平面直角坐标系找规律解析Word文件下载.docx
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A7
(1)填写下列各点的坐标:
A4(
,
),A8(
),A10(
),A12(
);
(2)写出点A4n的坐标(n是正整数);
(3)按此移动规律,若点Am在x轴上,请用含n的代数式表示m(n是正整数)
(4)指出蚂蚁从点A2011到点A2012的移动方向.
(5)指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向.(6)指出A106,A201的的坐标及方向。
解法:
(1)由图可知,A4,A12,A8都在x轴上,
∵小蚂蚁每次移动1个单位,∴OA4=2,OA8=4,OA12=6,
∴A4(2,0),A8(4,0),A12(6,0);
同理可得出:
A10(5,1)
(2)根据
(1)OA4n=4n÷
2=2n,∴点A4n的坐标(2n,0);
(3)∵只有下标为4的倍数或比4n小1的数在x轴上,∴点Am在x轴上,用含n的代数式表示为:
m=4n或m=4n-1;
(4)∵2011÷
4=5023,
∴从点A2011到点A2012的移动方向与从点A3到A4的方向一致,为向右.
(5)点A100中的n正好是4的倍数,所以点A100和A101的坐标分别是A100(50,0)和A101(50,1),所以蚂蚁从点A100到A101的移动方向是从下向上。
(6)方法1:
点A1、A2、A3、A4每4个点,图形为一个循环周期。
设每个周期均由点A1,A2,A3,A4组成。
A1(0,1)
,A2(1,1)
,A3(1,0)
,A4(2,0)
A1(2,1)
,A2(3,1)
,A3(3,0)
,A4(4,0)
A1(4,1)
,A2(5,1)
,A3(5,0)
,A4(6,0)
A1(2n-2,1),A2(2n-1,1),A3(2n-1,0),A4(2n,0)
106÷
4=262,所以点A106坐标与第27周期点A2坐标相同,(2×
27-1,1),即(53,1)方
向朝下。
201÷
4=501,所以点A201坐标与第51周期点A1坐标相同,(2×
51-2,1),即(100,1)
方向朝右。
方法2:
由图示可知,在x轴上的点A的下标为奇数时,箭头朝下,下标为偶数时,箭头朝上。
106=104+2,即点A104再移动两个单位后到达点A106,A104的坐标为(52,0)且移动的方向朝上,所以A106的坐标为(53,1),方向朝下。
同理:
201=200+1,即点A200再移动一个单位后到达点A201,A200的坐标为(100,0)且移动的方向朝上,所以A201的坐标为(100,1),方向朝右。
3、一只跳蚤在第一象限及
x轴、y轴上跳动,在第一秒钟,它从原点跳动到
(0,1),然
后接着按图中箭头所示方向跳动
[即(0,0)→(0,1)
→(1,1)
→(1,0)→],且每秒跳
动一个单位,那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是多少?
第42、49、2011秒所在点的坐标及方向?
