精品高考数学压轴题命题区间四数列增分点 2 数列问题新情境理解题意最关键.docx
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精品高考数学压轴题命题区间四数列增分点2数列问题新情境理解题意最关键
【精品】2019年高考数学压轴题命题区间四★数列★★
增分点 数列问题新情境,理解题意最关键
新定义型数学试题,背景新颖、构思巧妙,主要通过定义一个新概念或约定一种新运算,或给定一个新模型来创设新的问题情境,要求我们在充分阅读题意的基础上,依据题中提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,从而顺利地解决问题,这类题型能有效地区分学生的思维能力和学习能力.
[典例] (2016·全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{an}如下:
{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于“1”的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有( )
A.18个 B.16个
C.14个D.12个
[方法演示]
法一:
列表法
根据题意得,必有a1=0,a8=1,则将0,1进行具体的排法一一列表如下:
由上述表格可知,不同的“规范01数列”共有14个.
法二:
列举法
根据题意可得,必有a1=0,a8=1,而其余的各项:
a1,a2,…,a8中有三个0和三个1,并且满足对任意k≤8,a1,a2,…,a8中“0”的个数不少于“1”的个数.可以一一列举出不同“规范01数列”,除第一项和第八项外,中间六项的排列如下:
000111,001011,001101,001110,010011,010101,010110,011001,011010,100011,100101,100110,101001,101010,共14个.
(理)法三:
分类计数法
根据题意可得该“规范01数列”共有八项,其中a1=0,a8=1,则不同的“规范01数列”的前四项按照“0”的个数进行分类讨论:
若前四项全为0,则后四项一定全为1,这样的“规范01数列”只有1个;若前四项有3个0,则前四项的排列有3种,后四项的排列也有3种,这样的“规范01数列”有3×3=9个;若前四项有2个0,则前四项的排列有2种,后四项的排列也有2种,这样的“规范01数列”有2×2=4个.故不同的“规范01数列”的总数为14种.
(理)法四:
填“空”格法
根据题意可得该“规范01数列”共有八项,其中,a1=0,a8=1,则不同的“规范01数列”采用“0,1”填“空”的方式计数.具体如下:
将“规范01数列”的八个项按照序号从小到大的方式以“空”格形式表示,再用“0,1”去填“空”格.可以得到一些不同的“规范01数列”.
第7个“空”格填“1”,则其余5个“空”格只需选2个“空”格填“1”,然后再排除第2个和第3个“空”格连排“1”的情况,有C-1=9(种);
第7个“空”格填“0”,显然第6个“空”格只能填“1”,再对第5个“空”格分类讨论:
若第5个“空”格填“0”,第4个“空”格只能填“1”的方法只有2种;若第5个“空”格填“1”,那么最后一个“1”可以任意排的方法只有3种.故不同的“规范01数列”共有9+2+3=14种.
答案:
C
[解题师说]
可以从以下三个方面解决此类问题.
(1)提取新定义的信息,明确新定义的名称和符号;
(2)深刻理解新定义的概念、法则、性质,纵横联系探求解题方法,比较相近知识点,明确不同点;
(3)对新定义中提取的知识进行等价转换,其中提取、化归与转化是解题的关键,也是解题的难点.
新定义问题的解题思路为:
①若新定义是运算法则,直接按照运算法则计算即可;
②若新定义是性质,要判断性质的适用性,能否利用定义外延;也可用特殊值排除等方法.
[应用体验]
1.(2018·茂名一模)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:
“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?
”意思是:
“现有一根金箠,长五尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤,在细的一端截下1尺,重2斤,问依次每一尺各重多少斤?
”根据上题的已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,问第二尺与第四尺的重量之和为( )
A.6斤 B.9斤
C.9.5斤D.12斤
解析:
选A 依题意,金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列,设首项a1=4,则a5=2,由等差数列的性质得a2+a4=a1+a5=6,所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤.
2.已知数列{an}中,a1=,an+1=[an]+([an]与〈an〉分别表示an的整数部分与小数部分),则〈a2018〉=( )
A.-1 B. C.-1 D.
解析:
选B 因为a1=,an+1=[an]+,所以[a1]=1,〈a1〉=-1,所以a2=1+=2+,a3=2+=4+(-1),a4=4+=5+,a5=5+=7+(-1),a6=7+=8+,…,〈a2n-1〉=-1,〈a2n〉=,所以〈a2018〉=.
一、选择题
1.在数列{an}中,若存在非零整数T,使得am+T=am对于任意的正整数n均成立,那么称数列{an}为周期数列,其中T叫做数列{an}的周期.若数列{xn}满足xn+1=|xn-xn-1|(n≥2,n∈N),如x1=1,x2=a(a∈R,a≠0),当数列{xn}的周期最小时,该数列的前2018项的和是( )
A.672 B.673
C.1344D.1346
解析:
选D 要使周期最小,即使得第一项之后的各项中尽早出现1,又已知第二项不应是0,所以1,0,1,0不符合.所以1,1,0,1,1,0,…,周期为3.又2018=3×672+2,所以S2018=1+1+2×672=1346.
