中考数学几何体型100道题文档格式.docx
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6.锐角△ABC三边长互不相等,其垂心为H,D是BC中点,直线BH与AC交于E,直线CH与AB交于F,直线AH与BC交于T,
BDE与○CDF交于G,直线AG与○BDE.○CDF分别交于M.N,证明:
(1)AH平分∠MTN,
(2)ME.NF.AH三线共点.
7.凸四边形ABCD的外接圆圆心为O,已知AC≠BD,且AC与BD交于E,若P为ABCD内部一点,且∠PAB+∠PCB=∠PBC+∠PDC=90°
,证明:
P.O.E共线
8.与等腰△ABC两腰AB.AC都相切的圆ω交BC与K和L,联结AK,交圆ω于一点另一点M,点P.Q分别是点K关于点B和点C的对称点,证明:
△PMQ的外接圆和圆ω相切
9.在△ABC中,D是BC边上一点,O1.O2.分别是△BAD.△ACD外心,O′是经过A.O1.O2三点的圆的圆心.记△ABC的九点圆心为V,作O′E⊥BC于E,证明:
VE∥AD
10.在△ABC中,AB>AC,内心为I,内切圆分别切BC.CA.AB于D.E.F,M是BC中点,AH是高,直线AI与DE.DF分别交于K.L,证明:
M.L.H.K四点共圆
11.○O为△ABC外接圆AM.AD分别为中线与角平分线,过B.C分别作切线相交于P,AP交BC于E,交○O于F,证明:
D是△AMF内心.
12.锐角△ABC,点D.E.F分别是BC.CA.AB上的高的垂足,I1,I2,I3分别是△AEF,△BDF,△CDE的内心,L1是○I2与圆I3不同于BC的外公切线,类似定义L2.L3,证明:
L1,L2.L3共点,且此点是△I1I2I3外心
13.锐角△ABC中,AB<AC,M为边BC中点,点D和点E分别是△ABC外接圆弧BAC和BC中点,F为△ABC内切圆在AB上的切点,AE和BC交于G,N点在线段EF上,满足NB⊥AB,证明:
若BN=EM,则DF⊥FG
14.两圆内切.ABCD为大圆上顺次四点,AC.BD分别切小圆于E.F,B与小圆在AC同侧,证明:
EF过△ABC内心
15.在△ABC中,D.E分别在AB.AC上,ED∥BC,BD.CE交于F,证明:
△AEF.△ADF,△EFB,△DFC四个外心共圆
16.D.E.F分别在△ABC边BC.CA.AB上,并且AD.BE.CF交于一点G,△AFG,△BFG,△BGD,△GDC,△CGE,△AGE的外心分别为Oi(i=1,2,3,4,5,6),且他们互不相同,证明:
Oi六点共圆的充要条件为G是△ABC重心
17.○O是△ABC的外接圆,D在弧AB上,△CAD,△CBD的内心分别为E.F,○DEF与○O的另一个交点为X,证明:
当D点在弧AB上运动时,X是一个定点
18.四边形ABCD的边AD.BC交于P,AB与CD不平行,△ABP,
△CDP的外心分别为O1,O2,垂心分别为H1,H2,O1H1,O2H2中点分别为E1,E2,过E1.E2分别作CD.AB的垂线.证明:
两条垂线和H1H2共点
19.△ABC外心为O,BO与AC交于F,CO与AB交于E,EF的垂直平分线交BC于D,DE与BF交于M,DF与CE交于N,若EM.FN的垂直平分线交于EF上一点K,证明:
∠BAC=90°
20.点P在以△ABC垂心H为圆心的圆上运动,P在三边的射影分别是D.E.F,证明:
sin(2A)·
PD2+sin(2B)·
PE2+sin(2C)·
PF2为定值.
