初三数学一模试题分类汇编圆与相似综合及答案文档格式.docx
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,根据中垂线定理得出NB=NC,根据等腰三角形的
性质得出/NCB=ZNBC=22.5,故/ENC=ZNBC+ZNCB=45,△ENC的等腰直角三角形,根据等腰直角三角形边之间的关系得出NC=亚EC,根据AD=2EC,2NC=4三AD,AD=NC,又BN=NC,故AD=BN.
2.如图,AB为、,「的直径,C为◎。
上一点,D为BA延长线上一点,
(1)求证:
DC为90的切线;
(2)线段DF分别交AC,BC于点E,F且|二tEFS;
①0的半径为5,
飞
S111B--
气求CF的长.
【答案】
(1)解:
如图,连接OC,
:
・AB为90的直径,
■:
一ACU二4二第,
:
・088,
.:
5=/BC0,
'
JACD』B|?
•:
JICD上加。
,
二ZACD,4CA-缈"
,即』"
D-的
DC为。
0的切线
3AC
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KB中,曲-1《,一一二M
*:
AC6B(8
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•:
/CADs△ECD,
ACAD6-
-9——
BC⑪一,
设AD聂,0的,
RlJOCD中,0C?
,=。
巾,
于小不衣尸二。
。
为尸,
36
工"
1舍’或7,
“5EF=/丁|UACB=如口?
?
.:
CE<
H,
设CFa,
*/CEF=上班口,4DE?
』TFE-5'
4DF,
•:
HEJBDF,
I:
.」冬。
二T?
•ZCEDs△BFH,
CEBF|*
•"
5一而
OC,证垂直,根
(1)要证DC为。
O的切线,需添加辅助线:
连半径据直径所对的圆周角是直角,可得出/BCO+/OCA=90。
,再利用等腰三角形的性质,可得出/B=/BCO,结合已知,可推出ZOCD=90,然后利用切线的判定定理,可证得结论。
(2)根据已知圆的半径和sinB的值,可求出AB、BC的值,再证明ACADs△BCD,得出对应边成比例,得出AD与CD的比值,利用勾股定理求出AD、CD的长,再利用/CEF=45去证明CE=CF,然后证明△CEDs△BFD,得出对应边成比例,求出CF的长。
BP=AB-AP=4
J
・•.△PBQ的面积=二X4X;
4=8
当t=1时,AP=1.5,PB=4.5,BQ=3,CQ=9,DP2=AD2+AP2=2.25+144=146.25,PQ2=PB2+BQ2=29.25,DQ2=CC2+CC2=117,
.・PQ2+DQ2=DP2,
/DQP=90;
・•.△DPQ是直角三角形
•.DC//BO,
,/C=/QBO,/CDQ=/O,
QC=12-x,
.-.△CDQ^ABOQ,又CD=6,QB=x,
6x72
12-y-12-•.AO=AB+BO=6+•••/ADP=ZODP,••.12:
DO=AP:
PO,
代入解得x=0.75,
二.DP能平分/ADQ,
一点Q的速度为2cm/s,
••.P停止后Q往B走的路程为(6-0.75)=5.25cm.
・•・时间为2.625s,加上刚开始的3s,Q点的运动时间为5.625s.
(1)根据路程等于速度乘以时间得出AP=t=2,BQ=2t=4,所以BP=4进
而根据三角形的面积计算方法即可算出答案;
(2)当t=&
时,根据路程等于速度乘以时间得出AP=1.5,BQ=3,故PB=4.5,CQ=9,根据勾股定理表示出DP2,PQ2,DQ2从而根据勾股定理的逆定理判断出/DQP=90,△DPQ是直角三角形;
(3)设存在点Q在BC上,延长DQ与AB延长线交于点O,设QB的长度为x,则QC的长度为(12-x),判断出△CDg^BOQ,根据全等三角形的对应边成比例得出CQCL
君。
K,根据比例式可以用含x的式子表示出BO的长,根据角平分线的性质定理得出
12:
PO,根据比例式求出x的值,从而即可解决问题.
4.如图,点E,F分别在矩形ABCD的边AB,BC上,连接EF,将4BEF沿直线EF翻折得至MHEF,AB=8,BC=6,AE:
EB=3:
1.
图1图2图3
(1)如图1,当ZBEF=45°
时,EH的延长线交DC于点M,求HM的长;
(2)如图2,当FH的延长线经过点D时,求tan/FEH的值;
(3)如图3,连接AH,HC,当点F在线段BC上运动时,试探究四边形AHCD的面积是否存在最小值?
