教案 高教版《数学》基础模块《71 平面向量的概念及线性运算》.docx

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教案高教版《数学》基础模块《71平面向量的概念及线性运算》

7、1平面向量的概念及线性运算

【教学目标】

知识目标：

1、理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量。

2、掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

　　3、了解向量的线性运算性质及其几何意义。

能力目标：

通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力。

【教学重点】

向量的线性运算。

【教学难点】

已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件。

【教学内容】

从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念。

向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向。

教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向。

数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a＞b”没有意义，而“︱a︱＞︱b︱”才是有意义的。

向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的。

即a-b=a+（-b），它可以通过几何作图的方法得到，即a-b可表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。

作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点。

实数乘以非零向量a，是数乘运算，其结果记作，它是一个向量，其方向与向量a相同，其模为的倍。

由此得到。

对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a、b”与“”等条件。

【课时安排】

2课时。

【教学过程】

一、导入

如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？

图7－1

二、定义

在数学与物理学中，有两种量。

只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等。

既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等。

1、平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小。

如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点。

以A为起点，B为终点的向量记作。

也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作。

图7－2

2、向量的大小叫做向量的模。

向量a,的模依次记作，。

3、零向量：

长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行。

零向量。

由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

4、单位向量：

模为1个单位长度的向量，向量为单位向量。

5、平行向量（共线向量）

方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作。

由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

　　数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。

6、相等向量

　　长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为。

大小相等，方向相同。

例1、一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处朝北偏东45°方向飞行200km，两架飞机的位移相同吗？

分别用有向线段表示两架飞机的位移。

解位移是向量。

虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不同，所以两架飞机的位移不相同。

两架飞机位移的有向线段表示分别为图7-3中的有向线段a与b。

图7-3

思考

说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量（小方格为1）。

图7−4中的平行向量与，方向相同，模相等；平行向量与，方向相反，模相等。

我们所研究的向量只有大小与方向两个要素。

当向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等，记作a=b。

也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量。

与非零向量的模相等，且方向相反的向量叫做向量的负向量，记作。

规定：

零向量的负向量仍为零向量。

显然，在图7－4中，=，=－。

例2、在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点。

（1）找出与向量相等的向量；

（2）找出向量的负向量；

（3）找出与向量平行的向量。

分析要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反。

解由平行四边形的性质，得

（1）=；

（2）=,；

（3）//,//，//。

练习

1、如图，ABC中，D、E、F分别是三边的中点，试写出

（1）与相等的向量；

（2）与共线的向量．

2、如图，O点是正六边形ABCDEF的中心，试写出

（1）与相等的向量；

（2）的负向量；（3）与共线的向量。

三、向量的运算

王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500m到达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60°角方向行走200m到达学校（C处）（如图7－6）。

王涛同学这两次位移的总效果是从家（A处）到达了学校（C处）。

1、向量的加法

位移叫做位移与位移的和，记作=+。

一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A（如图7－6），依次作=a,=b，则向量叫做向量a与向量b的和，记作a＋b，即

a＋b=＋=（7．1）

求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则。

观察图7－7可以看到：

依照三角形法则进行向量a与向量b的加法运算，运算的结果仍然是向量，叫做a与b的和向量。

其和向量的起点是向量a的起点，终点是向量b的终点。

如图7－9所示，ABCD为平行四边形，由于=，根据三角形法则得

＋=＋=

这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和。

这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则。

平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：

（1）a＋0=0＋a=a；a＋（−a）=0；

（2）a＋b=b＋a；

（3）（a＋b）＋c=a＋（b＋c）。

例3、一艘船以12km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5km/h，求该船的实际航行速度。

解如图7－10所示，表示船速，为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，是船的实际航行速度，显然

==13。

又，利用计算器求得。

即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线（水流方向）的夹角约。

例4、用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k，两条绳子与垂线的夹角为，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力与的大小。

分析由于两条同样的绳子与竖直垂线所成的角都是，所以．解决问题不考虑其它因素，只考虑受力的平衡，所以.

解利用平行四边形法则，可以得到

，

所以

．

练习

练习7.1.2

1、如图，已知a，b，求a＋b。

2、填空（向量如图所示）：

（1）a＋b=_____________,

（2）b＋c=_____________,

（3）a＋b＋c=_____________。

3、计算：

（1）＋＋；

（2）＋＋。

2、向量的减法

与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差，即

a−b=a＋（−b）。

设a，b，则

。

即=（7．2）

观察图7－13可以得到：

起点相同的两个向量a、b，其差a－b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a的终点。

例5已知如图7－14

（1）所示向量a、b，请画出向量a－b。

解如图7－14

（2）所示，以平面上任一点O为起点，作=a，=b，连接BA，则向量为所求的差向量，即

=a－b。

练习

1、填空：

（1）=_______________，

（2）=______________，

（3）=______________。

2、如图，在平行四边形ABCD中，设=a,=b，试用a,b表示向量、、．

3、向量的数乘

观察图7－15可以看出，向量与向量a共线，并且

＝3a。

图7−15

一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的模为

（7．3）

若0，则当＞0时，a的方向与a的方向相同，

当＜0时，a的方向与a的方向相反。

由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当时，有

（7．4）

一般地，有

0a=0,0=0。

数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a,b及任意实数，向量数乘运算满足如下的法则：

【思考】

请画出图形来，分别验证这些法则。

向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中。

但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的。

例6、在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图7－16，＝a，＝b，试用a,b表示向量、。

图7－16

分析因为,，所以需要首先分别求出向量与。

解＝a＋b,＝b−a，

因为O分别为AC，BD的中点，所以

（a＋b）＝a＋b，

＝＝（b−a）＝−a+b。

例6中，a＋b和−a+b都叫做向量a，b的线性组合，或者说，、可以用向量a，b线性表示。

一般地，a＋b叫做a,b的一个线性组合（其中,均为系数）。

如果l＝a＋b，则称l可以用a，b线性表示。

向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算。

练习

1、计算：

（1）3（a−2b）－2（2a＋b）；

（2）3a−2（3a−4b）＋3（a−b）。

2、设a,b不共线，求作有向线段，使＝（a＋b）。

小结

当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，这种量叫做向量（矢量）

向量的大小叫做向量的模．向量a,的模依次记作，。

a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等，记作a=b。

作业

1、书面作业：

教材习题7．1A组（必做）；7．1B组（选做）

2、实践调查：

试着用向量的观点解释生活中的一些问题