完整版常微分方程试题库.docx
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完整版常微分方程试题库
常微分方程
一、填空题
1.微分方程的阶数是____________
答:
1
2.若和在矩形区域内是的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程有只与有关的积分因子的充要条件是_________________________
答:
3._________________________________________称为齐次方程.
答:
形如的方程
4.如果___________________________________________,则存在唯一的解,定义于区间上,连续且满足初始条件,其中
_______________________.
答:
在上连续且关于满足利普希兹条件
5.对于任意的,(为某一矩形区域),若存在常数使______________________,则称在上关于满足利普希兹条件.
答:
6.方程定义在矩形区域:
上,则经过点的解的存在区间是___________________
答:
7.若是齐次线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足一阶线性方程___________________________________
答:
8.若为齐次线性方程的一个基本解组,为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________
答:
9.若为毕卡逼近序列的极限,则有 __________________
答:
10.______________________称为黎卡提方程,若它有一个特解 ,则经过变换 ___________________ ,可化为伯努利方程.
答:
形如的方程
11.一个不可延展解的存在区间一定是区间.
答:
开
12.方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 .
答:
,(或不含x轴的上半平面)
13.方程的所有常数解是 .
答:
14.函数组在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零.
答:
充分
15.二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的基本解组充分必要条件是.
答:
线性无关(或:
它们的朗斯基行列式不等于零)
16.方程的基本解组是.
答:
17.若在上连续,则方程的任一非零解与轴相交.
答:
不能
18.在方程中,如果,在上连续,那么它的任一非零解在平面上与轴相切.
答:
不能
19.若是二阶线性齐次微分方程的基本解组,则它们共同零点.
答:
没有
20.方程的常数解是.
答:
21.向量函数组在其定义区间上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式,.
答:
必要
22.方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 .
答:
平面
23.方程所有常数解是 .
答:
24.方程的基本解组是.
答:
25.一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.
答:
2
二、单项选择题
1.阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是(A)个.
(A)(B)-1(C)+1(D)+2
2.如果,都在平面上连续,那么方程的任一解的存在区间(D).
(A)必为(B)必为
(C)必为(D)将因解而定
3.方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是(D).
(A)上半平面(B)xoy平面
(C)下半平面(D)除y轴外的全平面
4.一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差(C).
(A)不是其对应齐次微分方程组的解(B)是非齐次微分方程组的解
(C)是其对应齐次微分方程组的解(D)是非齐次微分方程组的通解
5.方程过点共有(B)个解.
(A)一(B)无数(C)两(D)三
6.方程(B)奇解.
(A)有三个(B)无(C)有一个(D)有两个
7.阶线性齐次方程的所有解构成一个(A)线性空间.
(A)维(B)维(C)维(D)维
8.方程过点(A).
(A)有无数个解(B)只有三个解(C)只有解(D)只有两个解
9.连续是保证对满足李普希兹条件的(B)条件.
(A)充分(B)充分必要(C)必要(D)必要非充分
10.二阶线性非齐次微分方程的所有解(C).
(A)构成一个2维线性空间(B)构成一个3维线性空间
(C)不能构成一个线性空间(D)构成一个无限维线性空间
11.方程的奇解是(D).
(A)(B)(C)(D)
12.若,是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解,则该方程的通解可用这两个解表示为(C).
(A)(B)
(C)(D)
13.连续是方程初值解唯一的(D)条件.
(A)必要(B)必要非充分(C)充分必要(D)充分
14.方程(C)奇解.
(A)有一个(B)有两个(C)无(D)有无数个
15.方程过点(0,0)有(A ).
(A)无数个解 (B)只有一个解(C)只有两个解 (D)只有三个解
三、求下列方程的通解或通积分
1.
解:
,则 所以
另外 也是方程的解
2.求方程经过的第三次近似解
解:
3.讨论方程 ,的解的存在区间
解:
两边积分
所以 方程的通解为
故 过的解为
通过点 的解向左可以延拓到,但向右只能延拓到 2,
所以解的存在区间为
4.求方程的奇解
解:
利用判别曲线得
消去得即
所以方程的通解为,所以是方程的奇解
5.
