第9讲还原问题与年龄问题完整版Word格式.docx
- 文档编号:17446992
- 上传时间:2022-12-01
- 格式:DOCX
- 页数:19
- 大小:110.36KB
第9讲还原问题与年龄问题完整版Word格式.docx
《第9讲还原问题与年龄问题完整版Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第9讲还原问题与年龄问题完整版Word格式.docx(19页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
2=7两酒.
3.三棵树上原来共有48只鸟,后来,第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上;
之后,第二棵树上又有与第三棵树上同样数目的鸟飞到了第三棵树上;
最后,三棵树上又有10只鸟飞到了第一棵树上,此时三棵树上的鸟一样多.问:
一开始三棵树上各有几只鸟?
12只.23只.13只
本题中三棵树上鸟的只数不断变化,而要算出开始的数量来,就要采用倒推法.
但不管小鸟怎么飞来飞去,总只数是不会变的.三棵树上一共有48只鸟,最后三棵树上的鸟一样多,所以最后每棵树上都有48÷
3—16只鸟.从最后一开始,依次计算,如表一所示:
最后三棵树上都有16只鸟,最盾一次第三棵树上有10只鸟飞到第一棵树上,所以飞之前第一棵树上有16-10=6只鸟;
第三棵树上有16+10=26只鸟;
第二棵树上不变,还是有16只鸟.
类似地再往前倒推,第二棵树上香鸳藕兰棵树上同样数目的鸟飞到了第三棵树上,相当于第三棵树上的鸟翻了一倍.飞之前第三棵树上应有26÷
2=13只鸟,第二棵树上有16+13=29只鸟,第一棵树上还是6只鸟.
同样可以计算出最开始三棵树上分别有12只、23只、13只鸟.最后的结果如表二所示.
4.一个数,如果它是奇数,就把它扩大1倍;
如果它是偶数,就把它减去5.这样称作一次操作,经过8次操作后得到的数是37.那么开始的数是多少?
7
这个数如果是奇数,把它扩大1倍后,一定是偶数;
如果是偶数,把它减去5后,一定是奇数.
又最后一个数是37,则一定是它减去5后得到的,所以倒数第-人数是37+5=42.
利用倒推法,依次可得:
所以开始的数是7.
5.1997年张伯伯45岁,小方9岁.在哪一年张伯伯的年龄是小方年龄的4倍?
2000年
因每过1年,张伯伯长1岁,小方也长1岁,所以他们的年龄差是不变的,是45-9=36岁,那么当张伯伯的年龄是小方年龄的4倍的时候,他们的差仍然是36岁.设这一年小方的年龄是1份,那么张伯伯年龄就是4份.如图所示:
他们的差是3份,因此1份是36÷
3=12岁,即小方应是12岁,与l997年时比长了12-9=3岁.因此,在2000年时,张伯伯的年龄是小方年龄的4倍.
6.今年,小明的年龄等于他父母的年龄差;
4年后,小明的年龄等于他父母年龄差的3倍.今年小明多少岁?
2岁
解析:
因父母的年龄差是不变的,设父母的年龄差是1份,那么小明今年的年龄是1份,而4年后小明的年龄变成了3份.
小明长了4岁,那么他长大的÷
岁就是2份,所以1份是4÷
2=2岁,即今年小明2岁.
7.今年,父亲年龄是儿子年龄的5倍;
15年后,父亲年龄是儿子年龄的2倍.问:
现在父子的年龄各是多少?
父亲25岁,儿子5岁
解析:
如图所示:
今年,父亲年龄是儿子年龄的5倍,那么父亲和儿子的年龄差是今年儿子年龄的4倍,也是15年后儿子年龄的1倍,所以设年龄差是4份,那么今年儿子的年龄是:
份,15年后儿子的年龄就是4份.15年后儿子的年龄是比今年的年龄多了3份,正好就是15岁,因此1份是15÷
3=5岁,
所以今年儿子是5岁,父亲是5×
5=25岁.
8.学生问老师多少岁,老师说:
“当我像你这么大时,你刚3岁;
当你像我这么大时,我已经39岁了.”求老师和学生现在的年龄.
老师27岁,学生15岁
从图中可以看出,当学生长到老师现在这么大时,长了虚线代表的岁数,正好是师生的年龄差,从而老师也增长了这么多岁,变成39岁.
同样当老师变成学生现在那么大时,老师减少了粗线代表的岁数,也是师生的年龄差,于是学生同样减少这么多岁,变成3岁,
而39岁与3岁的差别正好是年龄差的3倍,所以(39-3)÷
3=12岁,那么学生现在是3+12=15岁,老师现在是15+12=27岁.
9.小鹏说:
“到2013年,我出生的年份就刚好是我的年龄的60倍.”请问他在哪一年出生?
1980年
假设2013年时小鹏的年龄为1份,则他出生的年份为60份.
若把它们加到一起即为当年的年份2013年,则2013相当于61份,那么1份就是2013÷
61=33.
