学年数学高考二轮复习专题七第1讲坐标系与参数方程案文科.docx
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学年数学高考二轮复习专题七第1讲坐标系与参数方程案文科
第1讲 坐标系与参数方程
高考定位 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程;参数方程与普通方程的互化,常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.
真题感悟
1.(2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.
(1)设点M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.
解
(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).
由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.
由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cosθ(ρ>0).
因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).
由题设知|OA|=2,ρB=4cosα,于是△OAB的面积
S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cosα·
=2≤2+.
当α=-时,S取得最大值2+.
所以△OAB面积的最大值为2+.
2.(2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).
(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.
解
(1)a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.
曲线C的标准方程是+y2=1,
联立方程解得或
则C与l交点坐标是(3,0)和.
(2)直线l的普通方程是x+4y-4-a=0.
设曲线C上点P(3cosθ,sinθ).
则P到l距离d==,
其中tanφ=.
又点C到直线l距离的最大值为.
∴|5sin(θ+φ)-4-a|的最大值为17.
若a≥0,则-5-4-a=-17,∴a=8.
若a<0,则5-4-a=17,∴a=-16.
综上,实数a的值为a=-16或a=8.
考点整合
1.直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则
2.直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的方程为ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).
几个特殊位置的直线的极坐标方程:
(1)直线过极点:
θ=α;
(2)直线过点M(a,0)(a>0)且垂直于极轴:
ρcosθ=a;
(3)直线过M且平行于极轴:
ρsinθ=b.
3.圆的极坐标方程
几个特殊位置的圆的极坐标方程:
(1)当圆心位于极点,半径为r:
ρ=r;
(2)当圆心位于M(r,0),半径为r:
ρ=2rcosθ;
(3)当圆心位于M,半径为r:
ρ=2rsinθ.
4.直线的参数方程
经过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数).
设P是直线上的任一点,则t表示有向线段P的数量.
5.圆、椭圆的参数方程
(1)圆心在点M(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为(θ为参数,0≤θ≤2π).
(2)椭圆+=1的参数方程为(θ为参数).
热点一 曲线的极坐标方程
【例1】 (2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,直线C1:
x=-2,圆C2:
(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1,C2的极坐标方程;
(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
解
(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,
所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,
C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.
(2)将θ=代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,
得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.
故ρ1-ρ2=,即|MN|=.
由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.
【迁移探究1】 本例条件不变,求直线C1与曲线C3交点的极坐标.
解 联立方程解之得θ=且ρ=-2.
所以直线C1与曲线C3交点的极坐标为.
【迁移探究2】 本例条件不变,求圆C2关于极点的对称圆的方程.
解 ∵点(ρ,θ)与点(-ρ,θ)关于极点对称,设点(ρ,θ)为对称圆上任意一点,则(-ρ,θ)在圆C2上,
∴(-ρ)2+2ρcosθ+4ρsinθ+4=0,
故所求圆C2关于极点的对称圆方程为ρ2+2ρcosθ+4ρsinθ+4=0.
探究提高 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式:
x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x2+y2,tanθ=(x≠0),要注意ρ,θ的取值范围及其影响,灵活运用代入法和平方法等技巧.
2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,可先转化为直角坐标方程,然后求解.
【训练1】 (2017·北京东城区调研)在极坐标系中,已知极坐标方程C1:
ρcosθ-ρsinθ-1=0,C2:
ρ=2cosθ.
(1)求曲线C1,C2的直角坐标方程,并判断两曲线的形状;
(2)若曲线C1,C2交于A,B两点,求两点间的距离.
解
(1)由C1:
ρcosθ-ρsinθ-1=0,
∴x-y-1=0,表示一条直线.
由C2:
ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ.
∴x2+y2=2x,则(x-1)2+y2=1,
∴C2是圆心为(1,0),半径r=1的圆.
(2)由
(1)知,点(1,0)在直线x-y-1=0上,因此直线C1过圆C2的圆心.
∴两交点A,B的连线段是圆C2的直径,因此两交点A,B间的距离|AB|=2r=2.
热点二 参数方程及其应用
【例2】 (2014·全国Ⅰ卷)已知曲线C:
+=1,直线l:
(t为参数).
(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.
解
(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).
直线l的普通方程为2x+y-6=0.
(2)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为
d=|4cosθ+3sinθ-6|.
则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tanα=.
当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为;
当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.
探究提高 1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等,往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件.
2.在与直线、圆、椭圆有关的题目中,参数方程的使用会使问题的解决事半功倍,尤其是求取值范围和最值问题,可将参数方程代入相关曲线的普通方程中,根据参数的取值条件求解.
【训练2】 (2017·郴州三模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程;
(2)若直线l与曲线C的两个交点分别为M,N,直线l与x轴的交点为P,求|PM|·|PN|的值.
解
(1)直线l的参数方程为(t为参数),
消去参数t,得x+y-1=0.
曲线C的参数方程为(θ为参数),
利用平方关系,得x2+(y-2)2=4,则x2+y2-4y=0.
令ρ2=x2+y2,y=ρsinθ,代入得C的极坐标方程为ρ=4sinθ.
(2)在直线x+y-1=0中,令y=0,得点P(1,0).
把直线l的参数方程代入圆C的方程得t2-3t+1=0,
∴t1+t2=3,t1t2=1.
由直线参数方程的几何意义,|PM|·|PN|=|t1·t2|=1.
热点三 极坐标与参数方程的综合应用
【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
解
(1)C1的普通方程为+y2=1,曲线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.
(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cosα,sinα).
因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值.
又d(α)==,当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,
最小值为,此时点P的直角坐标为.
探究提高 1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程.
2.数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用ρ和θ的几何意义,直接求解,能达到化繁为简的解题目的.
【训练3】 (2017·哈尔滨模拟)已知曲线C的参数方程为(θ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin=4.
(1)写出曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程;
(2)若射线θ=与曲线C交于O,A两点,与直线l交于B点,射线θ=与曲线C交于O,P两点,求△PAB的面积.
解
(1)由(θ为参数),消去θ.
普通方程为(x-2)2+y2=4.
从而曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ=0,即ρ=4cosθ,
因为直线l的极坐标方程为ρsin=4,即ρsinθ+ρcosθ=4,
∴直线l的直角坐标方程为x+y-8=0.
(2)依题意,A,B两点的极坐标分别为,,
联立射线θ=与曲线C的极坐标方程得P点极坐标为,
∴|AB|=2,
∴S△PAB=×2×2sin=2.
1.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.
2.要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程,如:
圆、椭圆、及过一点的直线,在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答.
3.过定点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数),t的几何意义是P的数量,即|t|表示P0到P的距离,t有正负之分.使用该式时直线上任意两点P1,P2对应的参数分别为t1,t2,则|P1P2|=|t1-t2|,P1P2的中点对应的参数为(t1+t2).
1.(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.
解 由消去t.
得l的普通方程为x-2y+8=0,
因为点P在曲线C上,设点P(2s2,2s).
则点P到直线l的距离d==,
∴当s=时,d有最小值=.
2.(2017·贵阳调研)以直角坐标系中的原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,已知曲线的极坐标方程为ρ=.
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)过极点O作直线l交曲线于点P,Q,若|OP|=3|OQ|,求直线l的极坐标方程.
解
(1)∵ρ=,ρsinθ=y,
∴ρ=化为ρ-ρsinθ=2,
∴曲线的直角坐标方程为x2=4y+4.
(2)设直线l的极坐标方程为θ=θ0(ρ∈R),
根据
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