到达(1,1)点需要2秒
到达(2,2)点需要2+4秒
到达(3,3)点需要2+4+6秒
到达(n,n)点需要2+4+6+...+2n秒=n(n+1)秒
当横坐标为奇数时,箭头朝下,再指向右,当横坐标为偶数时,箭头朝上,再指向左。
35=5×
6+5,所以第5*6=30秒在(5,5)处,此后要指向下方,再过5秒正好到(5,0)
即第35秒在(5,0)处,方向向右。
42=6×
7,所以第6×
7=42秒在(6,6)处,方向向左
49=6×
7+7,所以第6×
7=42秒在(6,6)处,再向左移动6秒,向上移动一秒到(0,7)
即第49秒在(0,7)处,方向向右
根据图形可以找到如下规律,当
2
秒处在(0,n)处,且方向指向
n为奇数是n
右;
当n为偶数时n秒处在(n,0)处,且方向指向上。
5,0),即第35
秒处的坐标为
35=6-1,即点(6,0)倒退一秒到达所得点的坐标为(
(5,0)方向向右。
用同样的方法可以得到第
42、49、2011处的坐标及方向。
4、如图,所有正方形的中心均在坐标原点,且各边与
x轴或
y轴平行.从内到外,它们
的边长依次为
2,4,6,8,,顶点依次用
A1,A2,A3,A4,表示,顶点
A55的坐标是(
)
观察图象,每四个点一圈进行循环,根据点的脚标与坐标寻找规律。
观察图象,点A1、A2、A3、A4每4个点,图形为一个循环周期。
A1(-1,-1)
,A2(-1,1)
,A3(1,1)
,A4(1,-1)
A1(-2,-2)
,A2(-2,2)
,A3(2,2)
,A4(2,-2)
A1(-3,-3)
,A2(-3,3)
,A3(3,3)
,A4(3,-3)
A1(-n,-n)
,A2(-n,n)
,A3(n,n)
,A4(n,-n)
∵55÷
4=133,∴A55坐标与第14周期点A3坐标相同,(14,14),在同一象限解法2:
∵55=4×
13+3,∴A55与A3在同一象限,即都在第一象限,
根据题中图形中的规律可得:
3=4×
1-1,A3的坐标为(1,1),7=4×
2-1,A7的坐标为(2,2),
11=4×
3-1,A11的坐标为(3,3);
55=4×
14-1,A55(14,14)
5、在平面直角坐标系中,对于平面内任一点(m,n),规定以下两种变换:
(1)f(m,n)=(m,﹣n),如f(2,1)=(2,﹣1);
(2)g(m,n)=(﹣m,﹣n),如g(2,1)=(﹣2,﹣1).
按照以上变换有:
f[g(3,4)]=f(﹣3,﹣4)=(﹣3,4),那么g[f(﹣3,2)]等于()
解:
∵f(﹣3,2)=(﹣3,﹣2),∴g[f(﹣3,2)]=g(﹣3,﹣2)=(3,2),6、在平面直角坐标系中,对于平面内任一点(a,b),若规定以下三种变换:
1、f(a,b)=(﹣a,b).如:
f(1,3)=(﹣1,3);
2、g(a,b)=(b,a).如:
g(1,3)=(3,1);
3、h(a,b)=(﹣a,﹣b).如:
h(1,3)=(﹣1,﹣3).
f(g(2,﹣3))=f(-3,2)=(3,2),那么f(h(5,-3))等于()(5,3)
7、一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动,第一次跳动到OM的中点M3处,第二次从M3跳到OM3的中点M2处,第三次从点M2跳到OM2的中点M1处,如此不断跳动下
去,则第n次跳动后,该质点到原点O的距离为()
由于OM=1,所有第一次跳动到OM的中点M3处时,OM3=OM=,同理第二次从M3
点跳动到M2处,即在离原点的2处,同理跳动n次后,即跳到了离原点的处
8、如图,在平面直角坐标系中,有若干个横坐标分别为整数的点,其顺序按图中“→”
方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,2),(2,2)根据这个
规律,第2012个点的横坐标为(
)45.
根据图形,以最外边的矩形边长上的点为准,点的总个数等于
x轴上横坐标的平方,
例如:
右下角的点的横坐标为1,共有1个,1=12,
右下角的点的横坐标为
时,共有4个,4=22,
3
时,共有9个,9=32,
4
时,共有16
个,16=42,
n时,共有n2
个,
∵452=2025,45是奇数,∴第2025个点是(45,0),第2012个点是(45,13),9、(2007?
遂宁)如图,在平面直角坐标系中,有若干个整数点,其顺序按图中“→”
方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(3,2),(3,1),(3,0)根据这个规律探究可得,第88个点的坐标为().
由图形可知:
点的横坐标是偶数时,箭头朝上,点的横坐标是奇数时,箭头朝下。
坐标系中的点有规律的按列排列,第1列有1个点,第2列有2个点,第3列有3个点第n列有n个点。
∵1+2+3+4++12=78,∴第78个点在第12列上,箭头常上。
∵88=78+10,∴从第78个点开始再经过10个点,就是第88个点的坐标在第13列上,坐标为(13,13-10),即第88个点的坐标是(13,3)
10、如图,已知Al(1,0),A2(1,1),A3(﹣1,1),A4(﹣1,﹣1),A5(2,
﹣1),.则点A2007的坐标为().
