勾股定理全章练习题含答案Word下载.docx
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(5)若a、b、c为连续整数,求a+b+c.
综合、运用、诊断
一、选择题
10.若直角三角形的三边长分别为2,4,x,则x的值可能有().
(A)1个
(C)3个
(B)2个
(D)4个
二、填空题
11.如图,直线l经过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线l的距离分别是1、2,则正方形的边长是.
12.在直线上依次摆着7个正方形(如图),已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1,2,
3,水平放置的4个正方形的面积是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=.
13.如图,Rt△ABC中,∠C=90°
,∠A=30°
,BD是∠ABC的平分线,AD=20,求BC
的长.
拓展、探究、思考
14.如图,△ABC中,∠C=90°
.
(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①),探究S1+S2与S3的关系;
图①
(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②),探究S1+S2与S3的
关系;
图②
(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③),探究S1+S2与S3的关系.
图③
测试2勾股定理
(二)
学习要求掌握勾股定理,能够运用勾股定理解决简单的实际问题,会运用方程思想解决问题.
1.若一个直角三角形的两边长分别为12和5,则此三角形的第三边长为.
2.甲、乙两人同时从同一地点出发,已知甲往东走了4km,乙往南走了3km,此时甲、乙
两人相距km.
3.如图,有一块长方形花圃,有少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了m路,却踩伤了花草.
3题图
4.如图,有两棵树,一棵高8m,另一棵高2m,两树相距8m,一只小鸟从一棵树的树梢
飞到另一棵树的树梢,至少要飞m.
4题图
则树折断之前高().
(B)103
(D)85
(A)122
(C)65
7.在一棵树的10米高B处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处;
另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高多少米?
8.在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1米,一阵风吹来,红莲移到一边,花朵齐及
综合、运用、诊断一、填空题
9.如图,一电线杆AB的高为10米,当太阳光线与地面的夹角为60°
时,其影长AC为__米.
10.如图,有一个圆柱体,它的高为20,底面半径为5.如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的
A点,沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点,则蚂蚁爬的最短路线长约为(
取3)
11.长为4m的梯子搭在墙上与地面成
、解答题:
45°
角,作业时调整为60°
角(如图所示),则梯子
的顶端沿墙面升高了m.
12.如图,在高为3米,斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯,则地毯的长度至少需要多少米若楼梯宽2米,地毯每平方米30元,那么这块地毯需花多少元?
13.如图,两个村庄A、B在河CD的同侧,A、B两村到河的距离分别为AC=1千米,BD=3千米,CD=3千米.现要在河边CD上建造一水厂,向A、B两村送自来水.铺设水管的工程费用为每千米20000元,请你在CD上选择水厂位置O,使铺设水管的费用最省,并求出铺设水管的总费用W.
测试3勾股定理(三)
学习要求熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题,进一步运用方程思想解决问题.
1.在△ABC中,若∠A+∠B=90°
,AC=5,BC=3,则AB=,AB边上的高CE
2.在△ABC中,若AB=AC=20,BC=24,则BC边上的高AD=,AC边上的高BE
3.在△ABC中,若AC=BC,∠ACB=90°
,AB=10,则AC=,AB边上的高CD
4.在△ABC中,若AB=BC=CA=a,则△ABC的面积为.
5.在△ABC中,若∠ACB=120°
,AC=BC,AB边上的高CD=3,则AC=,AB
=,BC边上的高AE=.
二、选择题
6.已知直角三角形的周长为26,斜边为2,则该三角形的面积是().
).
(D)1
131
(A)(B)(C)
442
7.若等腰三角形两边长分别为4和6,则底边上的高等于(三、解答题
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,D、E分别为BC和AC的中点,AD=5,BE=210求AB的长.
9.在数轴上画出表示10及13的点.
10.如图,△ABC中,∠AB,求BD的长.
A=90°
,AC=20,AB=10,延长AB到D,使CD+DB=AC+
12.如图,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EC的长.
13.已知:
如图,△ABC中,∠C=90°
,D为AB的中点,E、F分别在AC、BC上,且222
DE⊥DF.求证:
AE2+BF2=EF2.
15.如图,如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去,⋯⋯已知正方形ABCD的面积S1为1,按上述方法所作的正方形的面积依次为S2,S3,⋯,Sn(n为正整数),那么第8个正方形的面
积S8=,第n个正方形的面积Sn=.
测试4勾股定理的逆定理学习要求掌握勾股定理的逆定理及其应用.理解原命题与其逆命题,原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系.