因此他的出生年份为33×
60=1980年.
10.今年,王伯伯的年龄比萱萱、墨莫、小高三人年龄的总和还多6岁.多少年后,王伯伯的年龄将比他们三人年龄的总和少6岁?
6年
1年之后,王伯伯长了1岁,而萱萱、墨莫、小高三人一共长了3岁,所以每过一年他们三人年龄的总和都比王伯伯的年龄多增加2岁.
现在王伯伯的年龄比萱萱、墨莫、小高三人的年龄总和还多6岁,那么6÷
2=3年之后,王伯伯的年龄就和他们三人年龄的总和一样多,
同样地,再过3年,王伯伯的年龄就会比萱萱、墨莫、小高三人年龄的总和少6岁。
所以要3+3=6年之后,王伯伯的年龄才会比萱萱、墨莫、小高三人年龄的总和少6岁.
拓展篇
1.有一个数,把它加上37,再乘以18,减去323,得到的结果用23去除,商是16,余数是11.这个数原来是多少?
2
写出计算过程:
所以这个数原来是2.
2.果园里有一棵桃树,有一天,3只猴子来摘桃子吃,第一只猴子吃了一个桃子并摘下了剩下桃子的一半,然后第二只猴子吃了2个桃子并摘下了剩下桃子的一半,最后第三只猴子吃了3个桃子并摘下了剩下桃子的一半,这时树上刚好还有4个桃子,原来树上一共有几个桃子?
49介
吃1个摘一半吃2个摘一半吃3个摘一半
如图,这3只猴子都是先吃后摘,所以在倒推时要先看摘的,再看吃的:
猴子3摘下剩下桃子的一半,剩下另一半是4个,所以在它摘桃子前,树上有4×
2-8个桃子;
而在它吃桃子之前,树上有8+3=11个桃子.
类似地,猴子2吃桃子前,树上有11×
2+2=24个桃子;
猴子1吃桃子前,树上有24×
2+1=49个桃子,
因此原来树上有49个桃子,
3.地上有26块砖,兄弟二人争着去挑,弟弟抢在前面,刚挑起一些砖,哥哥赶到了,挑了剩下的砖.哥哥看弟弟挑得太多,就从弟弟那儿抢走一半.弟弟不肯,又从哥哥那儿抢走一半,哥哥不服,弟弟只好再给哥哥5块,这时哥哥比弟弟多挑2块.请问:
最初弟弟准备挑多少块砖?
l6块
因最后哥哥比弟弟多挑2块,哥哥和弟弟一共挑了26块,所以哥哥挑了(26+2)÷
2=14块,弟弟挑了(26-2)÷
2=12块,根据条件依次倒推,列表一
如下:
“哥哥不服,弟弟只好再给哥哥5块”,那么弟弟在给哥哥5块之前,哥哥挑了14-5=9块砖,弟弟挑了12+5=17块砖.
“弟弟不肯,又从哥哥那儿抢走一半”,那么之前哥哥挑了9×
2=18块砖,弟弟挑了26-18=8块砖.“哥哥看弟弟挑得太多,就从弟弟那儿抢走一半”,那
么之前弟弟挑了8×
2=16块砖,哥哥挑了26-16=10块砖.列表二如下:
所以最初弟弟准备挑16块砖.
4.某人发现了一条魔道,魔道内有一个存钱的小箱子,当他从魔道走过去的时候,箱子里的一些钱会飞到某人的身上使他身上的钱增加一倍;
当他从魔道走回来时,身上的钱会飞到箱子里,使箱子里的钱增加一倍;
这人一连走了3个来回后,箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币.那么原来这人身上有多少元?
箱子里有多少元?
43元;
85元
最后一次走回来时,箱子里的钱增加了一倍,变成了64元,他身上也还剩下64元.那么在第三次走过去后,箱子里应该有64÷
2=32元,而他身上应.该有64+32=96元.填入表一中:
第三次走过去时,他身上的钱增加一倍变成96元,那么过去前应该为96÷
2=48元,那么箱子里的钱是32+48=80元.如此继续下去,一步一步仔细分析后,就能填出表二.
由表二得,原来这人身上有43元,箱子里有85元,
5.甲、乙各有糖若干块,每操作一次是由糖多的人给糖少的人一些糖,使得糖少的人的糖数增加一倍.经过三次这样的操作后,甲有5块糖,乙有12块糖.两个人原来的糖数分别是多少?
甲7块,乙10块
用倒推法分析,列出表一:
根据题意,每次糖多的人给糖少的人一些糖后,后者的糖数就变成了原来的2倍,只可能是一个偶数,所以如果“甲有5块糖,乙有12块糖”,那么前一步操作,一定是甲给乙糖,使乙的糖数变成原来的2倍,即12块.那么在甲给乙糖之前,乙有12÷
2=6块糖,甲有5+6=11块糖,如表二:
这时甲有11块糖,还是个奇数,所以上一步还是甲给乙糖,使他的糖数变成原来的2倍,即6块,那么在第二次给糖之前,乙有6÷
2=3块糖,甲有11+3=14块糖.
