运用图形计算器对课本问题进行探究拓展的尝试Word文档格式.docx
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运用”部分的习题给予了足够的重视,分课时逐一作为上本作业加以练习。
而对“探究·
拓展”部分的问题,由于难度整体偏大、课时偏紧,往往是弃之不理,或择其少数作普通习题处理,失去了这类问题的探究功能。
08年8月我校承担了北师大课题《手持技术与中学数学新课程整合》的研究任务,现有高一年级一个实验班(高一(20)班)每个学生配置了HP图形计算器。
借此之机,我们精心挑选了课本“探究·
拓展”中的问题,以图形计算器为工具,开展学生探究性学习活动。
目的是探索高中阶段“探究性学习活动”组织方式以及学习效果。
下面是我们选择高中数学《必修4》P49复习题第17题进行探究活动的案例。
1设计方案
为了使得探究活动能够切实有效地进行,我们对具体的操作方案进行了精心的思考,经过反复酝酿,制定如下操作要求:
1.1分组要求:
按照自愿组合的原则,建议每组3-5人,推荐一名组长,各组组长及成员名单报给数学科代表。
限定“每组3-5人”,目的是使得探究活动能够有效进行。
因为我们觉得,小组人员过多不利于切实进行合作互助,容易形成组中组现象。
当然,如果小组人员太少,小组的合力就会偏弱,研究容易受阻。
1.2探究的问题:
1.2.1高中数学《必修4》P49复习题“探究·
拓展”17题:
一铁棒欲通过如图所示的直角走廊,试回答下列问题:
(1)证明棒长
;
(2)当
时,作出上述函数的图象(可用计算器或计算机);
(3)由
(2)中的图象求
的最小值(用计算器或计算机);
(4)解释(3)中所求得的L是能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值。
1.2.2上述问题的拓展:
把题中走廊的宽度“1.8m,1.2m”分别改成“am,bm”:
(1)探究
的表达式;
(2)自己选定a,b的值,作出函数的图像;
(3)研究
最小值,并探求取得最小值时θ与a,b的关系。
1.3完成报告要求:
(1)各小组独立探究,小组内充分合作、互助、交流、研讨,形成较高水平的研究报告。
小组间不互相参考,更不得抄袭。
(2)对每个问题进行深入思考,把分析思路、解答过程、解题总结以及思考问题的灵感、解决问题的感想、探究问题的情感体验等形成详尽的文字材料;
特别是第1题中(3)、(4)两问题,要求过程详细。
(3)写出使用图形计算器对课本上“探究·
拓展”问题的研究体会。
(4)时间期限,周四(3月5日)—周日(3月8日),3月8日晚自习前将打印的纸质稿2份和电子版交给老师;
纸质稿、电子稿在下周一(3月9日)课堂上交流时使用,然后存档。
2收集研究报告与课堂交流
2.1收集报告
按计划3月8日(周日)晚自习收交研究报告,按时交的有4个组,剩余的12组,有的正在完成,有的还没有形成报告,还有的因为机房电脑排不上队无法打印。
考虑到平时开展这类活动的机会不多,学生经验不足,为了使这次活动能取得大面积效果,丰富学生开展研究活动的经验,我们又延长了2天时间,定在3月11日(周三)课堂上交流,在周三前完成研究报告。
对已交报告进行浏览,针对错别字、不规范符号等提出修改意见,对报告中内容的错误未要求修改。
截止到3月10日(周二),我们共收到十一组报告,其中6份电子稿,5份纸质稿。
我们把各组的研究报告打印或复印,确保课堂上交流时学生手中都有本组研究报告,我们两位老师手中有十一组的全部研究报告。
考虑到正常的课堂时间(45分钟)不够交流,所以我们把周三上午第三节数学课调到了下午第三节,以便把时间顺延一些。
2.2课堂交流
周三下午第三节课前,我们准备好多媒体设备,3:
45开始上课。
我们把完成最完整、最出色的一份报告安排在最后交流,其余10个小组依次交流。
正如所料,5:
00学生才交流完毕。
而后,我们两位老师进行了总结:
陆老师重点总结了这次活动整体完成情况,亮点及存在问题;
