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除0外,有正负两个值
算术平方根:
平方根的正数部分
推测:
?
设a>0
(-a)1=-a;
(-a)2=a2;
(-a)3=-a3;
(-a)4=a4
发现:
奇数次方时,符号不变,为负数
偶数次方时,符号改变,为正数而:
(a)1=a;
(a)2=a2;
(a)3=a3;
(a)4=a4
∴偶数次方,存在两个值;
奇数次方,仅为一个值
▪知识点三:
实数
实数有理数整数
正实数正有理数
正无理数
分数无理数
实数
负实数
负有理数
负无理数
思考:
为什么分类中无小数?
分数还能如何继续分类?
运用算术平方根的双重非负性
1.已知2𝑎
+6+𝑏
−2=0,解关于x的方程(a+2)x+b2=a-1
解析:
双重非负性:
(1)a≥0;
(2)𝑎
≥0
∵2𝑎
+6≥0,
𝑏
−2≥0
又∵2𝑎
+6+
−2=0
∴2𝑎
+6=0,且
−2
=0a=-3,b=2
(a+2)x+b2=a-1化简为:
-x+4=-4
解得x=8
2.若y=𝑥
−4+4−𝑥
+5,则x+y=?
∵x-4≥0,且4-x≥0
∴x=4
代入得y=5X+y=9
利用平方法估算平方根的范围
3.估算3的大小(保留3位有效数字)
通常利用平方法,结合“夹逼法”确定平方根的范围,即a<
𝑥
<
b
已知32=3
因为12<3<22,所以3整数部分为1
因为1.72<3<1.8,所以3的十分位为7
因为1.732<3<1.742,所以3百分位为3
因为3<1.7352,所以3保留3为有效数字,四舍五入后为1.73
4.比较大小:
-1,3,-22,2.5,0
2
一些列数据比较大小,找出参考量,先根据参考量粗略分组,在根据
夹逼法准确比较。
平方根与立方根的综合应用
5.已知M=m−1m+6是m+6的算术平方根,
N=2m−3n+3
𝑛
+6是n+6的立方根,求M-N的值。
任何数有且仅有一个立方根(与平方根的区别),只要两数相同,则立方根相等。
6.已知3
𝑥
=4,且(y-2z+1)2+𝑧
−3=0,求3
x+𝑦
3+𝑧
3
∵(y-2z+1)2+𝑧
−3=0∴y-2z+1=0,且z-3=0
∴y=5,z=3
∵3𝑥
=4∴x=64
3x+𝑦
3=3
64+125+27=6
▪知识点四:
实数的分类及辨别
7.将下列数正确分类:
−1;
0;
0.16;
31;
0.15;
39;
-15;
𝜋
;
16;
−8;
-8;
3.1415926;
2223
0.010010001⋯(相邻两个1之间依次多1个0)
•整数:
•分数:
•正数:
负数:
有理数:
无理数:
解析:
对带有根号的,能化简的先化简。
注意循环小数和不循环小数之间的区别
0,16,-8,3−8
−1,0.16,31,0.15,3.1415926
22
0,0.16,31,0.15,3
9,𝜋
,16,3.1415926,0.010010001⋯
负数:
−1,-15,3−8
有理数:
−1,0,0.16,31,0.15,16,3−8,-8,3.1415926
8.比较下列各数的大小:
(1)2+1与2.42
(2)35与211(3)2−x与3
−3
通过平方法(立方法),先化简为不含根号的数,在进行比较
(1)2+1与2.42
∵2≈1.414∴2+1<2.42
(2)35与211
∵=45
=44∴35>211
(3)2−x与3
∵2-x≥0∴2−x≥0,3
−3<0∴2−x>3
实数的综合运算-数形结合
9.如图,数轴上的A,B,C三点所表示的数分别是a,b,c,其中AB=BC,如果𝑎
>
𝑏
𝑐
,那么该数轴的原点O的位置应该在:
A.点A的左边B.点A与点B之间
C.点B与点C之间D.点B与点C之间或点C的右边
DA.点A的左边B.点A与点B之间
10.
已知实数x,y,z在数轴上的对应点如下入所示,化简:
x−y−y+z+x+z+x−z
x−z
10.已知实数x,y,z在数轴上的对应点如下入所示,化简:
原式=(y-x)-(y+z)+(x+z)+𝑧
−𝑥
−𝑧
=y-x-y-z+x+z-1
=-1
▪知识点五:
实数的综合运算-计算
11.计算:
(1)−4−9+(-2)÷
(-2)
(2)−36+21+327
4
与有理数的运算规则一样,知识扩充了数据的范围
=4-3+1
=2
=-6+3+3
=−3
实数的综合运算-特殊形式
12.已知有理数a,b满足5−3a=2b+2
3-a,试求a,b的值。
有理数相等,则整数部分相等,且根号部分也相等
根据题意得:
5−3a=(2b-a)+23
2𝑏
−𝑎
=5
∴−𝑎
=2
=−2
解得:
=13
6
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