用分离变量法解常微分方程.docx
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用分离变量法解常微分方程
用分离变量法解常微分方程
用分离变量法解常微分方程
.
1直接可分离变量的微分方程
1.1形如
=(1.1)
的方程,称为变量分离方程,这里,分别是的连续函数.
如果(y)≠0,我们可将(1.1)改写成
=,
这样,变量就“分离”开来了.两边积分,得到
通解:
=+c. (1.2)
其中,c表示该常数,,分别理解为,的原函数.常数c的取值必须保证(1.2)有意义.使的是方程(1.1)的解.
例1求解方程的通解.
解:
(1)变形且分离变量:
(2)两边积分:
,
得
.
可以验证也是原方程的解,若视和是平等的,则也是原方程的解.
我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题.
例2曲线上的点处的法线与轴的交点为,且线段被轴平分.求曲线的方程.
分析:
这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线的方程,用大写的表示法线上的动点,用小写的表示曲线上的点,为过点的法线的斜率.
解:
由题意得
.
从而法线的方程为
.
又被轴平分,与轴交点的坐标为,代入上式,得
.
整理后,得
,
分离变量,解得
,
其中c为任意正数,如图1.
2变量可替换的微分方程
通过上面的介绍,我们已经知道了什么方程是变量分离方程.下面,我们再介绍几种可化为变量分离方程的类型:
2.1齐次方程
形如(1.3)
的微分方程,称为齐次微分方程.这里是的连续函数.
对方程(1.3)做变量变换
,(1.4)
即,于是
.(1.5)
将(1.4),(1.5)代入(1.3),则原方程变为
,
整理后,得到
.(1.6)
方程(1.6)是一个变量分离方程.可按前面(1.1)的方法求解,然后代回原来的变量,便得到(1.3)的解.
例3求微分方程的通解.
解:
原方程化为
,
即
,
于是,令,即,将代入该方程,得
,
整理,即有
,
分离变量,得
,
两边积分,得
,
将代回来,得
,
,
即
,其中为任意常数.
另,即也是原方程的解,但此解课包含于通解之中.故,方程的通解为.
2.2形如
(1.7)
的方程,这里均为常数.此方程经变量变换可化为变量分离方程.
我们分三种情形来讨论:
2.2.1的情形.
这时方程化为
有通解
,
其中.
2.2.2的情形.
令,这时有
是变量分离方程.
2.2.3的情形.
如果方程中不全为零,方程右端分子、分母都是的一次多项式,因此
,
.(1.8)
代表平面上两条相交直线,设交点.若令
,
.
则(2.2)化为
,
.
从而(2.1)变为
.(1.9)
因此,求解上述变量分离方程,最后代回原变量即可得原方程(2.1)的解.
如果方程(2.1)中可不必求解(2.2),直接取变换即可.
上述解题的方法也适用于比方程(2.1)更一般的方程类型
.
例4求解方程
(2.0)
解:
解方程组,
得.
于是,令
代入方程(2.4),则有
.
再令,即,则化为
,
两边积分,得
,
因此
,
代回原变量,得
,
即
.
因此,方程(2.3)的通解为
,
其中,为任意常数.
通过上述的求解,我们发现以上的方法是非常的准确的,但是对于像例5这种形式的的方程,我们发现还可以用另一种方法——凑微分进行求解.
凑微分
当方程
满足:
(2.2)
时,方程会有更简便的求解方法(全微分的知识的运用).
即:
将代入方程中,
有
即
展开,得
(2.3)
有条件(2.6)可知,
(2.4)
将(2.8)代入(2.7)中,得
.
很显然,这是一个全微分方程,从而原方程的通解为
,其中为任意常数.
例5求解方程.
解法一:
该方程属于(2.2.2)的情形.于是,令.则
所以,原方程可化为
.
这是一个分离变量方程.整理可得
.
将代入,可得
即,通解为
.其中c为任意常数.
观察例6可以发现,方程也满足条件(2.6),于是用凑微分的方法同样可以求解.
解法二:
原方程变形为
.
整理得
.
所以
.
两边积分,得原方程的通解为=C,其中C为任意常数.
以上的两种方法都是求解微分方程的常用方法,下面再介绍几种比较常见的课分离变量的方程.
2.3形如的方程也可以经变量变换化为变量分离方程,这里的均为常数.
做变量变换
,
这时有
,
即
.
是变量分离方程.而当时,为其特殊形式.
例7求解方程.
解:
因为
,(2.5)
可以化为
.
于是,令
.(2.6)
则
(2.7)
将(2.9)代入(2.11)可以知道,这是一个分离变量方程.
即
.
两边同时积分,得
.(2.8)
再将(2.10)代入(2.12),得
.
所以
整理得,
,其中C为任意常数.
2.4其他几种变量能分离的方程类型
2.4.1形如
(2.9)
的方程同样可已经变量替换化为变量分离方程.
将(2.13)变形为
(3.0)
做变量替换
.
这时有
,(3.1)
将(2.15)代入(2.14)中,得
.
是变量分离方程.
2.4.2形如
,(3.2)
的方程是变量分离方程.
做变量替换
,
则
,(3.3)
代入原方程,得
.
是变量分离方程.
2.4.3形如
,(3.4)
的方程是变量分离方程.
做变量替换
,
则,有
,(3.5)
将(2.19)代入(2.18)中,得
,
所以,原方程同样是变量可替换方程.
2.4.4形如
(3.6)
(其中、满足)的方程.
可令,方程(2.20)化为齐次方程
,
事实上,
,
由于
,
所以
,
即
,
再,设,可化为变量分离变量.
除此之外,还有一些一般形式,如可以通过变量替换化为变量分离方程求解;形如(其中M、N为齐次函数,次数可以不相同)也可通过变量替换化为变量分离方程求解.变量代换是求解一阶微分方程的一种重要方法,在一阶微分方程的初等解法中具有重要的作用.
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