我对每组汇报情况进行了简要点评,特别是及时纠正了其中的一些错误,而后谈到探究学习的意义,并提出要求:
在后续的系列研究中要能够做到:
积极参与、深入研究、提炼报告、激情汇报。
虽然“探究•拓展”的水平参差不齐,但参与本次活动的16个小组都在自己相应的层次上有所收获,所交的11份研究报告都有自己的精彩之处,而其中最重要的是,这些收获是由每个参与者在与他人合作中通过自己的努力获得的,其参与的过程要比他们所解决问题的本身要有价值得多。
并且,通过课堂集体交流,学生了解其他同学解决问题的思想方法、思维历程以及情感体验,各组之间相互学习、取长补短,比较各种方案的优劣,修正各自报告中的错误成分,改进不完善的地方,从而拓宽了自己的思维,丰富了自己的知识结构。
可以说,课堂交流使整个活动产生了一种“
”的放大效应。
各研究小组都能完成第1题和第2题的
(1)、
(2)两个问题,对于第(3)问题研究的方法、形成的结论以及探究的体验,概括总结如下:
第一、三、四研究小组采用取a,b的4组或7组数据求出对应的L(θ)最小值,并画出散点图,拟合函数,得出结论:
L(θ)min=
(a+b)或L(θ)min=1.4(a+b).这些结论不正确。
对于“探究体验”,他们三组未形成文字表达。
后来,和他们就此交流后得知:
他们以前解题没有这方面习惯,因此也就写不出来体验。
第二、八研究小组,通过对a,b或
的取值,由散点图,画出回归曲线,得到拟合函数:
a定b变时,
;
b定a变时,
或
。
这些结论与正确结论还有距离,但能够运用“控制变量法”,用数据拟合函数,方法尚可,精神可佳。
况且他们还获得了丰富的研究体验:
“经过曲折的过程,大家都奉献了自己的力量,意识到合作的重要性,以及考虑问题的全面性”;
“希望老师以后可以更多的提供这样的机会,提高解决问题的能力”;
“我们感到自己的知识还是相当有限的。
但我们相信,随着学习知识的深入,今后我们一定会有更好、更精确的解决问题的方法”。
他们也提出“困难是讨论时间少,无法打印图像”。
讨论时间少是实话,在目前学生承受沉重学业负担的背景下,他们能够自己支配,特别是几个人同时研究的时间确实很少。
好在,从六月下旬开始我省切实推进中小学规范办学,晚自习、周末、寒暑假学生都有了自主支配的时间,但愿这一举措能够对培养学生自主学习习惯、提高学生探究问题能力提供时间的保证。
至于无法打印图像问题,我们老师是可以帮助解决的。
由于是第一次进行这样的学习活动,有的同学碍于面子,不好意思找老师帮忙打印。
第五、六、七、九、十研究小组,采集具体数值,运用定性分析的方法,也得到了一些结论,如:
“当0<
b<
a时,
当a=b时,
当0<
a<
b时,
”及“
”。
前者是正确的,后者是错误的。
他们几组也表达了较丰富的探究体验:
“组员大力合作,分工明确,充满了欢乐”;
“在探究过程中也遇到过困难,但在合作中问题被逐步解决,心中豁然开朗,体会到了探究性学习的快乐和合作的重要性”;
“通过本次探究,我们明白了要乐于观察生活,善于发现问题,勇于探索,从司空见惯的现象入手,加强合作交流,以获得更多的知识与学习乐趣,并将结果广泛应用于实际”;
“课本上‘探究·
拓展’问题是我们数学学习的拓展,深入研究对现在以及今后的学习都有很大帮助。
但往往会受到某些条件限制,不能得到精确结果。
自从使用图形计算器,这些问题都能迎刃而解,可以说它使我们更接近成功的大门。
比如作图像或是找规律一类问题,通过图形计算器,图像和规律便清晰地呈现在眼前,大大加快了我们研究的进程。
我相信通过图形计算器,可以对这类问题研究得更透彻,帮助会更大”。
最漂亮的报告是第11组。
“通过观察图像,朱马克首先发现该函数在
这一段上存在最小值,并提出对a,b的值进行分类讨论……通过初步探索,我们发现了一些很有意思的事情:
只要a,b的取值相同,函数取得最小值时x的取值总是相同的。
于是一个猜测在我们中间产生了:
必然是一个与
有关的实数”。
多么敏锐的直觉力!
