届苏教版理科数学 不等式选讲 单元测试.docx
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届苏教版理科数学不等式选讲单元测试
第一节绝对值不等式
1.绝对值不等式
性质1:
|a|+|b|≥|a+b|.
性质2:
|a|-|b|≤|a+b|.
性质3:
|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.
2.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值不等式|x|a的解法:
不等式
a>0
a=0
a<0
|x| ∅ ∅ |x|>a (2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法: ①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c; ②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c. (3)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法: ①利用绝对值不等式的几何意义求解. ②利用零点分段法求解. ③构造函数,利用函数的图象求解. [小题体验] 1.若不等式|x-4|≤2的解集为,则实数=________. 解析: 由|x-4|≤2⇔2≤x≤6. 因为不等式的解集为, 所以=2. 答案: 2 2.函数y=|x-4|+|x+4|的最小值为________. 解析: 因为|x-4|+|x+4|≥|(x-4)-(x+4)|=8, 即函数y的最小值为8. 答案: 8 3.不等式|x+1|-|x-2|≥1的解集是________. 解析: f(x)=|x+1|-|x-2|= 当-1 又当x≥2时,f(x)=3>1恒成立. 所以不等式的解集为. 答案: 1.对形如|f(x)|>a或|f(x)| 2.绝对值不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|中易忽视等号成立的条件.如|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≤0时等号成立,其他类似推导. [小题纠偏] 1.(2018·苏州暑假测试)不等式x+|2x+3|≥2的解集为________. 解析: 因为x+|2x+3|≥2,所以|2x+3|≥2-x, 所以2x+3≥2-x或2x+3≤-(2-x), 解得x≥-或x≤-5, 所以不等式的解集是xx≥-或x≤-5. 答案: xx≥-或x≤-5 2.若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是________. 解析: 因为|x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|=|a-1|, 要使|x-a|+|x-1|≤3有解,可使|a-1|≤3, 所以-3≤a-1≤3,所以-2≤a≤4. 答案: [-2,4] [题组练透] 1.在实数范围内,解不等式|2x-1|+|2x+1|≤6. 解: 法一: 当x>时,原不等式转化为4x≤6⇒ 当-≤x≤时,原不等式转化为2≤6,恒成立; 当x<-时,原不等式转化为-4x≤6⇒-≤x<-. 综上知,原不等式的解集为. 法二: 原不等式可化为+≤3, 其几何意义为数轴上到,-两点的距离之和不超过3的点的集合,数形结合知,当x=或x=-时,到,-两点的距离之和恰好为3,故当-≤x≤时,满足题意,则原不等式的解集为. 2.(2018·南京高三年级学情调研)解不等式: |x-2|+|x+1|≥5. 解: 当x<-1时,不等式可化为-x+2-x-1≥5,解得x≤-2; 当-1≤x≤2时,不等式可化为-x+2+x+1≥5,此时不等式无解; 当x>2时,不等式可化为x-2+x+1≥5,解得x≥3, 所以原不等式的解集为(-∞,-2]∪[3,+∞). 3.(2018·南京学情调研)解不等式|x-1|+2|x|≤4x. 解: 原不等式等价于 或或 解得x∈∅; 解得≤x≤1; 解得x>1. 所以原不等式的解集为. [谨记通法] 解绝对值不等式的基本方法 (1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式; (2)当不等式两端均为正号时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对值符号的普通不等式; (3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解. [典例引领] 1.(2018·苏州测试)已知a≥2,x∈R,求证: |x-1+a|+|x-a|≥3. 证明: 因为|x-1+a|+|x-a|≥|x-1+a-(x-a)|=|2a-1|, 又a≥2,故|2a-1|≥3. 所以|x-1+a|+|x-a|≥3. 2.若对于实数x,y有|1-x|≤2,|y+1|≤1,求|2x+3y+1|的最大值. 解: 因为|2x+3y+1|=|2(x-1)+3(y+1)| ≤2|x-1|+3|y+1|≤7, 所以|2x+3y+1|的最大值为7. [由题悟法] (1)绝对值三角不等式定理|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中等号成立的条件要特别注意,特别是用此定理求最值及进行不等式放缩时. (2)定理可推广: ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. [即时应用] 已知x,y∈R,且|x+y|≤,|x-y|≤, 求证: |x+5y|≤1. 证明: 因为|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|. 所以由绝对值不等式的性质,得 |x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|≤|3(x+y)|+|2(x-y)|=3|x+y|+2|x-y|≤3×+2×=1.即|x+5y|≤1. [典例引领] (2018·苏州期末)设函数f(x)=+|x-a|(a>0). (1)证明: f(x)≥2; (2)若f(3)<5,求实数a的取值范围. 解: (1)证明: 因为a>0, 所以f(x)=+|x-a|≥=+a≥2.当且仅当a=1时等号成立. (2)因为f(3)<5,所以3++|3-a|<5, 即+|a-3|<2. 