解:
=,=,=,所以方程是恰当方程.
得
所以
故原方程的解为
6.
解:
故方程为黎卡提方程.它的一个特解为
令,则方程可化为,
即,故
7.
解:
两边同除以得
所以,另外也是方程的解
8.
解当时,分离变量得
等式两端积分得
即通解为
9.
解齐次方程的通解为
令非齐次方程的特解为
代入原方程,确定出
原方程的通解为
+
10.
解方程两端同乘以,得
令,则,代入上式,得
通解为
原方程通解为
11.
解因为,所以原方程是全微分方程.
取,原方程的通积分为
即
12.
解:
当,时,分离变量取不定积分,得
通积分为
13.
解原方程可化为
于是
积分得通积分为
14.
解:
令,则,代入原方程,得
分离变量,取不定积分,得
()
通积分为:
15.
解令,则,代入原方程,得
,
当时,分离变量,再积分,得
即通积分为:
16.
解:
齐次方程的通解为
令非齐次方程的特解为
代入原方程,确定出
原方程的通解为
+
17.
解积分因子为
原方程的通积分为
即
18.
解:
原方程为恰当导数方程,可改写为
即
分离变量得
积分得通积分
19.
解令,则原方程的参数形式为
由基本关系式,有
积分得
得原方程参数形式通解为
20.
解原方程可化为
于是
积分得通积分为
21.
解:
由于,所以原方程是全微分方程.
取,原方程的通积分为
即
四、计算题
1.求方程的通解.
解对应的齐次方程的特征方程为:
特征根为:
故齐次方程的通解为:
因为是单特征根.所以,设非齐次方程的特解为
代入原方程,有,可解出.
故原方程的通解为
2.求下列方程组的通解
.
解方程组的特征方程为
即
特征根为,
对应的解为
其中是对应的特征向量的分量,满足
可解得.
同样可算出对应的特征向量分量为.
所以,原方程组的通解为
3.求方程的通解.
解:
方程的特征根为,
齐次方程的通解为
因为不是特征根。
所以,设非齐次方程的特解为
代入原方程,比较系数得
确定出,
原方程的通解为
4.求方程的通解.
解对应齐次方程的特征方程为,
特征根为,,
齐次方程的通解为
因为是特征根。
所以,设非齐次方程的特解为
代入原方程,比较系数确定出
,,
原方程的通解为
五、证明题
1.在方程中,已知,在上连续,且.求证:
对任意和,满足初值条件的解的存在区间必为.
证明:
由已知条件,该方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件.
显然是方程的两个常数解.
任取初值,其中,.记过该点的解为,由上面分析可知,一方面可以向平面无穷远处无限延展;另一方面又上方不能穿过,下方不能穿过,否则与惟一性矛盾.故该解的存在区间必为.
2.设和是方程的任意两个解,求证:
它们的朗斯基行列式,其中为常数.
证明:
如果和是二阶线性齐次方程
的解,那么由刘维尔公式有
现在,故有
3.在方程中,已知,在上连续.求证:
该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切.
证明:
由已知条件可知,该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件,且任一解的存在区间都是.
显然,该方程有零解.
假设该方程的任一非零解在x轴上某点处与x轴相切,即有=0,那么由解的惟一性及该方程有零解可知,这是因为零解也满足初值条件=0,于是由解的惟一性,有.这与是非零解矛盾.
4.在方程中,在上连续,求证:
若恒不为零,则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式是上的严格单调函数.
证明:
设,是方程的基本解组,则对任意,它们朗斯基行列式在上有定义,且.又由刘维尔公式
,
由于,,于是对一切,有
或
故是上的严格单调函数.
5.试证:
若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解
证明:
设黎卡提方程的一个特解为
令,又
由假设得
此方程是一个的伯努利方程,可用初等积分法求解
6.试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:
一阶线性方程,当
在上连续时,其解存在唯一
证明:
令:
在上连续,则
显然在上连续,
因为为上的连续函数,
故在上也连续且存在最大植,记为
即,
=
因此一阶线性方程当,在上连续时,其解存在唯一
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