课堂学习检测一、填空题
1.如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是三角形,我们
把这个定理叫做勾股定理的.
2.在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做;
如果把其中一个命题叫做原命题,
那么另一个命题叫做它的.
3.分别以下列四组数为一个三角形的边长:
(1)6、8、10,
(2)5、12、13,(3)8、15、17,(4)4、5、6,其中能构成直角三角形的有.(填序号)
4.在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,
1若a2+b2>
c2,则∠c为;
2若a2+b2=c2,则∠c为;
3若a2+b2<
c2,则∠c为.
5.若△ABC中,(b-a)(b+a)=c2,则∠B=;
6.如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的△ABC是三角形.
7.若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数),则以a-2、a、a+2为边的三角形的面积为.
8.△ABC的两边a,b分别为5,12,另一边c为奇数,且a+b+c是3的倍数,则c应为,此三角形为.
二、选择题9.下列线段不能组成直角三角形的是().
10.下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比,其中不是直角三角形的是
(A)1∶1∶2(B)1∶3∶4
(C)9∶25∶26(D)25∶144∶169
11.已知三角形的三边长为n、n+1、m(其中m2=2n+1),则此三角形().
(A)一定是等边三角形(B)一定是等腰三角形
(C)一定是直角三角形(D)形状无法确定
一、解答题
12.如图,在△ABC中,D为BC边上的一点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,求CD的长.
1
14.已知:
如图,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为CB的四等分点且CE=CB,
4求证:
AF⊥FE.
15.在B港有甲、乙两艘渔船,若甲船沿北偏东60°
方向以每小时8海里的速度前进,乙
船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进,2小时后,甲船到M岛,乙船到P
岛,两岛相距34海里,你知道乙船是沿哪个方向航行的吗
16.已知△ABC中,a2+b2+c2=10a+24b+26c-338,试判定△ABC的形状,并说明你的理由.
17.已知a、b、c是△ABC的三边,且a2c2-b2c2=a4-b4,试判断三角形的形状.
18.观察下列各式:
32+42=52,82+62=102,152+82=172,242+102=262,⋯,你有没有发现其中的规律?
请用含n的代数式表示此规律并证明,再根据规律写出接下来的式子.
参考答案
第十八章勾股定理
测试1勾股定理
(一)
1.
a2+b2,
勾股定理.2
.
(1)13;
(2)9;
(3)2,
3;
(4)1,2
3.
25.
4.
52,5.
5.132cm.6.A.
7.B.
8.C.
9.
(1)a=45cm.
b=60cm;
(2)540;
(3)a=30,c=
34;
(4)63
;
(5)12.
10.
B.
11.
5.12.
4.13.
103.
14.
(1)S1+S2=S3;
(2)S1+S2=S3;
(3)S1+S2=S3.
测试2勾股定理
(二)
13或119.
2.5
.3.
2.4.10.
5.
C.6.A.
7.
15米.
8.3米.
2
103
310.
25.
2322.12.7米,420元.
13.
10万元.提示:
作
A点关于
CD的对称点A′,连结A′B,与CD交点为O测试3勾股定理(三)
15
34,1534;
34
.16,19.2.3.52,5.4.43a.
5.6,63,33.6.C.7.D
8.213.提示:
设BD=DC=m,CE=EA=k,则k2+4m2=40,4k2+m2=25.AB=
4m24k2213.
9.101232,132232,图略.
210.BD=5.提示:
设BD=x,则CD=30-x.在Rt△ACD中根据勾股定理列出(30-x)2=(x+10)2+202,解得x=5.
211.BE=5.提示:
设BE=x,则DE=BE=x,AE=AD-DE=9-x.在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2,∴32+(9-x)2=x2.解得x=5.
12.EC=3cm.提示:
设EC=x,则DE=EF=8-x,AF=AD=10,BF=AF2AB26,CF=4.在Rt△CEF中(8-x)2=x2+42,解得x=3.
13.提示:
延长FD到M使DM=DF,连结AM,EM.
14.提示:
过A,C分别作l3的垂线,垂足分别为M,N,则易得△AMB≌△BNC,则
AB34,AC217.
n-1
15.128,2n-1.
测试4勾股定理的逆定理
1.直角,逆定理.2.互逆命题,逆命题.3.
(1)
(2)(3).
4.①锐角;
②直角;
③钝角.5.90°
.6.直角.
7.24.提示:
7<
a<
9,∴a=8.8.13,直角三角形.提示:
c<
17.
9.D.10.C.11.C.
12.CD=9.13.15.
