数学实验报告2文档格式.docx
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x
x(u,v)
y
y(u,v),u[umin,max],v
[vmin,vmax]
作参数方程z
z(u,v)
所确定的曲面图形的
Mathematica命令为:
ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,umin,umax},
{v,vmin,vmax},选项]
1
四、程序运行结果
2
0.75
0.5
0.25
-1
-0.5
-0.25
3
4
五、结果的讨论和分析
1、通过参数方程的方法做出的图形,可以比较完整的显示出空间中的
曲面和立体图形。
2、可以通过mathematica软件作出多重积分的积分区域,使积分能够较
直观的被观察。
3、从
(1)中的实验结果可以看出,所围成的立体图形是球面和圆柱面所
围成的立体空间。
4、从
(2)中的实验结果可以看出围成的立体图形的上面曲面的方程是
zzxy,下底面的方程是z=0,右边的平面是xy10。
(实验习题1-3)
观察二次曲面族zx2y2kxy的图形。
特别注意确定k的这样
一些值,当k经过这些值时,曲面从一种类型变成了另一种类型。
1.学会利用Mathematica软件绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲线图形的特点。
2.学会通过表达式辨别不同类型的曲线。
这里为了更好地分辨出曲线的类型,我们采用题目中曲线的参数
方程来画图,即zr2kr2costsint
输入代码:
ParametricPlot3D
5
[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2+k*r^2*Cos[t]*Sin[t]},
{t,0,2*Pi},{r,0,1},PlotPoints->
30]
式中k选择不同的值:
-4到4的整数带入。
k=4:
1-1
k=3:
1-1
k=2:
6
1.5
k=1:
k=0:
-10
k=-1:
7
k=-2:
k=-3:
k=-4:
8
k取不同值,得到不同的图形。
我们发现,当|k|<
2时,曲面为
椭圆抛物面;
当|k|=2时,曲面为抛物柱面;
当|k|>
2时,曲面为双曲
抛物面。
实验二无穷级数与函数逼近
(实验习题2-2)
改变例2中m及x0的数值来求函数的幂级数及观察其幂级数逼近函数
的情况。
1.利用Mathematica显示级数部分和的变化趋势。
2.学会如何利用幂级数的部分和对函数进行逼近以及函数值的近似计
算。
若函数f(x)(1x)m能展开成x-x0的幂级数(这里不验证),则根据函数
9
展开为幂级数的展开公式,其展开式为f(x)
f(n)(x0)(xx)n。
因此首
n0
n!
先定义f(x)的n阶导数的函数g(n,x0),最后再构成和式即得
f(x)的幂
级数展开式。
用Mathematica观察幂级数部分和逼近函数的情况。
m=–2,x0=2时
输入如下命令:
m=-2;
f[x_]:
=(1+x)^m;
x0=2;
g[n_,x0_]:
=D[f[x],{x,n}]/.xx0;
s[n_,x_]:
=Sum[g[k,x0]*(x-x0)^k,{k,0,n}];
k!
t=Table[s[n,x],{n,20}];
p1=Plot[Evaluate[t],{x,-1/2,1/2}];
p2=Plot[(1+x)^m,
{x,-1/2,1/2},PlotStyleRGBColor[0,0,1]];
Show[p1,p2]
从输出的图形观察f(x)展开的幂级数的部分和逼近函数f(x)的情况:
10
3.5
2.5
-0.4
-0.2
0.2
0.4
-0.4-0.20.20.4
从图中可以看到,当n越大时,幂级数越逼近函数。
(实验习题2-3)
观察函数f(x)
x,
x0展成的傅里叶级数的部分和逼近
1,0
f(x)的情况。
2.学会展示傅里叶级数对周期函数的逼近情况。
三、计算公式
f(x)可以展开成傅里叶级数:
a0
(ancosnxbnsinnx),其中
n1
11
ak
f(x)cos
kxdx(k
0,1,2,),bk
f(x)sin
0,1,2,)
四、程序设计
f[x_]:
=Which[-Pi<
=x<
0,-x,0<
Pi,1];
a[n_]:
=Integrate[-x*Cos[n*x],{x,-Pi,0}]/Pi+
Integrate[Cos[n*x],{x,0,Pi}]/Pi;
b[n_]:
=Integrate[-x*Sin[n*x],{x,-Pi,0}]/Pi+Integrate[Sin[n*x],{x,0,Pi}]/Pi;
s[x_,n_]:
=a[0]/2+Sum[a[k]*Cos[k*x]+b[k]*Sin[k*x],{k,1,n}];
g1=Plot[f[x],{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->