多么宝贵的数学素质!
读到这一段,我们不由得产生强烈的震撼:
我们平时的那种以传授、模仿、记忆为主要特征的“数学教育”有多么大的缺失!
面对课程改革的新要求,我们要做的事情太多了!
“那么究竟f(x)取最值的时候x与a,b呈现什么样的关系呢?
我们继续探索,可是进展缓慢。
朱马克甚至认为这是不可能有关系的,可是朱舸坚信这里面一定隐藏着一个秘密,它的答案也必定是惊人的!
我也比较赞同朱舸的看法,事物的看起来显然的背后必然存在着某些不平凡,事物的本质就是这样的。
无论是牛顿由苹果落地想到的万有引力还是普朗克研究黑体辐射时提出的“能量子假说”,全都告诉我们没有什么看似显然的东西是显然的,其中的必然一定要经历艰苦的探索。
我和朱舸开始了更深层次的思考,而朱马克就此放弃了。
各种方法在脑海中不停的闪过……
导数!
这个名词突然间像幽灵一样从我的头脑中跳跃出来,我兴奋地告诉了朱舸,于是一段艰辛的计算与探究过程开始了……
……
这便是函数取最小值时x的值!
可它真的是在
的区间上吗?
没问题,利用图形计算器可以解决这个问题,画出f(x)=arctanx的图像,可以看出该函数是有界的,又有
>
0,巧合的是
的一条渐近线恰好为
,这就意味着无论a,b取何值,该函数的最小值都是在
时取得!
Wehavemadegreatprogress!
我和朱舸高兴地情不自禁跩起了洋文。
当初我们浏览到这一段时,禁不住笑了起来,果不其然,在课堂交流他们讲到这一段时,在全班也引起了哄堂大笑!
这些可爱的孩子,报告里也不知道“掩饰”一下,原原本本地透露出各自的性格和想法!
“就在这时,朱马克也加入了,他只说了一句话,我们就又陷入了沉思之中。
‘只知道x的值,那么函数值此时是多少呢?
’
只好再次计算……
由于对反三角函数的性质不是特别的了解,只好把
恢复为
代入到f(x)中……
即L(θ)min=
,这便是最终的结果!
一个简洁的式子!
就好像是爱因斯坦和他的
一样的简洁而又优美!
可是这个结果正确吗?
图形计算器又帮了我们一个大忙,我们代入几组数据进行检验,结果完全相同。
数学的魅力就在于此,由一个复杂的毫无头绪的式子变换为如此简洁的结果,数学的解题过程完全可以说是一次审美的体验。
太精彩了!
同学们遇到自己不熟悉的内容,会“迂回”,转化为自己熟悉的形式;
他们会用图形计算器随时验证自己的想法;
他们不局限于老师的传授,会通过各种形式在课堂之外获取知识;
他们在艰苦探索中每获得一点成就会高兴地跳起来,“情不自禁跩起了洋文”,觉得他们的成果“就好像爱因斯坦的E=mc2一样的简洁而优美”,兴奋之情洋溢于表!
看到这些饱含真情实感而又激情四溢的文字,我们觉得新鲜而兴奋。
我们再一次深深被孩子们的创造力所感动,再一次被孩子们的审美能力所感动,而且,我们发现,全班同学以及参加我们这次交流活动数学教研组的全体教师也深深地被感染!
3课后访谈
第11组报告的两个结论绝妙,精美!
作为教师,我们只能用完美、精彩来形容这份报告了!
我们惊讶于得到如此完美结果的同时,很想知道:
现在高一还未学习导数,为什么会联想到导数?
于是在课堂交流结束后(在上课前浏览报告时,我们赞叹的同时耐心地等待着课上交流后再询问,目的是希望同学们在交流时能体现他们在探索中的原汁原味的思维历程),便迫不及待地和第十一组三人聊了起来:
师:
课本中还没学到导数,你们怎么知道导数的?
