中考专题解析切线证明Word文档下载推荐.docx
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AB=OB.
∵BD=OB,∴BC=
OD.∴∠OCD=90º
∴DC是⊙O的切线.
【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论,特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线.
【例2】如图2,已知AB为⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BC,连接OC,弦AD∥OC.求证:
CD是⊙O的切线.
本题中既有圆的切线是已知条件,又证明另一条直线是圆的切线.也就是既要注意运用圆的切线的性质定理,又要运用圆的切线的判定定理.欲证明CD是⊙O的切线,只要证明∠ODC=90º
连接OD.
∵OC∥AD,∴∠1=∠3,∠2=∠4.
∵OA=OD,∴∠1=∠2.∴∠3=∠4.
又∵OB=OD,OC=OC,
∴△OBC≌△ODC.∴∠OBC=∠ODC.
∵BC是⊙O的切线,∴∠OBC=90º
.∴∠ODC=90º
【例3】如图2,已知AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D.求证:
AC平分∠DAB.
利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径.
连接OC.
∵CD是⊙O的切线,∴OC⊥CD.
∵AD⊥CD,∴OC∥AD.∴∠1=∠2.
∵OC=OA,∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.
∴AC平分∠DAB.
【评析】已知一条直线是某圆的切线时,切线的位置一般是确定的.在解决有关圆的切线问题时,辅助线常常是连接圆心与切点,得到半径,那么半径垂直切线.
【例4】 如图1,B、C是⊙O上的点,线段AB经过圆心O,连接AC、BC,过点C作CD⊥AB于D,∠ACD=2∠B.AC是⊙O的切线吗?
为什么?
解:
AC是⊙O的切线.
理由:
连接OC,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠B.
∵∠COD是△BOC的外角,
∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B.
∵∠ACD=2∠B,
∴∠ACD=∠COD.
∵CD⊥AB于D,
∴∠DCO+∠COD=90°
∴∠DCO+∠ACD=90°
即OC⊥AC.
∵C为⊙O上的点,
∴AC是⊙O的切线.
【例5】如图2,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D是AB的延长线上的一点,AE⊥DC交DC的延长线于点E,且AC平分∠EAB.求证:
DE是⊙O的切线.
证明:
连接OC,则OA=OC,
∴∠CAO=∠ACO,
∵AC平分∠EAB,
∴∠EAC=∠CAO=∠ACO,
∴AE∥CO,
又AE⊥DE,
∴CO⊥DE,
∴DE是⊙O的切线.
二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段,证明此垂线段的长等于半径
【例6】 如图3,AB=AC,OB=OC,⊙O与AB边相切于点D.
求证:
AC是⊙O的切线
证明:
连接OD,作OE⊥AC,垂足为E.
∵AB=AC,OB=OC.
∴AO为∠BAC角平分线,∠DAO=∠EAO
∵⊙O与AB相切于点D,
∴∠BDO=∠CEO=90°
.∵AO=AO
∴△ADO≌△AEO,所以OE=OD.
∵OD是⊙O的半径,∴OE是⊙O的半径.
∴⊙O与AC边相切.
【例7】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D,交AC于E,B为切点的切线交OD延长线于F.
EF与⊙O相切.
连结OE,AD.
∵AB是⊙O的直径,
∴AD⊥BC.
又∵AB=BC,
∴∠3=∠4.
∴BD=DE,∠1=∠2.
又∵OB=OE,OF=OF,
∴△BOF≌△EOF(SAS).
∴∠OBF=∠OEF.
∵BF与⊙O相切,
∴OB⊥BF.
∴∠OEF=900.
∴EF与⊙O相切.
说明:
此题是通过证明三角形全等证明垂直的
【例8】如图,AD是∠BAC的平分线,P为BC延长线上一点,且PA=PD.
PA与⊙O相切.
证明一:
作直径AE,连结EC.
∵AD是∠BAC的平分线,∴∠DAB=∠DAC.
∵PA=PD,∴∠2=∠1+∠DAC.
∵∠2=∠B+∠DAB,∴∠1=∠B.
又∵∠B=∠E,∴∠1=∠E
∵AE是⊙O的直径,
∴AC⊥EC,∠E+∠EAC=900.
∴∠1+∠EAC=900.即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切.
证明二:
延长AD交⊙O于E,连结OA,OE.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴BE=CE,
∴OE⊥BC.
∴∠E+∠BDE=900.
