河北省石家庄二中届高三下学期第三次模拟考试数学理试题.docx
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河北省石家庄二中届高三下学期第三次模拟考试数学理试题
河北省石家庄二中2021年高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.已知全集,集合,则()
A.B.
C.D.
2.若复数是虚数单位),则复数在复平面内对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
3.某校为了解1000名高一新生的身体生长状况,用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查,将学生从进行编号,现已知第18组抽取的号码为443,则第一组用简单随机抽样抽取的号码为()
A.16B.17C.18D.19
4.正项等比数列中,,则的前项和()
A.B.C.D.
5.已知函数,若,则()
A.B.C.D.
6.斐波那契数列是数学史上一个著名的数列,定义如下:
,某同学设计了一个求解斐波那契数列前项和的程序框图,那么在判断框内应分别填入的语句是()
A.B.C.D.
7.函数()的部分图象如图所示,其中两点之间的距离为5,则的递增区间是()
A.B.
C.D.
8.在—次实验中,同时抛掷枚均匀的硬币次,设枚硬币正好出现枚正面向上,枚反面向上的次数为,则的方差是()
A.B.C.D.
9.是展开式的常数项为()
A.B.C.D.
10.已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体最长的棱长度为()
A.B.C.D.
11.已知双曲线的渐近线方程为,左右焦点分别为为双曲线的一条渐近线上某一点,且,则双曲线的焦距为()
A.B.C.D.
12.已知函数,则函数的零点个数是个时,下列选项是的取值范围的子集的是()
A.B.
C.D.
二、填空题
13.的值等于________.
14.已知变量满足约束条件,则的最小值为__________.
15.已知为所在平面上一点,且,则的最小值为__________.
16.如图所示的“数阵”的特点是:
毎行每列都成等差数列,则数字在图中出现的次数为__________.
三、解答题
17.如图,在中,角的对边分别为,.
(1)求角的大小;
(2)若为外一点,,求四边形面积的最大值.
18.如图,以为顶点的六面体中,和均为等边三角形,且平面平面,平面,,.
(1)求证:
平面;
(2)求此六面体的体积.
19.近代统计学的发展起源于二十世纪初,它是在概率论的基础上发展起来的,统计性质的工作可以追溯到远古的“结绳记事”和《二十四史》中大量的关于我人口、钱粮、水文、天文、地震等资料的记录.近几年,雾霾来袭,对某市该年11月份的天气情况进行统计,结果如下:
表一
日期
天气
晴
霾
霾
阴
霾
霾
阴
霾
霾
霾
阴
晴
霾
霾
霾
日期
天气
霾
霾
霾
阴
晴
霾
霾
晴
霾
晴
霾
霾
霾
晴
霾
由于此种情况某市政府为减少雾霾于次年采取了全年限行的政策.
下表是一个调查机构对比以上两年11月份(该年不限行天、次年限行天共天)的调查结果:
表二
不限行
限行
总计
没有雾霾
有雾霾
总计
(1)请由表一数据求,并求在该年11月份任取一天,估计该市是晴天的概率;
(2)请用统计学原理计算若没有的把握认为雾霾与限行有关系,则限行时有多少天没有雾霾?
(由于不能使用计算器,所以表中数据使用时四舍五入取整数)
20.已知椭圆的离心率,左右焦点分别为是椭圆在第一象限上的一个动点,圆与的延长线,的延长线以及线段都相切,为一个切点.
(1)求椭圆方程;
(2)设,过且不垂直于坐标轴的动点直线交椭圆于两点,若以为邻边的平行四边形是菱形,求直线的方程.
21.已知函数.
(1)若函数的图象有平行于坐标轴的公切线,求的值;
(2)若关于的不等式的解集中有且只有两个整数,求的取值范围.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系中,椭圆的方程为,若以直角坐标系的原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和椭圆的参数方程;
(2)已知分别为两曲线上的动点,求的最大值.
23.选修4-5:
不等式讲
已知不等式.
(1)已知,求不等式的解集;
(2)已知不等式的解集为,求的范围.
参考答案
1.B
【解析】
选B.
2.B
【解析】
对应点为,在第二象限,选B.
点睛:
本题重点考查复数的基本运算和复数的概念,属于基本题.首先对于复数的四则运算,要切实掌握其运算技巧和常规思路,如.其次要熟悉复数相关基本概念,如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为
3.C
【解析】
试题分析:
第一组用简单随机抽样抽取的号码为,选C.
考点:
系统抽样法
4.B
【解析】
由题意得,选B.
点睛:
1.在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度.
2.等比数列的性质可以分为三类:
一是通项公式的变形,二是等比中项的变形,三是前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
5.A
【解析】
当时,(舍);当时,,选A.
