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9.6
12.9
17.1
23.2
I860
1870
1880
1890
1900
1910
1920
31.4
38.6
50.2
62.9
76.0
92.0
106.5
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
123
132
151
179
204
227
251
281
【模型建立】首先我们可用微积分的思想将连续的微分方程离散化,
不妨设x(n)表示第n次普查所得人口数,根据logistic模型
dy/dt=r(1-y/K)y可得:
(x(n+1)—x(n))=r(1—n)K
进一步化简有
x(n+1)-X(n)_r(1x(n))
x(n)K
U=x(n+1)-x(n)
x(n)V=x(n)
rv
可得:
u=r-——
K
到r,K
运行程序:
Y(i)=(X(i+1,:
)-X(i,:
))./(X(i,:
));
End
Y=[Y,Y(i)]
运行结果运用cftool工具线性模拟:
Result
LinearmodelPoly1:
f(x)=p1*x+p2
Coefficients(with95%confideneebounds):
p1=-0.0009825(-0.001254,-0.0007108)
Goodnessoffit:
SSE:
0.05449
R-square:
0.74
AdjustedR-square:
0.727
RMSE:
0.0522
(结果显然是有误差的)
FileViewTools亶indow旦elp
再用非线性拟合,已知微分方程是dy/dt二r(1-y/K)y,它的解是
y=k/[1+(k/y(0)-1)*exp(-r*t)]
F面用非线性拟合来实现并且用最小二乘法分析,matlab程序如
下:
functiony=fun(b,t)y=b
(1)./((1+(b
(1)./3.9-1).*exp(-b
(2).*t)))
t=1:
22;
b0=[323.5,0.3178]b=nlinfit(t,y,@fun,b0);
x1=1:
plot(t,y,'
r*'
x1,fun(b,x1))er=y-fun(b,t);
Q=er*er'
;
771.3288
366.70760.2530
运行结果:
BFigg1
•—-一03
FileEditViewTns亡rtToolsDesktopWindowHelp
□da
s%e?
®
渥謠”
a□s
□0
表达式:
dy/dt=0・2530*(1-y/366・7066)*y
【模型分析】
符合美国人
通过图像可以看出我们的模拟很大程度上是比较近似的,口的增长模式,但是也是含有较大误差的。
我们采取模型的离散化将微分方程用差分来代替必须基于很多假设上,并且这种离散化容易产生离群值的点;
再用cftool工具拟合也会存在一定程度的误差。
二.体重与人体摄取能量及运动的关系
括日摄入量,日运动量,身体是否健康等。
且对于不同人,遗传因素也占据了颇为重要的地位。
本文用数学建模方法,从人体增重机理入手,抽取主要客观因素,提出适当的假设以回避次要因素的干扰,成
功简化问题。
问题重述】
肪形式贮藏的热量是100%有效,而1kg脂肪含热量10000cal.求出这个人的体重是怎样随时间变化的。
(尝试用matlab求解方程,解析解与数值解。
)
模型假设】
1.该人的能量储存形式仅考虑脂肪(生物学告诉我们,脂肪是人体主
要储能物质);
2.摄入能量向脂肪的转化以及脂肪向热能的转化率为100%;
3.该人的能量消耗只有基本代谢和健身;
4.将该人的体重直接与每天的脂肪增量相对应(这条假设或许是不合理);
5.人体健康,既不影响食量与代谢量和脂肪的转化
符号说明:
2.
E:
日基本代谢消耗量;
3.
E2n):
第n日健身消耗量;
_4
5.k:
能量向脂肪转化率(kg/cal),k为常值,此处为10'
kg/cal6.Wo:
初始体重
7.w5):
第n日体重增量(简称日增重)
【模型分析及求解】首先就,从问题的变量中寻找平衡关系:
由能量守恒知:
一个人每天摄入的能量是消耗量、剩余量之和,即
(1);
其次,每天的剩余能量对应于日增重,日增重即日脂肪增量,摄入能量向脂肪的转化以及脂肪向热能的转化率为100%,即
(2);
最后有题目条件:
在健身训练中他所消耗的大约是16cal/kg/D乘以他的体重(kg),即(3)。
E。
=+E^n)+E(n)
(2)
w(n)二kE(n)
E2(n)二16cal/kg?
(W(n-1)+W0)
运用离散差分的方法模拟:
对时间t求导:
W(t)=M0—人W(t);
E(n)正比于W(n)其比例系数为入.
然后再对未来一段时间进行模拟。
分别取30天,400天,2600天,
4000天。
运行结果:
s=325/4-85/(4*exp(t/625))
Fil*EdrtviewIn?
#rtTookDesktop\AlrtdowH#ip
QS日曲I弐'
玉鋼⑥區尿FD
【模型分析】通过第一二幅图我们可以看到,在体重较小时,我们的体重会呈直线增长,且较快。
但是三四幅图可以看出体重增加到后来灰蒙蒙的减慢甚至保持稳定。
在多条假设的前提下,该模型在一定的程度上表达出了人体增重的规律。
但是,同时由于假设较多,且部分假设的合理性有待商榷,我们不得不考虑该模型的实用性。
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