RGBColor[0,0,1],
DisplayFunction->
Identity];
m=18;
For[i=1,i<
=m,i+=2,
g2=Plot[Evaluate[s[x,i]],{x,-Pi,Pi},DisplayFunction->
Show[g1,g2,DisplayFunction->
$DisplayFunction]]
五、程序运行结果
-3-2-1123
12
13
14
六、结果的讨论和分析
从图表可以看出,n越大逼近函数的效果越好,还可以注意到傅里叶级数的逼近是整体性的。
15
实验三最小二乘法
(实验习题3-2)
一种合金在某种添加剂的不同浓度下进行实验,得到如下数据:
浓度x
10.0
15.0
20.0
25.0
30.0
抗压强度y
27.0
26.8
26.5
26.3
26.1
已知函数y与x的关系适合模型:
abxcx2,试用最小二
乘法确定系数a,b,c,并求出拟合曲线。
1.学会利用最小二乘法求拟合曲线。
2.学会画数据点的散点图及拟合函数的图形,并将两个图画在同
一坐标下。
n
根据最小二乘法,要求Q(a,b,c)[(abxicxi2)yi]2取最小
i1
值,令此函数对各个参数的偏导等于0,解n+1元的方程组便可求得这
些参数的最小二乘解。
x=Table[10.0+5.0*i,{i,0,4}];
y={27.0,26.8,26.5,26.3,26.1};
16
xy=Table[{x[[i]],y[[i]]},{i,1,5}];
q[a_,b_,c_]:
=Sum[(a+b*x[[i]]+c*x[[i]]^2-y[[i]])^2,{i,
1,5}]
NSolve[{D[q[a,b,c],a]==0,D[q[a,b,c],b]==0,
D[q[a,b,c],c]==0},{a,b,c}]
t1=ListPlot[xy,PlotStyle->
PointSize[0.02],
=27.56+-0.0574286*x+0.000285714*x^2;
t2=Plot[f[x],{x,5,35},AxesOrigin->
{5,25},DisplayFunction->
Show[t1,t2,DisplayFunction->
$DisplayFunction]
首先得到a,b,c三个值:
{{a->
27.56,b->
-0.0574286,c->
0.000285714}}
然后得到同一坐标系下的数据点散点图及拟合函数的图形:
17
27.2
27
26.6
26.4
26.2
5101520253035
观察a,b,c的值以及图像可以发现,二次方项的系数非常小,
而所得的图像也非常接近于直线。
(实验习题3-3)
在研究化学反应速度时,得到下列数据:
xi
yi
3691215182124
57.641.931.022.716.612.28.96.5
其中xi表示实验中作记录的时间,yi表示在相应时刻反应混合物中物质
的量,试根据这些数据建立经验公式。
2.学会由实际经验或相关的学科理论,能够提供拟合函数的可取
类型,通过适当的变量代换将拟合函数线性化,建立经验公式。
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在许多场合下,拟合函数不具有线性形式,但是由实际经验或相
关的学科理论,能够提供拟合函数的可取类型,而且可以通过适当的
变量代换将拟合函数线性化,同样可以建立经验公式。
模型yaebx可以用变量替换Ylny,Xx将函数化为线性函数:
YlnabX。
(1)生成数据并作图观察
t1={3,6,9,12,15,18,21,24};
y1={57.6,41.9,31.0,22.7,16.6,12.2,8.9,6.5};
data1=Transpose[{t1,y1}];
d2=ListPlot[data1,PlotStyle->
{RGBColor[0,0,1],PointSize[0.02
]}];
(2)确定回归函数的类型
logy=Log[y1];
data2=Transpose[{t1,logy}];
d3=ListPlot[data2,PlotStyle->
{RGBColor[0,0,1],
PointSize[0.02]}];
(3)对Lny数据进行最小二乘线性拟合
ly=Fit[data2,{1,x},x]
y=Exp[ly]//Factor
(4)绘图观察回归曲线的拟合效果
g=Plot[y,{x,1,25},
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PlotStyle->
RGBColor[1.000,0.000,0.502]];
Show[g,d2];
在实际应用中,可以根据实际背景、理论分析、型值点形态等因素选择适当的拟合曲线。
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