普通高等学校招生全国统一考试文科数学真题及参考答案北京卷.docx
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普通高等学校招生全国统一考试文科数学真题及参考答案北京卷
2018年普通高等学校招生全国统一考试、
数学试卷
(文史类)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共40分)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出四个选项中,选出符合题目要求一项.
1.若集合,,则
(A)(B)(C)(D)
2)在复平面内,复数共轭复数对应点位于
(A)第一象限(B)第二象限
(C)第三象限(D)第四象限
3.执行如图所示程序框图,输出值为().
A.
B.
C.
D.
4.设,,,是非零实数,则“”是“,,,成等比数列”().
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
.
5.“十二平均律”是通用音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音频率与它前一个单音频率比都等于.若第一个单音频率为,则第八个单音频率为().
A.
B.
C.
D.
6.某四棱锥三视图如图所示,在此三棱锥侧面中,直角三角形个数为().
A.
B.
C.
D.
7.在平面直角坐标系中,,,,是圆上四段弧(如图),点在其中一段上,角是以为始边,为始边.若,则所在圆弧是
(A)
(B)
(C)
(D)
8.设集合,则
对任意实数,对任意实数,
当且仅当时,当且仅当时,
二.填空
(9)设向量,。
若,则。
(10)已知直线过点且垂直于轴,若被抛物线截得线段长为,则抛物线焦点坐标为。
(11)能说明“若,则”为假命题一组,值依次为。
(12)若双曲线离心率为,则。
(13)若,满足,则最小值是。
14.若面积为,且为钝角,则;取值范围是。
三.解答题
15.(本小题13分)
设是等差数列,且,.
(1)求通项公式;
(2)求.
16.(本小题13分)
已知函数。
(Ⅰ)求最小正周期;
(Ⅱ)若在区间上最大值为,求最小值。
(17)(本小题12分)
电影公司随机收集了电影有关数据,经分类整理得到下表:
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
好评率
好评率是指:
一类电影中获得好评部数与该类电影部数比值
()从电影公司收集电影中随机选取部,求这部电影是获得好评第四类电影概率;
()随机选取部电影,估计这部电影没有获得好评概率;
()电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影好评率发生变化。
假设表格中只有两类电影好评率数据发生变化,那么哪类电影好评率增加,哪类电影好评率减少,使得获得好评电影总部数与样本中电影总部数比值达到最大?
(只需写出结论)
()由表格可知电影总部数
获得好评第四类电影
设从收集电影中选部,是获得好评第四类电影为事件,则
()未获得好评第一类电影
未获得好评第二类电影
未获得好评第三类电影
未获得好评第四类电影
未获得好评第五类电影
未获得好评第六类电影
未获得好评电影总数
设随机选取部电影,估计这部电影没有获得好评为事件,则
()第五类电影增加,第二类电影减少
18如图,在四棱锥中,底面为矩形,平面平面,,,,分别为,中点。
(1)求证:
;
(2)求证:
平面平面;
(3)求证:
∥平面.
19.(本小题13分)
设函数,
(1)若曲线在点处切线斜率为,求;
(2)若在处取得极小值,求取值范围.
20.(本小题14分)
已知椭圆离心率为,焦距为.
斜率为直线与椭圆有两个不同交点,.
(1)求椭圆方程;
(2)若,求最大值;
(3)设,直线与椭圆另一个交点为,直线椭圆
另一个交点为.若,和点共线,求.
一.选择题
1.【答案】A
2.【答案】D
,
则,故共轭复数在第四象限,
故选
3.【答案】
【解析】根据程序框图可知,开始,,
执行,,此时不成立,循环,
,,此时成立,结束,
输出.
故选.
4.【答案】
【解析】当,,时,成立,但是,,,不成等比数列,
当,,,成等比数列时,此时根据等比数列性质,成立.
故“”是“,,,成等比数列”必要而不充分条件.
故选.
5.【答案】
【解析】根据题意可得,此十三个单音形成一个以为首项,为公比等比数列,
故第八个单音频率为.
故选.
6.【答案】
【解析】由三视图可知,此四棱锥直观图如图所示,
在正方体中,,,均为直角三角形,
,,故不是直角三角形.
故选.
7.【答案】C
【解析】因为最小,所以在第一二象限,
小于,所以满足题意。
8.【答案】:
D
【解析】:
若,则。
则当时,;当时,选D
二.填空题
9.【答案】:
【解析】:
由题知,,。
因为,所以,所以。
10.答案:
解析:
由已知点在抛物线上,满足抛物线方程,即,
即抛物线方程为,
焦点坐标为
11.答案:
,(答案不唯一)
解析:
由题知,需求,值,使得,且。
所以当,时符合条件,即当,时成立,其余正确答案均可。
12.答案:
解析:
由题知,据双曲线性质知解得
13.答案:
3
解析:
将不等式转换成线性规划,即
目标函数
如右图在处取最小值
14.【答案】:
,
【解析】:
由余弦定理可得,
由三角形面积公式可得,
化简得,,又,
为钝角,,
由正弦定理可得
,
三.解答题
15.【解析】解:
(1)设等差数列公差为,
,,
,
,
,,
所以通项公式为.
(2)
.
16.【解析】解:
(Ⅰ)
所以函数最小正周期.
(Ⅱ)函数能取到最大值时,
,,由正弦函数图像,,
所以,即最小值为。
17.【解析】()由表格可知电影总部数
获得好评第四类电影
设从收集电影中选部,是获得好评第四类电影为事件,则
()未获得好评第一类电影
未获得好评第二类电影
未获得好评第三类电影
未获得好评第四类电影
未获得好评第五类电影
未获得好评第六类电影
未获得好评电影总数
设随机选取部电影,估计这部电影没有获得好评为事件,则
()第五类电影增加,第二类电影减少
18.【解析】
(1)证明:
在中,,点为中点;
∴;
∵平面平面;
平面平面;
平面;
平面;
∵平面;
∴.
(2)
由
(1)知平面;
∵平面;
∴;
;
平面;
;
∴平面;
∵平面;
∴;
∵;
平面;
;
∴平面.
∵平面;
∴平面平面.
(3)证明:
取中点;连接;
在中,分别为中点;
∴∥,且;
∵∥,且;
∴∥,且;
∴四边形为平行四边形;
∴∥,平面,平面;
∴∥平面.
19.【解析】
(1)解:
函数定义域为,
若函数在处切线与轴平行,则
,即.
(2)由
(1)可知,
①当时,令,,
极大值
不满足题意;
当时,令,或,
②当时,即,
极小值
极大值
不满足题意;
③当时,
1)当,即时,,函数无极值点;
2)当,即时,
极大值
极小值
满足题意;
3)当,即时,
极大值
极小值
不满足题意.
综上所述,若在处取得极小值,.
20.【解析】
(1)由已知可得,又,所以,.
所以椭圆方程为.
(2)令,,直线方程为.
联立,整理得.
所以
所以.
所以,
因为,所以易知当时,.
(3)因为点在椭圆外,所以直线一定存在斜率.
令,,设直线方程为,
则;.
直线,带入椭圆中去,
得,
整理得,
又因为,
所以.
所以可知,解得,
所以.
同理可得,.
所以
.
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