第1
周期点的坐标为:
A1(1,0)
A2(1,1)
,A3(-1,1)
,A4(-1,-1)
第2
A1(2,-1)
A2(2,2)
,A3(-2,2)
,A4(-2,-2)
第3
A1(3,-2)
A2(3,3)
,A3(-3,3)
,A4(-3,-3)
A1(n,-(n-1))
,A2(n,n)
,A3(-n,n)
,A4(-n,-n)
因为2007÷
4=5013,所以A2007的坐标与第502周期的点A3的坐标相同,即(-502,502)解法2:
由图形以可知各个点(除A1点和第四象限内的点外)都位于象限的角平分线上,
位于第一象限点的坐标依次为A2(1,1)A6(2,2)A10(3,3)A4n﹣2(n,n)。
因为第一象限角平分线的点对应的字母的下标是2,6,10,14,即4n﹣2(n是自然数,
n是点的横坐标的绝对值);
同理第二象限内点的下标是4n﹣1(n是自然数,n是点的横坐标的绝对值);
第三象限是4n(n是自然数,n是点的横坐标的绝对值);
第四象限是1+4n(n是自然数,n是点的横坐标的绝对值);
4=5013,所以A2007位于第二象限。
2007=4n﹣1则n=502,
故点A2007在第二象限的角平分线上,即坐标为(﹣502,502).
11、如图,一个机器人从O点出发,向正东方向走3米到达A1点,再向正北方向走6米
到达A2点,再向正西方向走9米到达A3点,再向正南方向走12米到达A4点,再向正东方
向走15米到达A5点、按如此规律走下去,当机器人走到A6,A108点D的坐标各是多少。
观察图象,点A1、A2、A3、A4每4个点,图形为一个循环周期。
A1(3,0)
A2(3,6)
,A3(-6,6)
,A4(-6,-6)
A1(9,-6)
A2(9,12)
,A3(-12,12)
,A4(-12,-12)
A1(15,-12)
A2(15,18)
,A3(-18,18)
,A4(-18,-18)
A1(6n-3,-(6n-6)),A2(6n-3,6n),A3(-6n,6n),A4(-6n,-6n)
因为6÷
4=12,所以A6的坐标,与第2周期的点A2的坐标相同,即(9,12)
因为108÷
4=27,所以A108的坐标与第27周期的点A4的坐标相同,(-6×
27,-6×
27)解法2:
根据题意可知,A1A2=3,A2A3=6,A3A4=8,A4A5=15,当机器人走到A6点时,A5A6=18
米,点A6的坐标是(9,12);
12、(2013?
兰州)如图,在直角坐标系中,已知点A(﹣3,0)、B(0,4),对△OAB
连续作旋转变换,依次得到△1、△2、△3、△4,则△2013的直角顶点的坐标为().
∵点A(﹣3,0)、B(0,4),∴AB==5,
由图可知,每三个三角形为一个循环组依次循环,一个循环组前进的长度为:
4+5+3=12,
∵2013÷
3=671,∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点,
∵671×
12=8052,∴△2013的直角顶点的坐标为(8052,0).
12.(2013?
聊城)如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,按向上,向右,向下,向右的方向不断地移动,每移动一个单位,得到点A1(0,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(2,0),那么点A4n+1(n为自然数)的坐标为()
由图可知,n=1时,4×
1+1=5,点A5(2,1),n=2时,4×
2+1=9,点A9(4,1),
n=3时,4×
3+1=13,点A13(6,1),所以,点A4n+1(2n,1).
13.(2013?
湛江)如图,所有正三角形的一边平行于x轴,一顶点在y轴上.从内到外,它们的边长依次为2,4,6,8,,顶点依次用A1、A2、A3、A4表示,其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、均相距一个单位,求点A3和A92的坐标分别是多少,.
