高考数学专题06三角恒等变换与解三角形教学案理.docx

高考数学专题06三角恒等变换与解三角形教学案理.docx

《高考数学专题06三角恒等变换与解三角形教学案理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学专题06三角恒等变换与解三角形教学案理.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考数学专题06三角恒等变换与解三角形教学案理

专题6三角恒等变换与解三角形

【2018年高考考纲解读】

高考对本内容的考查主要有：

（1）两角和（差）的正弦、余弦及正切是C级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用．

（2）正弦定理、余弦定理及其应用，要求是B级，能够应用定理实现三角形中边和角的转化，以及应用定理解决实际问题．

试题类型一般是填空题，同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查，构成中档题.

【重点、难点剖析】

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

（1）sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ.

（2）cos（α±β）＝cosαcosβ∓sinαsinβ.

（3）tan（α±β）＝.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

（1）sin2α＝2sinαcosα.

（2）cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

（3）tan2α＝.

3．正弦定理

＝＝＝2R（2R为△ABC外接圆的直径）．

变形：

a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.

sinA＝，sinB＝，sinC＝.

a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.

4．余弦定理

a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，

c2＝a2＋b2－2abcosC.

推论：

cosA＝，cosB＝，

cosC＝.

5．三角形面积公式

S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC.

6．三角恒等变换的基本思路

（1）“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．如1＝cos2θ＋sin2θ＝tan45°等．

“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．

（2）角的变换是三角变换的核心，如β＝（α＋β）－α，2α＝（α＋β）＋（α－β），＝－等．

7．解三角形的四种类型及求解方法

（1）已知两角及一边，利用正弦定理求解．

（2）已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．

（3）已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．

（4）已知三边，利用余弦定理求解．

8．利用解三角形的知识解决实际问题的思路

把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中，通过解这样的三角形即可求出实际问题的答案．注意要检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，从而得出正确结果.

【题型示例】

题型1、三角变换及应用

【例1】【2017山东，理9】在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是

（A）（B）（C）（D）

【答案】A

【解析】

所以，选A.

【变式探究】

（1）（2016·高考全国乙卷）已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.

解析：

基本法：

将θ－转化为－.

由题意知sin＝，θ是第四象限角，所以

cos>0，所以cos＝＝.

tan＝tan＝－

＝－＝－＝－.

答案：

－

∴∠B＝－α，∴tanB＝，

∴tanB＝－.

答案：

－

（2）若tanα＞0，则（　　）

A．sinα＞0　　　　　　　B．cosα＞0

C．sin2α＞0D．cos2α＞0

解析：

基本法：

由tanα＞0得α是第一或第三象限角，若α是第三象限角，则A，B错；由sin2α＝2sinαcosα知sin2α＞0，C正确；α取时，cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－＜0，D错．故选C.

速解法：

∵tanα＝＞0，即sinαcosα＞0，

∴sin2α＝2sinαcosα＞0，故选C.

答案：

C

【举一反三】（2015·新课标全国Ⅰ，2）sin20°cos10°－cos160°sin10°＝（　　）

A．－B.C．－D.

解析　sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝.

答案　D

【变式探究】（2015·四川，12）sin15°＋sin75°的值是________．

解析　sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝sin（15°＋45°）＝sin60°＝.

答案　

【举一反三】（2015·江苏，8）已知tanα＝－2，tan（α＋β）＝，则tanβ的值为________．

解析　∵tanα＝－2，∴tan（α＋β）＝＝＝，解得tanβ＝3.

答案　3

【变式探究】

（1）（2014·新课标全国卷Ⅰ）设α∈，β∈，且tanα＝，则（　　）

A．3α－β＝　　　　　　B．2α－β＝

C．3α＋β＝D．2α＋β＝

（2）（2014·山西）若锐角α满足2sinα＋2cosα＝3，则tan的值是（　　）

A．－3B．－

C．3D.

【解析】

（1）解法一：

由tanα＝，得

＝，

即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，

∴sin（α－β）＝cosα＝sin.

∵α∈，β∈，

∴α－β∈，－α∈，

∴由sin（α－β）＝sin，得α－β＝－α，

∴2α－β＝，故选B.

解法二：

tanα＝＝

＝

＝cot

＝tan＝tan，

∴α＝kπ＋，k∈Z.