6.B
【解析】
第一次循环:
,应进行循环(此时为前3项和),所以去掉A,D;直至结束循环,即,选B.
7.B
【解析】
试题分析:
由勾股定理可得,点的横坐标为-1,所以周期.将点的坐标代入得:
.由得:
,所以选B.
考点:
正弦型函数的图象及其单调性.
8.A
【解析】
抛掷枚均匀的硬币次,正好出现枚正面向上,枚反面向上的概率为,因为,所以的方差是,选A.
9.B
【解析】
展开式的常数项为,选B.
点睛:
求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项,再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第项,由特定项得出值,最后求出其参数.
10.D
【解析】
几何体为如图四面体ABCD,其中最长的棱长AC为正方体对角线,选D.
11.B
【解析】
由题意得,选B.
12.A
【解析】
当时,,当时,,令则,显然是一个零点,当与相切时,;直线过点时;直线与必有一个交点
当时,的根有三个,而对应的解有1,3,3个,不满足,所以舍去B;当时,的根有两个,而对应的解有1,3个,满足条件;当时,的根有三个,而对应的解有1,2,3个,不满足,所以舍去D;当时,的根可能四个,而对应的解有1,0,3,2个,不满足,所以舍去C;综上选A.
点睛:
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.
13.
【解析】
试题分析:
其中表示半径为的圆的面积的,,,因此原式等于,故填.
考点:
定积分的计算.
14.
【解析】
可行域为一个三角形ABC及其内部,其中,而表示可行域内点P到定点距离的平方减去2,所以最小值为
点睛:
线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
15.
【解析】
由题意得为重心,所以
即的最小值为
16.
【解析】
共9个
17.
(1)
(2)
【解析】
试题分析:
(1)先根据正弦定理将条件转化为角的关系再利用三角形内角关系、诱导公式及两角和正弦公式化简得即得,.
(2),由余弦定理得,将数据代入可得,利用配角公式得,最后根据三角形有界性可得四边形的面积最大值。
试题解析:
解:
(1)在中,.有,,则,即,则.
(2)在中,,又,
则为等腰直角三角形,,又,,
当时,四边形的面积最大值,最大值为.
18.
(1)证明见解析;
(2)2.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)作,交于,连结,根据条件证明四边形是平行四边形;(Ⅱ)将此六面体分成两个三棱锥的体积和,根据(Ⅰ)的结果可知点到平面的距离是,点到平面的距离是,这样求体积和.
试题解析:
(Ⅰ)作,交于,连结.
因为平面平面,
所以平面,
又因为平面,
从而.
因为是边长为2的等边三角形,
所以,
因此,
于是四边形为平行四边形,
所以,
因此平面.
(Ⅱ)因为是等边三角形,
所以是中点,
而是等边三角形,
因此,
由平面,知,
从而平面,
又因为,
所以平面,
因此四面体的体积为,
四面体的体积为,
而六面体的体积=四面体的体积+四面体的体积
故所求六面体的体积为2
19.
(1)
(2)
【解析】
试题分析:
(1)统计没有雾霾天数为,有雾霾天数为,晴天天数为6,根据古典概型概率公式求概率,
(2)设限行时天没有雾霾,代入卡方公式求,再由于没有的把握可得,化简可得一元二次不等式,解得
试题解析:
解:
(1).
(2)设限行时天没有雾霾,则有雾霾为天,代入公式
化简为:
,.
20.
(1)
(2)
【解析】
试题分析:
(1)圆为三角形内切圆,由内切圆性质及椭圆定义得,即,再由,可知
(2)以为邻边的平行四边形是菱形,所以设,方程为则可得坐标之间关系,利用直线方程与椭圆方程联立方程组,结合韦达定理代入坐标关系化简可得
试题解析:
解:
(1)设圆与的延长线切于点,与线段切于点,则
,,故,由,可知,椭圆方程为.
(2)设方程为,代入椭圆方程可得,设,则,以为邻边的平行四边形是菱形,,的方向向量为,,方程为.
21.
(1)
(2)
【解析】
试题分析:
(1)由导数几何意义得求得切点横坐标:
得.
(2)先变量分离,转化为研究函数单调性:
在上单调递减,单调递增.结合图像可得.
试题解析:
解:
(1)由题知,即,当,即是的极值点,所以公切线的斜率为,所以,可得.
(2)等价于,令,则,令,则,即在上单调递减,单调递增.恒成立,所以在上单调递减,单调递增.,因为解集中有且只有两个整数.
点睛:
涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题,一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况,归根到底还是研究函数的性质,如单调性、极值,然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
22.
(1),为参数)
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- 河北省 石家庄 二中届高三 下学 第三次 模拟考试 学理 试题