2.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:
“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?
”意思是:
一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A.1盏B.3盏
C.5盏D.9盏
解析:
选B 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列,记为{an},则前7项的和S7=381,公比q=2,依题意,得=381,解得a1=3.
3.《九章算术》是我国古代数学名著,在其中有道“竹九节问题”:
“今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升.问中间二节欲均容各多少?
”意思为:
今有竹九节,下三节容量和为4升,上四节容量之和为3升,且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列).问每节容量各为多少?
在这个问题中,中间一节的容量为( )
A.B.
C.D.
解析:
选C 设从最下节往上的容量构成等差数列{an},公差为d.则即
解得a1=,d=-.
中间为第五节,即a5=a1+4d=+4×=.
4.对于一切实数x,令[x]为不大于x的最大整数,则函数f(x)=[x]称为高斯函数或取整函数.若an=f,n∈N*,Sn为数列{an}的前n项和,则S3n=( )
A.n2-nB.n2+n
C.3n2-2nD.n2-n
解析:
选A 由题意,当n=3k,n=3k+1,n=3k+2时均有an=f==k,所以S3n=0+0+1+1++2+2++…+(n-1)+(n-1)+(n-1+n=3××(n-1)+n=n2-n.
5.(2018·泉州模拟)若存在常数k(k∈N*,k≥2),q,d,使得无穷数列{an}满足an+1=则称数列{an}为“段比差数列”,其中常数k,q,d分别叫做段长、段比、段差.设数列{bn}为“段比差数列”.若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3,则b2019=( )
A.3B.4
C.5D.6
解析:
选D 法一:
∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3,∴b2017=0×b2016=0,∴b2018=b2017+3=3,∴b2019=b2018+3=6.
法二:
∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3,∴b1=1,b2=4,b3=7,b4=0×b3=0,b5=b4+3=3,b6=b5+3=6,b7=0×b6=0,……,∴当n≥4时,{bn}是周期为3的周期数列.∴b2019=b6=6.
6.由n(n≥2)个不同的数构成的数列a1,a2,…,an中,若1≤i A.2525B.5050 C.2475D.4950 解析: 选D 因为an=-2n+19(1≤n≤100,n∈N*),故{an}为单调递减数列,所以逆序数为99+98+…+1==4950. 7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=3,a3+a4+a5=27,定义x=[x]+〈x〉,其中[x]为实数x的整数部分,〈x〉为x的小数部分,且0≤〈x〉<1,记bn=〈〉,则数列{bn}的前n项和Tn为( ) A.B. C.D. 解析: 选D 由a3+a4+a5=27可得a4=9, 设{an}的公差为d,则3d=6,即d=2, 故an=2n+1,Sn=n2+2n, ===4+, 当n=1时,b1=〈〉=〈4+1〉=0, 当n≥2时,易知0<<1, 故bn==(n≥2), 故Tn=b1+b2+b3+…+bn =0+-+-+-+…+-+- =+-- =(n≥2), 当n=1时也满足,故选D. 8.已知在△ABC中,A1,B1分别是边BA,CB的中点,A2,B2分别是线段A1A,B1B的中点,……,An,Bn分别是线段An-1A,Bn-1B(n∈N*,n>1)的中点,设数列{an},{bn}满足: =+(n∈N*),给出下列四个命题,其中假命题是( ) A.数列{an}是单调递增数列,数列{bn}是单调递减数列 B.数列{an+bn}是等比数列 C.数列(n>1,n∈N*)既有最小值,又有最大值 D.在△ABC中,若C=90°,CA=CB,则||最小时,an+bn= 解析: 选C 由B==(-),=,=+B=+(-)=+,所以an=1-,bn=-1,则数列{an}是单调递增数列,数列{bn}是单调递减数列,故A正确;数列{an+bn}中,an+bn=,a1+b1=,即数列{an+bn}是首项为,公比为的等比数列,故B正确;当n>1时,==-1+单调递增,有最小值,无最大值,故C错误;在△ABC中,若C=90°,CA=CB,则||2=(a+b)2+2an·=(a+b)2,a+b=2+2=5×2-6×n+2=52+,当n=1时,a+b取得最小值,即当||最小时,an+bn=,故D正确. 9.(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案: 已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N: N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( ) A.440B.330 C.220D.110 解析: 选A 设第一项为第1组,接下来的两项为第2组,再接下来的三项为第3组,依此类推,则第n组的项数为n,前n组的项数和为. 由题意可知,N>100,令>100, 得n≥14,n∈N*,即N出现在第13组之后. 易得第n组的所有项的和为=2n-1,前n组的所有项的和为-n=2n+1-n-2.
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