届一轮复习人教A版专题11 函数yAsinωx+ φ学案.docx
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届一轮复习人教A版专题11函数yAsinωx+φ学案
专题11 函数y=Asin(ωx+φ)
1.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图
用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要把ωx+φ看成一个整体,要找五个特征点:
X
-
ωx+φ
0
π
2π
y=Asin(ωx+φ)
0
A
0
-A
0
2.图象变换
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象可以看作由下面的方法得到的:
先把正弦曲线上的所有的点向左(φ>0)或向右平移(φ<0)|φ|个单位长度,得到y=sin(ωx+φ)的图象,然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到y=sin(ωx+φ)的图象,最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变,这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
3.振幅、周期、频率、相位
当函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈(0,+∞))表示一个振动时,A叫做振幅,T=叫做振动的周期,f==叫做振动的频率,ωx+φ叫做相位,φ叫做初相.
例1 已知函数y=2sin(2x+),
(1)求它的振幅、周期、初相;
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;
(3)说明y=2sin(2x+)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.
变式训练1 已知函数y=2sin(x+)(x∈R).
(1)利用“五点法”画出该函数在一个周期上的简图;
(2)说明该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的变换得到.
例2 如图,为y=Asin(ωx+φ)的图象的一段,求其解析式.
变式训练2 如图,为y=Asin(ωx+φ)的图象的一段,求其解析式.
例3 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ<)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上的一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈[,]时,求f(x)的值域.
变式训练3 已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象过点P,图象上与点P最近的一个最高点是Q.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数f(x)的递增区间.
A级
1.为得到函数y=cos(x+)的图象,只需将函数y=sinx的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
2.y=2sin的振幅、频率和初相分别为( )
A.2,,-B.2,,-
C.2,,-D.2,,-
3.下列函数中周期为π,且图象关于直线x=对称的函数是( )
A.y=2sin(+)B.y=2sin(2x-)
C.y=2sin(2x+)D.y=2sin(-)
4.将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为( )
A.B.C.0D.-
5.将正弦曲线y=sinx上各点向左平移个单位,再把横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,则所得图象解析式为________________.
6.已知ω>0,函数y=3sin(ωπx+)的周期比振幅小1,则ω=________.
7.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象,其部分图象如图所示,则f(0)=________.
B级
8.若将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为( )
A.y=2sinB.y=2sin
C.y=2sinD.y=2sin
9.函
数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图
所示,则( )
A.y=2sin
B.y=2sin
C.y=2sin
D.y=2sin
10.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示,则φ=________.
11.设ω>0,函数y=sin(ωx+)+2的图象向右平移个单位后与原图象重合,则ω的最小值是________.
12.若函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)在区间[0,2]上恰有一个最高点和一个最低点,则ω的取值范围是________.
13.已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
14.设函数f(x)=3sin(ωx+),ω>0,x∈(-∞,+∞),且以为最小正周期.
(1)求f(0);
(2)求f(x)的解析式;
(3)已知f(+)=,求sinα的值.
专题11 函数y=Asin(ωx+φ)
典型例题
例1 解
(1)y=2sin(2x+)的振幅A=2,周期T==π,初相为φ=.
(2)令X=2x+,则y=2sin(2x+)=2sinX,
列表、并描点画出图象
x
-
X
0
π
2π
y=sinX
0
1
0
-1
0
y=2sin(2x+)
0
2
0
-2
0
(3)由y=sinx的图象向左移个单位长度,得到y=sin(x+),然后横坐标变为原来的倍,得到y=sin(2x+),然后纵坐标变为原来的2倍,得到函数y=2sin(2x+).
变式训练1 解
(1)列表:
x+
0
π
2π
x
y
0
2
0
-2
0
作图:
(2)由y=sinx(x∈R)的图象向左平移单位长度,得到y=sin(x+),纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,得到函数y=sin(x+),横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍,得到函数y=2sin(x+).
