常见分布的期望和方差Word格式.docx
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λ
U均匀分布)(b,a
11等?
(或fx)f(x)?
2?
ab?
r
a?
b2
2)(b?
a12
N正态分布)(2?
)(x?
1?
exf()?
0)?
x?
(?
2
?
2?
λE()指数分布
x?
xe?
0?
x)f(?
0?
0,x?
1?
12?
分布,22?
)(n
X,X,...X相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1)n212222?
X?
XX...?
n21.
n
2n
分布,)n(tt
X2)xY(n(0,1)NX?
tnY),YCov(X,
0
n2)?
n(2?
n
概率与数理统计重点摘要?
1。
、正态分布的计算:
)?
(X?
x)?
(Fx)?
P(?
的概率密是服从某种分布的随机变量,求2、随机变量函数的概率密度:
)Y?
f(XX72)。
度:
(参见P66~)'
(hyf(y)?
f(x)[h(y)]XY、分布函数具有以下基本性质:
3yx?
dudvv)f(xF(,y)?
u,?
y的非降函数;
⑴、是变量x,,对于任意固定的⑵、x,y有:
;
(F(?
y)?
)0?
F(x,y?
1Fx,右连续;
x右连续,关于y关于⑶、)y(x,F,有下述不等式成立:
⑷、对于任意的yyx,?
(x,y), ,(xy), x?
212121120)?
,y)?
F(xyx)(yF(x,)?
Fx,y?
F(12221211?
y1x:
的概函数率密度为:
布重4、一个要的分?
(Farctan)(?
(arctan?
)xy)?
3?
226?
xy)(?
yxf(,)F
222?
9)x(?
y?
y4)(、二维随机变量的边缘分布:
5.
f(x,yf(x)?
)dy边缘概率密度:
X?
dx)f(f(y)?
x,yY?
f(u,y[)dy]duF(x)?
F(x,?
二维正态分布的边缘分布为一边缘分布函数:
[y)?
F)dx]dv(?
F(y)f(x,vY?
维正态分布。
6、随机变量的独立性:
若则称随机变量X,Y相互独立。
简称X与)(yx,y)?
F(x)FF(YXY独立。
7、两个独立随机变量之和的概率密度:
其中Z=X?
dy)?
yf(y)f(z(ffx)f(z?
x))(z?
dx?
XZXYY?
Y
+8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布,即。
2222?
b?
Z?
aX?
bYN(aa?
b2121
9、期望的性质:
……(3)、(4)、若X,Y相互独立,则。
;
)Y()?
E?
Y)?
E)?
(XY)E(X)E(Y(XE(XE10、方差:
不相关,则Y,否则若。
X,22))XE((X)?
((DX)?
E)XD)?
(DXY?
()Y?
D(,),Y2Cov(X)?
D?
XY)?
(X)D(Y?
(YXCov?
YD)(?
YXD(?
)DX?
()2(,)D11X,此时称:
、协方差:
独立,则Y,X,若与))]Y(?
EY))(X(E?
X[(E?
)Y,X(Cov0?
)Y,X(Cov
不相关。
YCov(X,Y),存在线性关系时12、当且仅当相关系数:
X与Y,?
11?
XYXYXY?
)Y(X()))YD(D(Xb>
0;
1, 当?
且?
XY。
当b<
1,?
阶中心矩:
。
,13、k阶原点矩:
kkk?
]))(?
EX?
E(v?
EX[()Xkk)X)XD(D(。
贝努利大数定律:
、切比雪夫不等式:
14?
E(X)?
1P?
XE,或(PX)22?
m?
。
1?
plimP?
n0?
n?
n1以所律:
,因大布分序列的切比雪夫数定独15、立同?
P?
i2?
nn?
1i?
n1。
?
limPX?
in0n?
i16、独立同分布序列的中心极限定理:
n的分布近似于正充分大时,独立同分布的随机变量之和n
(1)、当?
XZ?
in1i?
态分布。
)n,n(N.
nnn11,
(2)、对于值,的平均有?
XX,X,...?
EX(X)?
X
n21iinnn1i?
nn1充分大时,,即独立同分布的随机变量的均值当n?
D(?
D(X)X)
i22nnn1i?
近似服从正态分布?
N()n。
(3)、由上可知:
(a?
(b)?
()?
limP?
aZZb?
bnn?
n发生次独立重复试验中事件Am17、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理:
设是n,
A发生的概率,则对任意的次数,p是事件x?
npm?
,其中?
)x?
limPx?
(p1?
q?
npq?
m近似服从正态分布,。
(1)、当n充分大时,)(Nnp?
npqpqmn近似服从正态分布,充分大时,。
(2)、当)p,(Nnn18、参数的矩估计和似然估计:
(参见P200)
19、正态总体参数的区间估计:
所估参.
条件
估计函数
置信区间
数
已?
知
xn?
u?
]?
u,x[x?
未?
ts
ss,x?
t((n?
1)n?
1)][x?
t?
未知?
2s?
1)(n2?
22s?
1)(n(n?
1)s][,22?
1)?
(n(n?
21
22?
21未知
)n?
y)?
(n(x?
2112?
tsn?
n21w22s?
1)
(1)s?
(n22211?
其中sw1n?
n21
11?
2)s()?
tn?
n(x?
w12nn21?
12?
?
1未知
22?
s11?
F22?
s22
2222ssss2121,[(F1)n?
1,n?
n(F1,?
20、关于正态总值均值及方差的假设检验,参见P243和P248。
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- 常见 分布 期望 方差