若存在,求出四边形AHCD的面积的最小值;
若不存在,请说明理由^
如图1中,
/D
当/昕=/T|时,易知四边形瓯密是正方形,
如图2中,连接斑.
在Ri△曲中,「宛,,做,出8
「DE-,
在Rl/白贴中,DU霹一加二々可
设BF=FH-则阶n上二中,\FC61,
在Ri△WT中,1犷=/+川,
支i\万?
-J
(3)解:
如图3中,连接d0,作"
上牝于M
18
■:
"
一…一。
-JS』皿;
二*6X8=4
•S猾立延油m-5△4的’5J汹,2,
:
|当A吊整的面积最小时,四边形H用%的面积最小,
18,8
丁当班与上&
重合时,点用到直线AC的距离最小,最小值一5一一$,
]8
,--XIQX--A
心/疗的面积的最小值-5,
:
四边形"
田?
的面积的最小值为87,无.
(1)当/BEF=45时,易知四边形EBFH是正方形,求出EM,EH的长即可解决问题.
(2)如图2中,连接DE利用勾股定理求出DE,DH,设BF=FH=x在RtADFC中,利用勾股定理即可解决问题.(3)如图3中,连接AC,彳EMLAC于M.利用相似三角
/
形的性质求出EM,由S四边形ahcd=Saach+Saadc,Saacd=2X6X8=24出当Z\ACH的面积最
小时,四边形AHCD的面积最小,可知当EH与EM重合时,点H到直线AC的距离最小,由此即可解决问题.
5.如图,以AB为直径的OO外接于4ABC,过A点的切线AP与BC的延长线交于点P,/APB的平分线分别交AB,AC于点D,E,其中AE,BD(AEvBD)的长是一
(2)在线段BC上是否存在一点M,使得四边形ADME是菱形?
若存在,请给予证明,并求其面积;
若不存在,说明理由.
•••PD平分/APB,
/APE=ZBPD,
••・AP与。
相切,
/BAP=ZBAC+/EAP=90,°
.「AB是。
的直径,
/ACB=ZBAC+ZB=90;
/EAP=ZB,
••.△PAE^APBD,
PA?
BD=PB?
AE
如图,过点D作DUPB于点F,作DG^AC于点G,
・PD平分/APB,ADXAP,DF±
PB,.•.AD=DF,
•••/EAP=ZB,
ZAPC=ZBAC,
易证:
DF//AC,
/BDF=/BAG,
x2-5x+6=0的两个实数根,
由于AE,BD(AEVBD)的长是
解得:
AE=2,BD=3,
PAPB
「•由
(1)可知:
二,3,
吧」
,cos/APC=用3,
/RDF…l
•.cos/BDF=cosZAPC=,,
竺「
.•屈<
.•.DF=2,
DF=AE,
••・四边形ADFE是平行四边形,
•.AD=DF,
,四边形ADFE是菱形,此时点F即为M点,.cos/BAC=cosZAPC=」,
•.sin/BAC=3,
•五一下.
DG=3,
••・菱形ADME的面积为:
DG?
AE=2X?
=I.
【解析】【分析】
(1)易证/APE=/BPD,/EAP=/B,从而可知APAE^APBD,利用相
似三角形的性质即可求出答案.
(2)过点D作DF±
PB于点F,彳DGLAC于点G,易求得
AE=2,BD=3,由
(1)可知:
-3,从而可知cos/BDF=cosZBAC=cosZAPC=J,从而
可求出AD和DG的长度,进而证明四边形ADFE是菱形,此时F点即为M点,利用平行四
边形的面积即可求出菱形ADFE的面积.
6.已知:
如图,BC为。
的弦,点A为。
上一个动点,^OBC的周长为16.过C作
CD//AB交。
于D,BD与AC相交于点P,过点P作PQ//AB交于Q,设/A的度数为a.
(1)如图1,求/COB的度数(用含a的式子表示);
(2)如图2,若/ABC=90°
时,AB=8,求阴影部分面积
AB'
CD
(3)如图1,当PQ=2,求制+修的值.
a的式子表不);
.一/A的度数为飞
CCCOB=2AA=2a
当ZABC=90°
时,AC为。
1.CD//AB,
/DCB=180-90=90,
••.BD为。
O的直径,
••.P与圆心O重合,
•.PQ//AB交于Q,
•••OQXBC,
.•.CQ=BQ,
•.AB=8,
OQ=AB=4,
设。
O的半径为r,
・•.△OBC的周长为16,
.•.CQ=8-r,
(8-r)2+42=r2,
解得r=5,CB=6,
2HnX15Ra
--X6X4=
,阴影部分面积=的2宓
「CD//AB//PQ,
•.PQ=2,
\22
..ABCD
(1)根据圆周角定理可得/COB=2/A=2a;
(2)当/ABJ900时,
可得点P与圆心O重合,根据^OBC的周长为16以及AB=8,可求得。
的半径为5,可
得出扇形COB的面积以及^OBC的面积,进而得出阴影部分面积;
(3)由CD//AB//PQ,
PQ€QPQffC
可得△BPg^BDC,△CPQ^△CAB,即,ABCHO)@两式子相加可得
|£
2IAB'
■西⑦一’,即可得出血•仪的值.