所以或 即或 解得 所以正实数a的取值范围是. [由题悟法] (1)研究含有绝对值的函数问题时,根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号,将原函数转化为分段函数,然后利用数形结合解决问题,这是常用的思想方法. (2)f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a. f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a. [即时应用] (2018·宿迁调研)设函数f(x)=|x+2|+|x-a|(a∈R). (1)若不等式f(x)+a≥0恒成立,求实数a的取值范围; (2)若不等式f(x)≥x恒成立,求实数a的取值范围. 解: (1)当a≥0时,f(x)+a≥0恒成立, 当a<0时,要保证f(x)≥-a恒成立, 即f(x)的最小值|a+2|≥-a, 解得-1≤a<0,故a≥-1. 所以实数a的取值范围为[-1,+∞). (2)由题意可知,函数y=f(x)的图象恒在直线y=x的上方,画出两个函数图象可知,当a≤-2时,符合题意,当a>-2时,只需满足点(a,a+2)不在点的下方即可,所以a+2≥a,即-2<a≤4. 综上,实数a的取值范围是(-∞,4]. 1.已知|2x-3|≤1的解集为[m,n]. (1)求m+n的值; (2)若|x-a|<m,求证: |x|<|a|+1. 解: (1)不等式|2x-3|≤1可化为-1≤2x-3≤1, 解得1≤x≤2,所以m=1,n=2,m+n=3. (2)证明: 若|x-a|<1,则|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|<|a|+1.即|x|<|a|+1. 2.(2018·苏北四市一模)设c>0,|x-1|<,|y-1|<,求证: |2x+y-3|<c. 证明: 因为|x-1|<,|y-1|<, 所以|2x+y-3|=|2x-2+y-1|≤|2x-2|+|y-1|<+=c, 故|2x+y-3|<c. 3.若关于x的不等式|x+1|-|x-2| 解: 因为||x+1|-|x-2||≤|(x+1)-(x-2)|=3, 所以-3≤|x+1|-|x-2|≤3. 由不等式a2-4a>|x+1|-|x-2|有实数解, 知a2-4a>-3,解得a>3或a<1, 所以实数a的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞). 4.已知函数f(x)=|x-a|. (1)若f(x)≤m的解集为,求实数a,m的值; (2)当a=2且0≤t<2时,解关于x的不等式f(x)+t≥f(x+2). 解: (1)因为|x-a|≤m,所以-m+a≤x≤m+a. 因为-m+a=-1,m+a=5, 所以a=2,m=3. (2)f(x)+t≥f(x+2)可化为|x-2|+t≥|x|. ①当x∈(-∞,0)时,2-x+t≥-x,2+t≥0, 因为0≤t<2,所以x∈(-∞,0); ②当x∈[0,2)时,2-x+t≥x,x≤1+,0≤x≤1+, 因为1≤1+<2,所以0≤x≤1+; ③当x∈[2,+∞)时,x-2+t≥x,t≥2,当0≤t<2时,无解. 综上,当0≤t<2时,所求不等式的解集为. 5.设函数f(x)=|x-1|+|x-2|. (1)求证: f(x)≥1; (2)若f(x)=成立,求x的取值范围. 解: (1)证明: f(x)=|x-1|+|x-2|≥|(x-1)-(x-2)|=1. (2)因为==+≥2, 当且仅当a=0时等号成立, 所以要使f(x)=成立,只需|x-1|+|x-2|≥2, 即或或 解得x≤或x≥, 故x的取值范围是∪. 6.(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集; (2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围. 解: (1)f(x)= 当x<-1时,f(x)≥1无解; 当-1≤x≤2时,由f(x)≥1,得2x-1≥1,解得1≤x≤2; 当x>2时,由f(x)≥1,解得x>2. 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}. (2)由f(x)≥x2-x+m,得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x. 而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-2+≤, 当且仅当x=时,|x+1|-|x-2|-x2+x=. 故m的取值范围为. 7.设函数f(x)=|2x-1|-|x+2|. (1)解不等式f(x)>0; (2)若∃x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,求实数m的取值范围. 解: (1)不等式f(x)>0,即|2x-1|>|x+2|, 即4x2-4x+1>x2+4x+4, 3x2-8x-3>0,解得x<-或x>3, 所以不等式f(x)>0的解集为. (2)f(x)=|2x-1|-|x+2|= 故f(x)的最小值为f=-. 因为∃x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m, 所以4m-2m2>-, 解得-<m<. 故实数m的取值范围为. 8.已知函数f(x)=|3x+2|. (1)解不等式f(x)<4-|x-1|; (2)已知m+n=1(m,n>0),若|x-a|-f(x)≤+(a>0)恒成立,求实数a的取值范围. 解: (1)不等式f(x)<4-|x-1|,即|3x+2|+|x-1|<4. 当x<-时,即-3x-2-x+1<4, 解得- 当-≤x≤1时,即3x+2-x+1<4, 解得-≤x<; 当x>1时,即3x+2+x-1<4,无解. 综上所述,x∈. (2)由题意,+=(m+n)=1+1++≥4, 当且仅当m=n=时等号成立. 令g(x)=|x-a|-f(x)=|x-a|-|3x+2|= 所以x=-时,g(x)max=+a,要使不等式恒成立, 只需g(x)max=+a≤4,即0 所以实数a的取值范围是. 第二节不等式的证明 1.基本不等式 (1)定理: 如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立
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