连结AE,设正方形的边长为4a,计算得出AF,EF,AE的长,由AF2+EF2=
AE2得结论.
15.南偏东30°
16.直角三角形.提示:
原式变为(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0.17.等腰三角形或直角三角形.提示:
原式可变形为(a2-b2)(a2+b2-c2)=0.
18.352+122=372,[(n+1)2-1]2+[2(n+1)]2=[(n+1)2+1]2.(n≥1且n为整数)
第十八章勾股定理全章测试
1.若一个三角形的三边长分别为6,8,10,则这个三角形中最短边上的高为.
2.若等边三角形的边长为2,则它的面积为.
3.如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若涂黑的四个小正方形的面积的和是10cm2,则其中最大的正方形的边长为cm.
4.如图,B,C是河岸边两点,A是对岸岸边一点,测得∠ABC=45°
,∠ACB=45°
,BC=60米,则点A到岸边BC的距离是米.
5.已知:
如图,△ABC中,∠C=90°
,点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,点D,E,F分别是垂足,且BC=8cm,CA=6cm,则点O到三边AB,AC和BC的距离分别等于cm.
5题图
6.如图所示,有一块直角三角形纸片,两直角边AB=6,BC=8,将直角边AB折叠使它落
在斜边AC上,折痕为AD,则BD=.
6题图
7.△ABC中,AB=AC=13,若AB边上的高CD=5,则BC=.
8.如图,AB=5,AC=3,BC边上的中线AD=2,则△ABC的面积为
10.某市在旧城改造中,计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,知这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要().
10题图
(A)450a元(B)225a元
(C)150a元(D)300a元
11.如图,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°
,BE⊥AD于点E,且四边形ABCD的面积为8,则BE=().
(A)2
(C)22
12.如图,Rt△ABC中,∠C=90°
,CD⊥AB于点D,AB=13,CD=6,
(A)5
(D)95
(C)1313
则AC+BC等于
D是垂足,求AD
如图,△ABC中,∠CAB=120°
,AB=4,AC=2,AD⊥BC,的长.
15.△ABC中,AB=AC=4,点P在BC边上运动,猜想AP2+PB·
PC的值是否随点P位
置的变化而变化,并证明你的猜想.
16.已知:
△ABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,求BC.
17.如图,长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点A开始
经过四个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要多长?
如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要多长?
18.如图所示,有两种形状不同的直角三角形纸片各两块,其中一种纸片的两条直角边长都
为3,另一种纸片的两条直角边长分别为1和3.图1、图2、图3是三张形状、大小完
图1图2图3
(1)请用三种方法(拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法)将图中所给四块直
角三角形纸片拼成平行四边形(非矩形),每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上,互不重叠且不留空隙,并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、
图3的方格纸上(要求:
所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合;
画图时,要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹);
(2)三种方法所拼得的平行四边形的面积是否是定值?
若是定值,请直接写出这个定值;
若不是定值,请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的面积各是多少;
(3)三种方法所拼得的平行四边形的周长是否是定值?
若不是定值,请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的周长各是多少.
19.有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6m,8m.现在要将绿地扩充成等腰
三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.
1.8.2.3.3.10.4.30.5.2.
6.3.提示:
设点B落在AC上的E点处,设BD=x,则DE=BD=x,AE=AB=6,CE=4,CD=8-x,在Rt△CDE中根据勾股定理列方程.
7.26或526.
8.6.提示:
延长AD到E,使DE=AD,连结BE,可得△ABE为Rt△.9.D.10.C11.C.12.B
13.221.提示:
作CE⊥AB于E可得CE3,BE5,由勾股定理得BC27,由三
7
角形面积公式计算AD长.
14.150m2.提示:
延长BC,AD交于E.
15.提示:
过A作AH⊥BC于HAP2+PB·
PC=AH2+PH2+(BH-PH)(CH+PH)2222
=AH2+PH2+BH2-PH2=AH2+BH2=AB2=16.
16.14或4.
17.10;
2916n2.
18.
(1)略;
(2)定值,12;
(3)不是定值,862,8210,62210.
19.在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AC=8,BC=6由勾股定理得:
AB=10,扩充部分为Rt△ACD,扩充成等腰△ABD,应分以下三种情况.
1如图1,当AB=AD=10时,可求CD=CB=6得△ABD的周长为32m.
图1
2如图2,当AB=BD=10时,可求CD=4
图2
由勾股定理得:
AD45,得△ABD的周长为(2045)m..
3如图3,当AB为底时,设AD=BD=x,则CD=x-6,
图3
x25,得△ABD的周长为80m.33
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