例2 解 由图象可知A=-,T=2(-)=π,
所以ω=2,此时的解析式为y=-sin(2x+φ),
将点N带入到上式中,得-×2+φ=0,∴φ=,
∴所求的解析式为y=-sin.
变式训练2 解 由函数的最大值为2,可得A=2.
再根据函数的周期为=+=2π,可得ω=1.
再由五点法作图可得1×(-)+φ=0,∴φ=.
故函数的解析式为y=2sin(x+).
例3 解
(1)由最低点为M,得A=2;
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为,得=,
即T=π,所以ω===2;
由点M在图象上,得2sin(2×+φ)=-2,
即sin(+φ)=-1.故+φ=2kπ-,k∈Z,
所以φ=2kπ-(k∈Z).又φ∈,所以φ=;
故f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+).
(2)因为x∈[,],所以2x+∈[,].
当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值2;
当2x+=,即x=时,f(x)取得最小值-1.
故函数f(x)的值域为[-1,2].
变式训练3 解
(1)依题意得:
A=5,周期T=4=π,
∴ω==2.故y=5sin(2x+φ).又图象过点P,∴5sin(+φ)=0,由已知可得+φ=0,∴φ=-.∴y=5sin(2x-).
(2)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得:
-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
故函数f(x)的递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).
强化提高
1.C [∵函数y=cos(x+)=sin[+(x+)]=sin(x+),
∴为得到函数y=cos(x+)的图象,只需将函数y=sinx的图象向左平移个单位长度.]
2.A
3.B [对于B,ω=2,∴T=π,将x=代入B中函数关系式得y=2,取最大值,故x=是其对称轴.]
4.B [把函数y=sin(2x+φ)沿x轴向左平移个单位后得到函数y=sin2=sin为偶函数,则φ的一个可能取值是.]
5.y=sin(+)
解析 由y=sinx向左平移得y=sin(x+),再把横坐标伸长到原来的2倍,得y=sin(+).
6.1
解析 ∵已知ω>0,函数y=3sin(ωπx+)的周期比振幅小1,
∴+1=3,解得ω=1.
7.-
解析 由图象可知T=-=3π,所以T=2π,所以T=2π=,所以ω=1,即函数为f(x)=2sin(x+φ),
由五点对应法可知,当x=时,有+φ=0,所以φ=-,
所以f(x)=2sin(x-),所以f(0)=2sin(-)=-.
8.D [函数y=2sin的周期为π,将函数y=2sin的图象向右平移个周期即个单位,所得函数为y=2sin=2sin,故选D.]
9.A [由图可知,T=2=π,所以ω=2,由五点作图法可知2×+φ=,所以φ=-,所以函数的解析式为y=2sin,故选A.]
10.
解析 由图象知函数y=sin(ωx+φ)的周期为
2=,∴=,∴ω=.
∵当x=时,y有最小值-1,
∴×+φ=2kπ-(k∈Z).∵-π≤φ<π,∴φ=.
11.
解析 由函数向右平移个单位后与原图象重合,
得是此函数周期的整数倍.
∴·k=,∴ω=k(k∈Z),
又ω>0,∴ωmin=.
12.[π,π)
解析 f(x)=sin(ωx+)(ω>0)在区间[0,2]上恰有一个最高点和一个最低点,由于x=0时,f(0)=,且ω>0,
故x=0在增区间上,故x=2时,保证函数只有一个最小值即可;
∴≤2ω+<,解得π≤ω<π.
13.解
(1)由已知,有f(x)=-
=-cos2x
=sin2x-cos2x=sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,且f=-,
f=-,f=,
所以f(x)在区间上的最大值为,
最小值为-.
14.解
(1)f(0)=3sin=;
(2)∵f(x)=3sin(ωx+),且T=,∴=,∴ω=4.
∴f(x)=3sin(4x+).
(3)∵f(x)=3sin(4x+),
∴f(+)=3sin(α++)=3cosα.
又∵f(+)=,即3cosα=,
∴cosα=,∴sinα=±.
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