∴2α－β＝2kπ＋，k∈Z.

当k＝0时，满足2α－β＝，故选B.

【感悟提升】

（1）此类问题的着眼点是“一角、二名、三结构”，即一看角的差异，二看名称的差异，三看结构形式的差异，然后多角度使用三角公式求解．

（2）对于三角函数中角的求值问题，关键在于“变角”，将“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，要注意三角公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用．

（3）求三角函数的化简求值问题的一般思路：

“五遇六想一引”，即遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．

【变式探究】（2015·广东，11）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________．

解析　因为sinB＝且B∈（0，π），所以B＝或B＝.又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.

答案　1

考点2、正、余弦定理的应用

【例2】【2017课标II，理17】的内角所对的边分别为，已知，

（1）求；

（2）若，的面积为，求。

【答案】

（1）；

（2）b=2

【解析】b=2

（1）由题设及，故

上式两边平方，整理得

解得

（2）由，故

又

由余弦定理及得

所以b=2.

【变式探究】【2016高考山东理数】

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（Ⅰ）证明：

a+b=2c;

（Ⅱ）求cosC的最小值.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,

所以，

当且仅当时，等号成立.

故的最小值为.

【举一反三】（2015·福建，12）若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________．

解析　S＝AB·AC·sinA，∴sinA＝，在锐角三角形中A＝，由余弦定理得BC＝＝7.

答案　7

【变式探究】（2015·广东，11）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________．

解析　因为sinB＝且B∈（0，π），所以B＝或B＝.又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.

答案　1

【举一反三】

（1）（2014·福建）在△ABC中，∠A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．

（2）（2014·湖南）如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.

①求cos∠CAD的值；

②若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．

【命题意图】

（1）本题主要考查正弦定理等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．

（2）本题以平面四边形为载体，考查余弦定理、正弦定理和三角函数的化简求值，第一问可利用余弦定理直接求解，第二问需综合运用两角差的正弦公式和正弦定理．

【答案】

（1）2

【解析】

（1）解法一：

在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得sinB＝1，因为∠B∈（0°，120°），所以∠B＝90°，所以∠C＝30°，所以△ABC的面积S△ABC＝·AC·BC·sinC＝2.

解法二：

在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得sinB＝1，因为∠B∈（0°，120°），所以∠B＝90°，所以AB＝＝2，

所以△ABC的面积S△ABC＝·AB·BC＝2.

（2）①如题图，在△ADC中，由余弦定理，得

cos∠CAD＝.

故由题设知，cos∠CAD＝＝.

②如题图，设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.

因为cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，

所以sin∠CAD＝

＝＝.

sin∠BAD＝

＝＝.

于是sinα＝sin（∠BAD－∠CAD）

＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD

＝×－×＝.

在△ABC中，由正弦定理，得＝.

故BC＝＝＝3.

【变式探究】△ABC的面积是30，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA＝.

（1）求A·A；

（2）若c－b＝1，求a的值．

【解析】解　

（1）由cosA＝，且0

得sinA＝＝.

又S△ABC＝bcsinA＝30，

所以bc＝156，

所以A·A＝bccosA＝156×＝144.

（2）由

（1）知bc＝156，

又cosA＝，c－b＝1，

在△ABC中，由余弦定理，得

a2＝b2＋c2－2bccosA＝（c－b）2＋2bc（1－cosA）

＝1＋2×156×

＝25，

所以a＝5。

【规律方法】求解此类问题，一要注意从问题的不断转化中寻求解题的突破口，如求A·A，需要求出bc，由三角形的面积及cosA，可求出sinA，二要注意求解本题第

（2）问时，应该结合第

（1）问中的结论．

题型三、解三角形的应用

【例3】【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．

【答案】

【解析】取BC中点E，DC中点F，由题意：

，

△ABE中，，，

．

又，

，

综上可得，△BCD面积为，．

【变式探究】【2016高考山东理数】（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（Ⅰ）证明：

a+b=2c;

（Ⅱ）求cosC的最小值.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,

所以，

当且仅当时，等号成立.

故的最小值为.

【举一反三】（2015·新课标全国Ⅱ，17）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

（1）求；

（2）若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．

解　

（1）S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，

S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.

因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.

由正弦定理可得＝＝.

（2）因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.在△ABD和△ADC中，由余弦定理知

AB2