一动点E也o)(不与a4重合),过点』作为轴的垂线交J方于点I,交抛物线于点旧,
过点/作月u.必于点点.
(1)求直线的函数解析式;
6
(2)求证:
自蝌'
s』从国;
并求出当盘为何值时,|」尸必和」d团的相似比为5.
【答案】
(1)解:
令:
yG,则尸?
解得:
山二鼻,心=
(舍).•./应o)\
令44,得FJ,.旧故月
设直线/岳:
j扛+力,把上//,电3》分别代入上式得:
解之得:
(2)证明:
.「上项=/心二卯
又.』PNM/ma
(1)设直线圈:
Fkx…,求出A、B点坐标,代入求出k,b即可.
(2)利用两组对应角相等证明三角形相似,结合函数解析式,分别表示出AN、PN的长,再根
据相似比列式计算即可
8.如图,4ABC内接于。
O,/CBGNA,CD为直径,OC与AB相交于点E,过点E作EFLBC,垂足为F,延长CD交GB的延长线于点巳连接BD.
PG与。
相切;
切5跳
(2)若.北=5,求优的值;
(3)在
(2)的条件下,若。
的半径为8,PD=OD,求OE的长.
如图,连接OB,则OB=OD,
G
/BDC=ZDBO,
•••/BAC=ZBDG/BAC=ZGBC,
/GBC=ZBDO,
.「CD是。
•••/DBO+ZOBC=90;
•••/GBC+/OBC=90;
gGGBO=90;
••・PG与。
O相切。
过点O作OM^AC于点M,连接OA,1
则/AOM=/COM=/AOC,
・J网心角/ABC和四周小/aoc所对瓠相同、
/ABC=-/AOC=ZCOM,又「/EFB土OMC=90,
••.△BEF^AOCM,
•.CM=AC,
EFBE
1oc
由
(2)可知
•••PD=OD,/PBO=90;
BD=OD=8,
在RtADBC中,BC=\8C-ff/8=8一,
又「OD=OB,
・•.△DOB是等边三角形,
/DOB=60;
•••/DOB=ZOBC+/OCB,OB=OC,
/OCB=30;
・•・可设EF=x贝UEC=2xFC=\,x,
.•.BF=8t万一、万x,
在Rt^BEF中,BE^eP+B户,
.•-100=x2+(8/-小x)2,
x=6±
\,
「6+\J;
>
8,舍去,
..x=6-寸,],
.•.EC=12-2,
.•.OE=8-(12-2也J)=2必-4
(1)连接OB,则需要证明/GBO=/GBC+ZOBC=90;
由CD是。
的直径,则/DBO+/OBC=90,即需要证明/GBC=ZBDO,由同弧所对的圆周角相等,可知/BAC=ZBDC,而/BAC=ZGBC,/BDC=ZDBO,贝U可证得/GBC=ZBDO。
画目应
(2)因为已知和=、,求在淇中EF,BE是4BEF的两条边,而AC,OC是4AOC的两条边,但4BEF和4AOC不相似,则可构造两三角形相似,因为4BEF是直角三角形,则可过
比
点O作OMLAC于点M,连接OA,即构造△BED4OCM,从而可求得贸。
度
(3)由
(2)得*的值及OC=8求出BE;
由PD=OD,且/PBO=90,根据直角三角形斜边
上的中线长等于斜边长的一半”可得BD=OD=8,由勾股定理可求得BC的长,则ADOB是等
边三角形,则在直角三角形ECF中存在特殊角30度,不妨设EF=x则CE=2xCF冢X在
RtABEF中,由勾股定理可得BE^EP+BF2,构造方程解答即可。
二、圆的综合
9.如图,点P在。
O的直径AB的延长线上,PC为。
O的切线,点C为切点,连接AC,过点A作PC的垂线,点D为垂足,AD交。
O于点E.