∵OA=OE,
∴∠E=∠1.
∵PA=PD,
∴∠PAD=∠PDA.
又∵∠PDA=∠BDE,
∴∠1+∠PAD=900
即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切
此题是通过证明两角互余,证明垂直的,解题中要注意知识的综合运用.
【例9】如图,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于D,DM⊥AC于M
DM与⊙O相切.
连结OD.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵OB=OD,
∴∠1=∠B.
∴∠1=∠C.
∴OD∥AC.
∵DM⊥AC,
∴DM⊥OD.
∴DM与⊙O相切
连结OD,AD.
∵AB是⊙O的直径,
∴AD⊥BC.
又∵AB=AC,
∴∠1=∠2.
∴∠2+∠4=900
∵OA=OD,
∴∠1=∠3.
∴∠3+∠4=900.
即OD⊥DM.
∴DM是⊙O的切线
证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的,解题中注意充分利用已知及图上已知.
【例10】如图,已知:
AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,且∠CAB=300,BD=OB,D在AB的延长线上.
DC是⊙O的切线
连结OC、BC.
∵OA=OC,
∴∠A=∠1=∠300.
∴∠BOC=∠A+∠1=600.
又∵OC=OB,
∴△OBC是等边三角形.
D
∴OB=BC.
∵OB=BD,
∴OB=BC=BD.
∴OC⊥CD.
∴DC是⊙O的切线.
此题解法颇多,但这种方法较好.
【例12】如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,且OA2=OD·
OP.
PC是⊙O的切线.
连结OC
∵OA2=OD·
OP,OA=OC,
∴OC2=OD·
OP,
.
又∵∠1=∠1,
∴△OCP∽△ODC.
∴∠OCP=∠ODC.
∵CD⊥AB,
∴∠OCP=900.
∴PC是⊙O的切线.
此题是通过证三角形相似证明垂直的
【例13】如图,ABCD是正方形,G是BC延长线上一点,AG交BD于E,交CD于F.
CE与△CFG的外接圆相切.
分析:
此题图上没有画出△CFG的外接圆,但△CFG是直角三角形,圆心在斜边FG的中点,为此我们取FG的中点O,连结OC,证明CE⊥OC即可得解.
取FG中点O,连结OC.
∵ABCD是正方形,
∴BC⊥CD,△CFG是Rt△
∵O是FG的中点,
∴O是Rt△CFG的外心.
∵OC=OG,
∴∠3=∠G,
∵AD∥BC,
∴∠G=∠4.
∵AD=CD,DE=DE,
∠ADE=∠CDE=450,
∴△ADE≌△CDE(SAS)
∴∠4=∠1,∠1=∠3.
∵∠2+∠3=900,
∴∠1+∠2=900.
即CE⊥OC.
∴CE与△CFG的外接圆相切
二、若直线l与⊙O没有已知的公共点,又要证明l是⊙O的切线,只需作OA⊥l,A为垂足,证明OA是⊙O的半径就行了,简称:
“作垂直;
证半径”
【例14】如图,AB=AC,D为BC中点,⊙D与AB切于E点.
AC与⊙D相切.
连结DE,作DF⊥AC,F是垂足.
∵AB是⊙D的切线,
∴DE⊥AB.
∵DF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=900.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
又∵BD=CD,
∴△BDE≌△CDF(AAS)
∴DF=DE.
∴F在⊙D上.
∴AC是⊙D的切线
连结DE,AD,作DF⊥AC,F是垂足.
∵AB与⊙D相切,
∴DE⊥AB.
∵AB=AC,BD=CD,
∴∠1=∠2.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
∴F在⊙D上.
∴AC与⊙D相切.
证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的,证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的,这类习题多数与角平分线有关.
【例15】已知:
如图,AC,BD与⊙O切于A、B,且AC∥BD,若∠COD=900.
CD是⊙O的切线.
连结OA,OB,作OE⊥CD于E,延长DO交CA延长线于F.
∵AC,BD与⊙O相切,
∴AC⊥OA,BD⊥OB.
∵AC∥BD,
∴∠F=∠BDO.
又∵OA=OB,
∴△AOF≌△BOD(AAS)
∴OF=OD.
∵∠COD=900,
∴CF=CD,∠1=∠2.
又∵OA⊥AC,OE⊥CD,
∴OE=OA.
∴E点在⊙O上.
∴CD是⊙O的切线.
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