杨峻(组长):
在初三时看过导数方面的书,进入高一后,他(朱舸)妈妈又提供一本《高等数学》,自己翻阅一下。
朱舸:
在初二下学期整理书籍时翻看到“导数”,后来,高一寒假时进行了完整地学习。
朱马克:
这次研究问题之前,在网上查过导数的概念。
能记住导数的哪些内容?
杨峻:
记得的不多。
几个简单的常用函数的求导公式能记住。
我们当时特意找来参考书去查找公式。
知道极限、导数的定义,导数的求法,导数在函数方面的运用。
能记住对数函数、幂函数、三角函数的求导公式。
除导数的概念外,其他内容没有看。
4几点体会
4.1探究学习的意义
在传统意义的课堂教学下,学生课内外沉入题海,解题往往是套用方法,机械模仿,囫囵吞枣,耗时低效。
同一问题反复练习,反复出错,纠而不正,已成司空见惯。
更可怕的是学生渐渐地失去了学习的兴趣,思考的习惯和钻研的乐趣。
经过这次尝试,使我们看到了内心期盼已久的景象:
学生利用课余时间钻研问题,当个人遇到困难时,小组内合作互助,相互激励,激发了内在潜能,体验数学发现和创造的历程,从而对数学产生浓厚的兴趣。
第十一组在完成报告交给老师时说:
他们熬到了凌晨2点。
然而他们兴奋不已,他们领略到科学家发明一样的满足与自豪,一点也不过分。
这也许正是探究学习给予我们学生最好的礼物!
4.2学习方式的变革
在长期的应试教育模式下,学生习惯于被动接受、简单模仿、强行记忆和重复训练这种被动的学习方式。
师生疲惫不堪,无兴趣可言。
借助图形计算器,推行探究式学习,课内外结合,促使学生积极思考,主动构建,互助合作,激发潜能,战胜困难,勇往直前。
促进了创新意识和实践能力的培养,也必将促进学生的全面和谐地发展。
在此过程中教师成为学生进行数学探究活动的组织者、指导者、合作者。
4.3系列化研究
这次选用《必修4》第一章三角函数中一题为研究问题,我们还将根据课本中“探究·
拓展”问题的特点,精心选题,或适当改编,开展系列化探究活动,不断总结经验,以期形成一些研究模式在校内推广。
4.4存在问题
尽管这次探究活动给我们带来了惊喜与兴奋,但是也不得不看到以下问题有待后续研究中解决:
(1)参与度需提高。
有5组在上课交流前仍未完成研究报告,有的组即使上交报告,从课堂交流可以看出,有的成员研究不积极,不深入。
还有三个组没有探究体验的文字表达,也说明对问题的探究还较肤浅,无法呈现研究问题的感受。
(2)交流需训练。
上课交流时,多数是组长汇报,其他成员陪站,而且有的组长语言表达不够清晰、自然、流畅,需多锻练。
(3)基础需夯实。
在研究报告中出现一些错误结论,这也暴露出作为实验班的学生,基础还不够扎实,还需夯实。
(4)方法需改进。
研究问题的方法和手段还需改进。
一些同学遇到困难时,不能主动钻研,不善于请教,不会查阅资料,从而导致停止不前。
这次活动中,第十一组的出色表现给全体同学做出示范,我们号召全班同学向他们学习如何有效地克服困难,取得进展,迈向成功。
(5)我们对这次活动的组织也有缺陷,对可能出现的问题估计不足。
特别是在事后教研组讨论会上,有的老师建议,对问题的开放程度能不能再大一些,让学生自己提出问题并解决问题。
这反映出我们的教学观念还比较保守,潜意识中总习惯于由教师布置任务、学生完成任务,甚至在其他教师提出这个建议时我们还在为自己辩解:
学生提不出问题怎么办,学生提出稀奇古怪的问题怎么办等等。
我们真切感受到,在这次我们探究性学习活动中,受到教育的不只是学生,还有我们自己。
参考文献:
1中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准.北京:
人民教育出版社,2003
2普通高中课程标准实验教科书·
数学必修4.南京:
江苏教育出版社,2008,49
3刘兼,孙晓天数学课程标准(实验稿)解读北京:
北京师范大学出版社,2002
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- 运用 图形 计算器 课本 问题 进行 探究 拓展 尝试
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