(1)如图1,求证:
/DAC=ZPAC
(2)如图2,点F(与点C位于直径AB两侧)在OO上,BF?
A,连接EF,过点F作AD
的平行线交PC于点G,求证:
FG=DE+DG
⑶在
(2)的条件下,如图3,若AE=2dG,PO=5,求EF的长.
3
(1)证明见解析;
(2)证明见解析;
(3)EF=3J2.
【解析】
【分析】
(1)连接OC,求出OC//AD,求出OC,PC,根据切线的判定推出即可;
(2)连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形HGDE是矩形,求出DE=HG,FH=EH即可得出答案;
(3)设OC交HE于M,连接OE、OF,求出/FHO=/EHO=45,根据矩形的性质得出
EH//DG,求出OM=1AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE=-DG,DG=3a,23
MO1CO1
求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角二角形得出tanZMBO=——tanP=——设
BM2PO2'
OC=k,则PC=2k,根据OP=J5k=5求出k=J5,根据勾股定理求出a,即可求出答案.
【详解】
(1)证明:
连接OC,
.「PC为。
的切线,
•••OCXPC,•.ADXPC,••.OC//AD,
ZOCA=ZDAC,
.OC=OA,
ZPAC=/OCA,
ZDAC=ZPAC
连接BE交GF于H,连接OH,
1.FG//AD,
•••/FGD+/D=180;
dDD=90;
/FGD=90;
.「AB为。
/BEA=90,°
/BED=90,°
/D=/HGD=/BED=90,°
••・四边形HGDE是矩形,
DE=GH,DG=HE,ZGHE=90,°
BfAf,
/HEF=ZFEA」/BEA=-90°
=45°
22
/HFE=90-/HEF=45,°
/HEF=ZHFE,
1.FH=EH,
.•.FG=FH+GH=DE+DG
设OC交HE于M,连接OE、OF,
2.EH=HF,OE=OFHO=HO,
3•.△FHO^AEHO,
/FHO=ZEHO=45;
4•.四边形GHED是矩形,
5•.EH//DG,
/OMH=/OCP=90,°
/HOM=90-/OHM=90-45=45;
/HOM=/OHM,
.•.HM=MO,
6.OMXBE,
.•.BM=ME,
-1_
.•.OM=-AE,
2
设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE=2DGDG=3a
3'
'
•••/HGC=ZGCM=ZGHE=90;
••・四边形GHMC是矩形,
GC=HM=a,DC=DG-GC=2a,
•••DG=HE,GC=HM,
ME=CD=2a,BM=2a,
在Rt^BOM中,tan/MBO=^M0—1
BM2a2'
•••EH//DP,
/P=/MBO,
CO1
tanP=
PO2
设OC=k,则PC=2k,
在Rt^POC中,OP=75k=5,
k=5,OE=OC=,5,
在Rt^OME中,OM2+ME2=OE2,5a2=5,
a=1,
HE=3a=3,
在Rt^HFE中,/HEF=45,
•■-EF=72HE=372.
【点睛】
考查了切线的性质,矩形的性质和判定,解直角三角形,勾股定理等知识点,能综合运用性质进行推理是解此题的关键.
10.定义:
有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形.
(1)如图1,四边形ABCD内接于OO,/DCB-/ADC=/A,求证:
四边形ABCD为圆内接倍角四边形;
(2)在
(1)的条件下,OO半径为5.
①若AD为直径,且sinA=—,求BC的长;
5
②若四边形ABCD中有一个角为60°
且BC=CD则四边形ABCD的面积是;
(3)在
(1)的条件下,记AB=a,BC=b,CD=gAD=d,求证:
d2-b2=ab+cd.
(1)见解析;
(2)①BC=6,②75百或Z5;
(3)见解析
44
(1)先判断出ZADC=180°
-2ZA,进而判断出/ABC=2/A,即可得出结论;
(2)①先用锐角三角函数求出BD,进而得出AB,由
(1)得出/ADB=/BDC,即可得出
结论;
②分两种情况:
利用面积和差即可得出结论;
(3)先得出BE=BC=b,DE=DA=b,进而得出CE=d-c,再判断出△EBC^^EDA,即可得出结论.
(1)设/A=a,则/DCB=180°
—a.
•••ZDCB-ZADC=ZA,../ADC=/DCB—/A=180-a-a=180-2a,•./ABC=180-
ZADC=2a=2A,••・四边形ABCD是。
O内接倍角四边形;
(2)①连接BD.
.AD是。
的直径,ZABD=90:
在Rt^ABD中,AD=2X5=10sin/A=4,•.BD=8,根
据勾股定理得:
AB
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