21.△ABC内接于圆O,I为内心,M为弧BC中点,A′是A关于O的对径点,D为△ABC内切圆和BC的切点,AE⊥BC于E,直线A′D和ME交于K,证明:
DM⊥IK
22.P为△ABC内一点,满足∠PAC=∠PCB=∠PBA=30°
△ABC为等边三角形
23.在△ABC中,点A1在边BC上,点B1在边AC上,点P和点Q分别在AA1和BB1上,且PQ∥AB,在直线PB1上取点P1使得B1严格位于P和P1之间,且∠PP1C=∠BAC,类似地,在直线QA1上取点Q1使得使得A1严格位于点Q和点Q1之间,且∠CQ1Q=∠CBA,证明:
P.Q.P1.Q1共圆
24.凸五边形ABCDE内接于○O,且AB=CD=EA,对角线BE.CE相交于点P,点H为△ABE垂心,M.N分别是BC.DE中点,G是△AMN重心,直线PH,OG相交于T,证明:
AT⊥CD
25.在锐角三角形ABC中,AB>AC,点E.F分别在AC.AB上,满足BF+CE=BC,点IB,IC分别是∠B,∠C内的旁心,直线EIC,FIB相交于点T,点K为弧BAC中点,直线KT与△ABC的外接圆交于K.P,证明:
T.F.P.E四点共圆.
26.等腰△ABC中,AB=AC,AC边上一点D及BC延长线上一点E,满足2AD·
CE=DC·
BC,以AB为直径的圆ω与线段DE交于一点F,证明:
BCFD共圆
27.在△ABC平面内,存在唯一一组点(P.Q)使得P.Q关于△ABC互为等角共轭,且满足PA+QA=PB+QB=PC+QC
28.在△ABC中,P1,P2为一组等角共轭点,点P1在BC.CA.AB上的射影分别是D1.E1.F1,直线D1P1与E1F1交于点K1,直线AK1与BC交于点X1类似定义X2,证明BX1=CX2
29.△ABC的内切圆○I分别与BC.CA.AB相切于D.E.F联结AD交○I于点P,联结BP交○I于点H,证明:
PH·
DE·
DF=EF·
DP·
DH
30.在△ABC中,以AB.AC为直径的圆ω1,ω2,M是∠BAC角平分线AD的中点,BK的延长线分别交ω1,ω2于E.F,CK的延长线分别交ω1,ω2于点F.G证明:
○AEF和○AFG外切
31.在△ABC中,∠A,∠B均为锐角,CD⊥AB于,且
CD2·
BC2+AC2·
CD2=AC2·
BC2,证明:
∠ACB=90°
32.△ABC和△AB′C′共外接圆,P为外接圆上任一点,证明:
P关于△ABC和P关于△AB′C′的西姆森线平行的充要条件是BC∥B′C′
33.凸四边形ABCD中,对角线BD,AC交于M,△AMB,△CMD的垂心分别是S.R,△AMD,△BMC的重心分别是I.Q,证明:
IQ⊥SR
34.△ABC中,AD⊥BC于D,BF⊥AC于E,CG⊥AB于F,联DE.EF.DF,证明:
△AEF,△BDE,△CDF的欧拉线共点,且交点在九点圆上
35.△ABC中,AY⊥BC于Y,记O为外心,AO交BC于X,过B.C引外接圆切线交于L,D为内切圆在BC上的切点,I为内心,PQ是过OI的外接圆直径(P.Q端点),证明:
PXYQ共圆当且仅当ADL共线
36.△ABC中,P为∠BAC平分线上一点,O1,O2,O3分别是△APB,
△APC,△BPC外心,K为△O1O2O3外心,证明:
OK∥AP(其中O是△ABC外心)
37.圆O1,O2相交于A.B两点,CD是两圆靠近B的外公切线,P是圆O1上一点,Q是圆O2上一点,PC.QD延长线交于R,若AR平分∠PAQ,证明:
PQ∥CD或PBQ共线
38.已知圆O1和圆O2相交于P.Q两点,O是连心线O1O2的中点,过P作两条不重合的割线AB和CD,(其中A.C在圆O1上,B.D在圆O2上),联结AD并取其中点M,联CB并取其中点N,证明:
O到直线MN的距离小于O到PQ的距离.
