中位线经典讲义Word下载.docx
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2、梯形的中位线:
⑴连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
注意:
中位线是两腰中点的连线,而不是两底中点的连线。
⑵梯形中位线的性质
梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。
二、举例:
例1:
如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、、DA的中点。
四边形EFGH是平行四边形吗?
为什么?
例2:
如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、DO的中点,四边形EFGH是矩形吗?
例3:
已知:
如图,AD是△ABC的中线,E、G分别是AB、AC的中点,GF∥AD交ED的延长线于点F。
⑴猜想:
EF与AC有怎样的关系?
⑵试证明你的猜想。
例4:
已知在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,M为BC的中点。
试说明DM=
AB
例5:
等腰梯形ABCD中,AD∥BC,EF为中位线,EF=18,AC⊥AB,∠B=60°
,求梯形ABCD的周长及面积。
例6、已知:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°
,E是梯形外一点,且AE=BE,F是CD的中点。
试说明:
EF∥BC。
M
D
C
B
A
N
例7:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,M、N分别是两条对角线BD、AC的中点,试说明:
MN∥BC且MN=
(BC-AD)。
例8:
如图,四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC,AC、BD相交于点O,点P、Q、R分别为AO、BO、CD的中点,且∠AOD=60°
。
试判断ΔPQR的形状,并说明理由?
一、三角形中位线的性质
1、如图,三角形三条中位线组成的图形与原三角形的形状、大小(面积和周长)有怎样的关系?
四边形ADEF的周长与AB+AC的关系如何?
2、已知在四边形ABCD中,AB=CD,E、F、G分别是BD、AC、BC的中点,H是EF的中点.求证:
EF⊥GH.
3、如图所示,△ABC中,AB>AC,AD平分∠BAC,CD⊥AD,点E是BC的中点。
求证:
(1)DE∥AB;
(2)DE=
(AB-AC).
变式:
(1)在△ABC中,过点A分别作∠B,∠C,的角平分线的垂线,垂足分别为G,F,求FG和三角形三边的关系。
(2)在△ABC中,过点A分别作∠B的角平分线的垂线,∠C,的外角平分线的垂线,垂足分别为G,F,求FG和三角形三边的关系。
(3)在△ABC中,过点A分别作∠B,∠C,的外交角平分线的垂线,垂足分别为G,F,求FG和三角形三边的关系。
(4)已知△ABC,过A分别向∠B,∠C的内外角平分线作垂线,垂足依次为M、P、Q、N,求证这四点共线
4、如图在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E、F分别是AB、CD的中点,且AC=BD,求证:
OM=ON.
5、O是ΔABC所在平面内一动点,连接OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依次连接,如果DEFG能构成四边形:
(1)如图,当O点在ΔABC内部时,证明四边形DEFG是平行四边形。
(2)当O点移动到ΔABC外部时,
(1)的结论是否还成立?
画出图形并说明理由。
(3)若四边形DEFG为矩形,O点所在位置应满足什么条件?
试说明理由。
二、梯形中位线的性质
1、已知等腰梯形的中位线和腰长相等,都等于8cm,这个等腰梯形的周长为()
A、16cmB、32cmC、24cmD、40cm
2、已知四边形ABCD是高为10的等腰梯形,AB=DC,AD∥BC,又AC⊥BD,求中位线EF的长。
3、在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是AB、CD的中点,E、F分别交BD、AC于点G、H,求证:
GH=
(BC-AD).
变式一:
在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是AB、CD的中点,E、F分别交BD、AC于点G、H,AD=a,BC=b,求EF、FH、GH的长。
变式二:
在梯形ABCD中,AD∥BC,G、H分别是BF、AC的中点,求证:
EF是梯形ABCD的中位线。
4、在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD与∠ABC的平分线交于CD中点E.求证:
AD+BC=AB.
5、过平行四边形ABCD的各个顶点向形外一条直线L作垂线,垂足分别为A'
B'
C'
D'
.求证:
AA'
+CC'
=BB'
+DD'
变式练习:
直线l过口ABCD的顶点B,AA’⊥l,CC’⊥l,DD’⊥l,
试证明AA’+CC’=DD’
三、直角三角形和中位线
1、在Rt△ABC中,∠BAC=90°
,延长BA到D,使AD=
AB,E、F分别是BC、AC的中点。
(1)求证:
DF=BE;
(2)过点A作AG∥BC,与DF相交于点G,求证:
AG=DG.
2、已知AD是△ABC的中线,E是AD的中点,求证:
FC=2AF.
3、如图,在△ABC中,D、E、F分别为三边中点,AG是BC边上的高,求证:
四边形DGEF是等腰梯形。
4、在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,BD⊥DC,且BD平分∠ABC,若梯形的周长为20,求这个梯形中位线的长。
拓展训练:
1、在四边形ABCD中,AB=CD,M、N分别是BC、AD的中点,∠BEN=40°
.求∠CFN的度数.
2、如图,在△ABC中,AD平分∠BAC.AD=AB,CM⊥AD于M.
求证:
AM
(AB+AC)
3、等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,AD:
BC=5:
6,∠A与∠D的平分线与BC的交点分BC为三等分,梯形的周长为57厘米.求梯形的上,下底长.
4、已知在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,E、F分别是AB,AC的中点
(1)EF和AD之间有什么位置关系?
并证明你的结论.
(2)若四边形AEDF是菱形,则△ABC应满足什么条件?
课后作业:
1、已知:
如图,在△ABC中,D是AB的中点,DE∥BC交AC于点E。
DE=
BC。
2、已知:
如图,在△ABC中,中线BD、CE相交于点O,F、G分别是OB、OC的中点。
四边形DEFG是平行四边形。
F
E
O
3、已知:
如图矩形ABCD的对角线相交于点O,E、F分别是OA、OD的中点。
四边形CBEF是等腰梯形。
4、已知:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,E、F、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点。
EF与MN互相垂直平分。
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