高等数学第一章函数与极限试题.docx
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高等数学第一章函数与极限试题
高等数学第一章函数与极限试题
一.选择题
1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,表示“M的充分必要条件是N”,则必有
(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.
(B)F(x)是奇函数f(x)是偶函数.
(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数.
(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数
2.设函数则
(A)x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.
(B)x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点
(C)x=0是f(x)的第一类间断点,x=1是f(x)的第二类间断点.
(D)x=0是f(x)的第二类间断点,x=1是f(x)的第一类间断点.
3.设(x)=,x≠0,1,则[]=()
A)1-xB)C)D)x
4.下列各式正确的是()
A)=1B)=e
C)=-eD)=e
5.已知,则()。
A.1;B.;C.;D.。
6.极限:
()
A.1;B.;C.;D.
7.极限:
=()
A.1;B.;C.0;D.2.
8.极限:
=()
A.0;B.;C;D.2.
9.极限:
=()
A.0;B.;C.2;D..
10.极限:
=()
A.0;B.;C.;D.16.
二.填空题
11.极限=.
12.=_______________.
13.若在点连续,则=_______________;
14.___________;
15._________________;
16.若函数,则它的间断点是___________________
17.绝对值函数
其定义域是,值域是
18.符号函数
其定义域是,值域是三个点的集合
19.无穷小量是
20.函数在点x0连续,要求函数y=f(x)满足的三个条件是
三.计算题
21.求
22.设f(e)=3x-2,求f(x)(其中x>0);
23.求(3-x);
24.求();
25.求
26.已知,求的值;
27.计算极限
28.求它的定义域。
29.判断下列函数是否为同一函数:
⑴ f(x)=sin2x+cos2xg(x)=1
⑵
⑶
⑷
⑸y=ax2s=at2
30.已知函数f(x)=x2-1,
求f(x+1)、f(f(x))、f(f(3)+2)
31.求
32.求
33.求
34.求
35.判断下列函数在指定点的是否存在极限
⑴⑵
36.
37.
38.
39.求当x→∞时,下列函数的极限
40.求当x→∞时,下列函数的极限41.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.研究函数在指定点的连续性
x0=0
49.指出下列函数在指定点是否间断,如果间断,指出是哪类间断点。
x=1
50.指出下列函数在指定点是否间断,如果间断,指出是哪类间断点。
,x=0
51.指出下列函数在指定点是否间断,如果间断,指出是哪类间断点。
,x=0
52.证明f(x)=x2是连续函数
53.
54.
55.试证方程2x3-3x2+2x-3=0在区间[1,2]至少有一根
56.
57.试证正弦函数y=sinx在(-∞,+∞)内连续。
58.函数f(x)=x=在点x=0处是否连续?
59.函数=是否在点连续?
60.求极限.
答案:
一.选择题
1.A【分析】本题可直接推证,但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.
【详解】方法一:
任一原函数可表示为,且
当F(x)为偶函数时,有,于是,即,也即,可见f(x)为奇函数;反过来,若f(x)为奇函数,则为偶函数,从而为偶函数,可见(A)为正确选项.
方法二:
令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,则取F(x)=,排除(D);故应选(A).
【评注】函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过.请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系?
2.D【分析】显然x=0,x=1为间断点,其分类主要考虑左右极限.
【详解】由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义,因此是间断点.
且,所以x=0为第二类间断点;
,,所以x=1为第一类间断点,故应选(D).
【评注】应特别注意:
,从而,
3C
4A
5C
6
7A
8
∵x→∞时,分母极限为令,不能直接用商的极限法则。
先恒等变形,将函数“有理化”:
原式=.(有理化法)
9D
10
解原式.▌
注等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限,不能在代数和的情形中使用。
如上例中若对分子的每项作等价替换,则
原式.
二.填空题
11.2
12.1
13.0
14.5
15.
16.
17.
18.
19.在某一极限过程中,以0为极限的变量,称为该极限过程中的无穷小量
20.①函数yf(x)在点x0有定义;
②x→x0时极限存在;
③极限值与函数值相等,即
三.计算题
21.【分析】型未定式,一般先通分,再用罗必塔法则.
【详解】=
==
22.(x)=3lnx+1x>0
23.
24.
25.
26.;
27.3
28.解:
由x+2≥0解得x≥-2
由x-1≠0解得x≠1
由5-2x>0解得x<2.5
函数的定义域为
{x|2.5>x≥-2且x≠1}或表示为(2.5,1)∪(1,-2)
29.⑴、⑸是同一函数,因为定义域和对应法则都相同,表示变量的字母可以不同。
⑵⑶不是同一函数,因为它们的定义域不相同。
⑷不是同一函数,因为它们对应的函数值不相同,即对应法则不同。
30.解:
f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x,
f(f(x))=f(x2-1)=(x2-1)2-1=x4-2x2
f(f(3)+2)=f(32-1+2)=f(10)=99
31.解:
32.解:
33.解:
34.解:
35.解:
⑴
因为,
所以函数在指定点的极限不存在。
⑵因为,
所以函数在指定点的极限
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.=
44.
45.
46.
47.
49.间断,函数在x=1处无定义且左右极限不存在,第二类间断点
50.间断,函数在x=0处左右极限不存在,第二类间断点
51.间断,但f(0)=1,两者不相等,第一类间断点
52.证明:
x0∈(-∞,+∞)
因为,f(x0)=x02
所以
因此,函数f(x)=x2是连续函数。
53.
54.
55.证明:
设f(x)=2x3-3x2+2x-3,
则f(x)在[1,2]上连续,f
(1)=-2<0,f
(2)=5>0
根据零点定理,必存在一点ξ∈(1,2)使f(ξ)=0,
则x=ξ就是方程的根。
56.原式
57.证x(-∞,+∞),任给x一个增量Δx,对应的有函数y的增量
Δy=sin(+Δx)-sinx=.
∵,由夹逼准则知,△y→0(Δx→0),再由x的任意性知正弦函数y=sinx在其定义域(-∞,+∞)上处处连续,即它是连续函数。
58.解注意f(x)是分段函数,且点两侧f表达式不一致。
解法1∵f(0-0)=,
f(0+0)=,∴.
又f(0)=0,∴函数f(x)=x在点x=0处连续(图1—19)。
解法2∵,∴函数在点左连续;
又∵,∴函数在点右连续,所以函数在点连续。
59.证虽然f是分段函数,但点x=0两侧函数表达式一致。
∵,
∴在点x=0处连续
60.解令ax–1=t,则x=loga(1+t),当x→0时,t→0,
∴原式.
特别地,,这表明x→0时,xex-1.
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- 高等数学 第一章 函数 极限 试题