39.四边形ABCD内接于圆,O是外心,E是对角线交点,P是平面内任一点,O1,O2,O3,O4分别是△PAB,△PBC,△PCD,△PDA外心,证明:
OE,O1O3,O2O4共点
40.平面内有七个圆,其中六个圆含于一个大圆内,且没个圆都和大圆相切,六个圆两两相切,记六个圆在大圆上的切点依次为Ai(i=1.2.3.4.5.6),证明:
A1A4.A2A5.A3A6共点
41.△ABC内切圆与BC.AC.AB相切于点D.E.F,一圆与△ABC内切圆切于D,与△ABC外接圆切于K,M.N类似定义,证明:
DK,EM.FN共点,且此点在△DEF的欧拉线上
42.圆O1,O2分别是△ABC的C-旁切圆,B-旁切圆,O1与AC.BC分别相切于G.H,圆O2分别与AB.BC相切于L.K,直线O1L和直线O2G相交于P,证明:
AP⊥GL
43.从圆Ω外一点P作圆Ω的切线PA.PB,AA′,BB′分别是圆Ω的两条直径,点C.D分别在切线PA.PB上,过C且垂直于AB的直线与∠ABB′的平分线交于C′,过D且垂直于AB的直线与∠A′AB的平分线交于D′,证明:
C,D′,A′共线当且仅当C′DB′共线
44.四条直线相交成四个三角形,这四个三角形的垂心共线
45.已知△ABC,A1,A2,A3分别在高线AD.BE.CF上若S△ABC=S△ABC1+S△BCA1+S△CAB1,证明:
△A1B1C1外接圆通过△ABC的垂心
46.四边形ABCD内接于圆,E为BC上一点,E在直线AB.BD.AC.CD上的射影分别是M.N.Q.P,直线MN与PQ交于点K,直线EK与AD交于F,证明:
KE=KF
47.等腰三角形ABC中,AB=AC,三角形内存在一点P使得∠PBC
=45°
,∠PCB=15°
,且AP=BP+CP,求∠ABC
48.在梯形ABCD中,AD∥BC,P为BC上任一点,PE∥AC交AB于E,PF∥BD交CD于F,EF分别交BD.AC于点G.H,证明:
EG=FH
49.在不等腰锐角三角形ABC中,三条高线AD.BE.CF的中点依次为P.S.T,内心为I,外心为O,内切圆○I与边BC.CA.AB分别相切于M.N.L,证明:
PM.SN.TL共点,且此交点和OI共线
50.△ABC中,M是BC中点,点E.F分别是M关于AC.AB的对称点,直线FB.EC交于P,点Q满足QA=QM,∠QAP=90°
,O是△PEF外心,证明:
AO⊥OQ
51.△ABC中,AB>AC,∠BAC的角平分线交BC于D,线段AD
的垂直平分线与AB.AC分别交于E.F,点X在BC上,且BX·
CF=XC·
BE,AX交△ABC外接圆于Y,已知BC=a,CA=b,AB=c,求△ADY外接圆半径
52.△ABC中,BC>CA>AB,BE.CF是角平分线,外接圆弦BQ∥EF,QP∥AC,证明:
PC=PA+PB
53.已知△ABC为给定三角形,D在BC上,E在AB上,F在AC上,且△DEF为正三角形,求S△DEF最小值
54.设F是双曲线定点,A是右焦点,△HIJ的内切圆是以A为圆心AF为半径的圆.过H.I作双曲线的切线交于K,证明:
KAJ共线
55.已知正△XYZ的顶点分别在△ABC的边BC.CA.AB上,证明:
△ABC的内心在△XYZ的内切圆的内部
56.△ABC内接于圆O,∠ABC>90°
,M是边BC中点,点P在△ABC内,满足PB⊥PC,过P作AP的垂线,D.E是该垂线上不同于P的两点,满足BD=BP,CE=CP,若四边形ADOE是平行四边形,证明:
∠OPE=∠AMB
57.设A为○Ω外一点,直线AB.AC分别与圆Ω相切于B.C两点,设P是劣弧BC上的一个动点,过点P作Ω的切线分别于AB.AC相交于点D.E,直线BP.CP分别与∠BAC的内角平分线交于点U.V,过点P作AB的垂线,与直线DV交于M,过点P作AC的垂线,与直线EU交于点N,证明:
