论
(1)关于三角形三边垂直平分线的性质:
三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
性质的作用:
证明三角形内的线段相等.
(2)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系:
若三角形是锐角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形内部;
若三角形是直角三角形,则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点;
若三角形是钝角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之,也成立。
4、角平分线的性质定理:
角平分线的性质定理:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
如图4,
∵OE是∠AOB的平分线,F是OE上一点,且CF⊥OA于点C,DF⊥OB于点D,∴CF=DF.
①证明两条线段相等;
②用于几何作图问题;
角是一个轴对称图形,它的对称轴是角平分线所在的直线.
5、角平分线性质定理的逆定理:
角平分线的判定定理:
在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
如图5,
∵点P在∠AOB的内部,且PC⊥OA于C,PD⊥OB于D,且PC=PD,
∴点P在∠AOB的平分线上.
用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线
6、关于三角形三条角平分线的定理:
(1)关于三角形三条角平分线交点的定理:
三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.
如图6,如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线,那么:
①AP、BQ、CR相交于一点I;
②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F,则DI=EI=FI.
①用于证明三角形内的线段相等;
②用于实际中的几何作图问题.
(2)三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系:
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心(即内切圆的圆心).
7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图:
(1)会作已知线段的垂直平分线;
(2)会作已知角的角平分线;
(3)会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.
精品习题:
1.在△ABC中,∠C=90º
,BD是∠ABC的平分线.已知,AC=32,且AD:
DC=5:
3,则点D到AB的距离为_______.
2.如图,在△ABD中,AD=4,AB=3,AC平分∠BAD,则
=()
A.
B.
C.
D.不能确定
3.如图,ΔABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将ΔABD分为三个三角形,则S
:
S
等于______.
4.如图所示,∠BAC=105°
,若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.则∠PAQ的度数为.
5.AD∥BC,∠D=
,AP平分∠DAB,PB平分∠ABC,点P恰好在CD上,则PD与PC的关系是()
A.PD>
PCB.PD<
PCC.PD=PCD.无法判断
6.如图,有A、B、C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修一个超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在()
A.在AC、BC两边高线的交点处
B.在AC、BC两边中线的交点处
C.在AC、BC两边垂直平分线的交点处
D.在∠A、∠B的角平分线的交点处
7.如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,将△BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处,则∠A等于()
A.25º
B.30º
C.45º
D.60º
8.AC=AD,BC=BD,则有( )
A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分AB
C.AB与CD互相垂直平分D.CD平分∠ACB
9.如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是( )
A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP
10.随着人们生活水平的不断提高,汽车逐步进入到千家万户,小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路(如图所示),建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,这样可供选择的地址有( )处。
A、1 B、2 C、3 D、4
11.在Rt△ABC中,∠A=90°
,AB=3,AC=4,∠ABC,∠ACB的平分线交于P点,PE⊥BC于E点,求PE的长.
12.如图,△BDA、△HDC都是等腰直角三角形,且D在BC上,BH的延长线与AC交于点E,请你判断线段AC与BH有什么关系?
并说明理由.
13.如图,∠C=90°
,AC=BC,AD是∠BAC的角平分线.求证:
AC+CD=AB.
14.如图,AD为△ABC的角平分线,AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F,AC于EF交于点O.
(1)求证:
∠3=∠B;
(2)连接OD,求证:
∠B+∠ODB=180°
.
15.已知:
∠DAB=120°
,AC平分∠DAB,∠B+∠D=180°
(1)如图1,当∠B=∠D时,求证:
AB+AD=AC;
(2)如图2,当∠B≠∠D时,猜想
(1)中的结论是否发生改变?
说明理由.
16.小明做了一个如图所示的“风筝”骨架,其中AB=AD,CB=CD.
(1)小芳同学观察了这个“风筝”骨架后,他认为AC⊥BD,垂足为点E,并且BE=ED,你同意小德的判断吗?
为什么?
(2)设AC=a,BD=b,请用含a,b的式子表示四边形ABCD的面积.
17.如图,AB∥CD,AE、DE分别平分∠BAD和∠ADE,求证:
AD=AB+CD。
18.如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB,且∠B+∠D=180°
,求证:
AE=AD+BE。
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19.已知:
如图在△ABC中,∠A=90°
,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,求证:
BC=AB+AD
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