观察图象,点A1、A2、A3、每3个点,图形为一个循环周期。
根据计算A3的坐标是(0,﹣1)
设每个周期均由点A1,A2,A3,组成。
,A2(1,-1)
,A3(0,
﹣1)
,A2(2,-2)
,A2(3,-3)
+1)
,A2(n,-n)
+n-2),
因为3÷
3=1,所以A3的坐标与第1周期的点A3的坐标相同,即(0,﹣1)
因为92÷
3=302,所以A92的坐标与第31周期的点A2的坐标相同,即(31,-31)
∵△A1A2A3的边长为2,∴△A1A2A3的高线为2×
=,
∵A1A2与x轴相距1个单位,∴A3O=﹣1,∴A3的坐标是(0,﹣1);
∵92÷
3=302,∴A92是第31个等边三角形的初中第四象限的顶点,第31个等边三角形边长为2×
31=62,
∴点A92的横坐标为×
62=31,∵边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、均相距一个单位,∴点A92的纵坐标为﹣31,∴点A92的坐标为(31,﹣31).
14、如图是某同学在课外设计的一款软件,蓝精灵从O点第一跳落到A1(1,0),第二
跳落到A2(1,2),第三跳落到A3(4,2),第四跳落到A4(4,6),第五跳落到A5___.到
达A2n后,要向____方向跳____个单位落到A2n+1.
∵蓝精灵从O点第一跳落到A1(1,0),第二跳落到A2(1,2),第三跳落到
A3(4,2),第四跳落到A4(4,6),
∴蓝精灵先向右跳动,再向上跳动,每次跳动距离为次数+1,即可得出:
第五跳落到A5(9,6),到达A2n后,要向右方向跳(2n+1)个单位落到A2n+1.
17.(2012?
莱芜)将正方形ABCD的各边按如图所示延长,从射线AB开始,分别在各射
线上标记点A1、A2、A3、,按此规律,点A2012在那条射线上.
如图所示:
AB
A1
A3
A12
A17
A19
A26
A28
CD
A4
A11
A18
A20
A25
A27
BC
A14
A16
A21
A23
A30
A32
DA
A13
A15
A22
A24
A29
A31
根据表格中点的排列规律,可以得到点的坐标是每16个点排列的位置一循环,因为2012=16×
125+12,所以点A2012所在的射线和点A12所在的直线一样.
因为点A2012所在的射线是射线AB,所以点A2012在射线AB上,故答案为:
AB.
18、(2011?
钦州)如图,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(1,1),第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(3,2),,
按这样的运动规律,经过第2011次运动后,动点P的坐标是_________.
观察图象,每4个点,图形为一个循环周期。
P1(1,1)
P2(2,0)
P3(3,2)
,P4(4,0)
P1(5,1)
P2(6,0)
P3(7,2)
,P4(8,0)
P1(9,1)
P2(10,0)
P3(11,2)
,P4(12,0)
P1(4n-3,1)
,P2(4n-2,0)
,P3(4n-1,2),P4(4n,0)
因为2011÷
4=5023,所以P2011的坐标与第503周期的点P3的坐标相同(503×
4-1,
2),
即(2011,2)
解法
2、根据动点
P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第
1次从原点运动
到点(1,1),第
2次接着运动到点(
2,0),第
3次接着运动到点(
3,2),
∴第
4次运动到点(
4,0),第
5次接着运动到点(
5,1),,
∴横坐标为运动次数,经过第2011次运动后,动点P的横坐标为2011,纵坐标为1,0,
2,0,每4次一轮,
∴经过第2011次运动后,动点P的纵坐标为:
2011÷
4=502余3,故纵坐标为四个数中
第三个,即为2,∴经过第2011次运动后,动点P的坐标是:
(2011,2)
19、将正整数按如图所示的规律排列下去.若用有序实数对(
到右第m个数,如(4,3)表示实数9,则(7,2)表示的实数是
n,m)表示第_________
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