存在一个与点P无关的定点L,使得MNL共线
58.△ABC中,AB>AC,M是边BC的中点,○M以BC为直径,直线AB.AC分别与○M交于点D(异于B),E(异于C),已知在△ABC内的点P满足∠PAB=∠ACP,∠CAP=∠ABP,BC²
=2DE·
MP,在○M外的点X满足XM∥AP,XB·
AC=XC·
AC,证明:
∠BXC+∠BAC=90°
59.锐角三角形ABC中,AB<AC,AD是BC边上的高,D是垂足,I是△ABC内心,J是A-旁心,点E在边AB上,点F在AB延长线上满足BE=BF=BD,证明:
在△ABC外接圆上存在两点P.Q(可以重合),满足PB=QC,并且△PEI∽△QFJ
60.锐角△ABC中,作出角平分线BL,D.E分别是△ABC外接圆上弧AB和弧BC中点,线段BD的延长线上取一点P,在线段BE的延长线上取一点Q,使得∠APB=∠CQB=90°
线段BL的中点与P.Q共线
61.锐角△ABC内有P.Q两点满足∠ACP=∠BCQ,∠CAP=∠BAQ,过点P作BC.CA.AB的垂线,垂足为D.E.F,证明:
∠DEF=90°
当且仅当Q是△BFD垂心
62.在△ABC周围作3个任意三角形△DBC,△ECA,△FAB,他们的顶点围成△DEF,再向△DEF周围作三个三角形△A′FE,△B′DF,△C′ED相应地,使他们与△DBC,△ECA,△FAB顺向相似,证明:
△A′B′C′∽△ABC
63.圆周上有ABCD四点,证明:
其中一点关于另三点围成的三角形的三条西姆森线共点
64.设○O1,O2交于P.Q两点,过点P任作两条直线APB,CPD,其中A.C在○O1上,点B.D在○O2上,M.N分别是AD.BC中点,O为O1O2中点,∠APC=θ为锐角,设h为点O到MN的距离,K为PQ中点,证明:
h=OK·
cosθ
65.锐角△ABC中,I是内心AB≠AC,△ABC的内切圆ω与边BC.CA.AB分别相切于点D.E.F过D点且垂直于EF的直线与ω另一个交点为R.直线AR与ω另一个交点为P,△PCE和△PBF的外接圆交于另一点Q.证明:
直线DI和PQ的交点在过A且垂直于AI的直线上.
66.在△ABC中,I为内心,T为AI与BC的交点,J为A-胖切圆与边BC的切点,△AJT的外接圆和△ABC的外接圆第二个交点为F,过I作IS⊥AT,与BC交于点S,AS与△ABC外接圆的第二个交点为E,证明:
EF∥BC.
67.已知五角星形ABCDEFGHIJ,△IBC,△JBA,△EAG,△FED,
△HDC的外接圆轮回相交,两两交点分别是K.O.N.M.L,记LB和AN交于Q类似定义T.S.R.P,记JO与FN交于U类似定义W.Z.V.A1.证明:
KONMLQTSRPUWZVA1共圆∠XAY为一个固定的角,B.C分别是射线AX.AY上的动点,∠XAY内有一点P满足PA.PB.PC的长均为定值,求△ABC的最大值
答:
设P是△ABC内的任意点,O.OA.OB.OC分别是△ABC,△PBC,
△PCA,△PAB外心,OBC,OCA,OAB分别是△POBOC,△POCOA,△POAOB的外心,O′,O′分别是△OAOBOC,△OBCOCAOAB外心,证明:
OP∥OO′′
68.设△ABC的外心为O,在∠A的角平分线上取一点P,分别作P在AB.BC.CA.上的射影D.E.F,若△DEF的外接圆交BC于另外一点G,设H为△EFG垂心,求证:
O.P.H共线
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