这时甲的糖数是偶数,这一次是乙给甲糖,因此甲原来有14÷
2=7块糖,乙原来有3+7=10块糖,
6.甲、乙、丙三人的钱数各不相同,甲最多,他拿出一些钱给乙和丙,使乙和丙的钱数都比原来增加了2倍,结果乙的钱最多;
接着乙拿出一些钱给甲和丙,使甲和丙的钱数各增加了2倍,结果丙的钱最多;
最后丙又拿出一些钱给甲和乙,使他们的钱数各增加2倍,结果三人的钱数一样多.如果他们兰人共有81元,那么三人原来分别有多少钱?
甲55元,乙19元,丙7元
三个人最后的钱数相同,钱的总数是不会变化的,所以各有.31÷
3=27元.列出表一:
最后一次是丙把钱给了甲、乙后,使得甲、乙各增加两倍,钱数都变成27元.那么,在丙给钱之前甲、乙应该都有27÷
3=9元,丙有81-9-9=63元.
在表格中一步一步倒推计算出初始情况,如表二:
由表二得,甲原来有55元,乙原来有19元,丙原来有7元.
7.今年张明15岁,他父亲45岁.请问:
(l)多少年后,父亲年龄是张明年龄的2倍?
(2)多少年前,父亲年龄是张明年龄的4倍?
(1)15年
(2)5年
张明和他父亲的年龄差不变,是45-15=30岁.
(1)当“父亲年龄是张明年龄的2倍”时,假设张明年龄是1份,那么父亲的年龄是2份,两人的年龄差也是1份.如图1所示:
由于年龄差是30岁,则那时张明的年龄就是30×
1=30岁,是现在30-15=15年后.
(2)当“父亲年龄是张明年龄的4倍”时,假设张明年龄是1份,那么父亲的年龄是4份,两人的年龄差就是3份.如图2所示:
这时1份是30÷
3=10岁,即那时张明的年龄就是10岁,是现在的15-10=5年前。
8.12年前,父亲的年龄是女儿年龄的11倍;
今年,父亲的年龄是女儿年龄的3倍,请问:
多少年后,父亲年龄是女儿年龄的2倍?
15年
根据题意知,父亲和女儿的年龄差是今年女儿年龄的2倍,也是12年前女儿年龄的10倍,所以把父亲和女儿的年龄差设为10份,那么今年女儿的年龄就是5份,而12年前女儿的年龄就是1份.
12年前女儿的年龄比今年的年龄少了4份,因此1份就是12÷
4=3岁,那么今年女儿是5×
3=15岁,而父亲今年是15×
3=45岁,父女年龄差45-15=30岁。
当父亲年龄是女儿年龄的2倍时,女儿年龄就等于年龄差,即30岁,与女儿今年15岁相比,相当于30-15=15年后.
9.去年哥哥的年龄是明年兄弟两人年龄和的一半,前年哥哥的年龄是弟弟的2倍,求哥哥和弟弟现在的年龄.
哥哥10岁,弟弟6岁
因“去年哥哥的年龄是明年兄弟俩年龄和的一半”,而明年哥哥的年龄比去年哥哥的年龄多了2岁,所以明年弟弟的年龄就比去年哥哥的年龄少了2岁,从而去年弟弟的年龄就比去年哥哥的年龄少了2+2=4岁,即兄弟年龄差为4岁,前年哥哥的年龄是弟弟的2倍,哥哥比弟弟大4岁,所以前年弟弟的年龄就是4÷
(2-1=4岁,哥哥是4+4=8岁,今年,弟弟是4+2=6岁,哥哥是8+2=10岁.
10.今年父亲的年龄是48岁,哥哥的年龄是弟弟的2倍,当弟弟长到哥哥现在的年龄时,父亲的年龄恰好等于兄弟俩年龄之和.请问:
今年哥哥多少岁?
24岁
设弟弟今年的年龄为1份,那么今年哥哥的年龄就是2份,他们的年龄差为1份,如图所示:
当弟弟长到哥哥现在的年龄时,弟弟的年龄为2份,哥哥的年龄为2+1=3份,父亲的年龄是兄弟的年龄和2+3=5份.
由此得今年父亲的年龄是5-1=4份,为48岁,所以今年弟弟的年龄是48÷
4=12岁,哥哥的年龄是12×
2=24岁,
11.兄弟俩的年龄之和是32岁,当哥哥是弟弟现在这么大时,哥哥的年龄是当时弟弟年龄的3倍.求哥哥现在的年龄.
20岁
“当哥哥是弟弟现在这么大时”,设弟弟年龄为1份,那时哥哥年龄为3份,从而兄弟俩年龄差为2份.现在弟弟和当时的哥哥一样大,应该是!
份.那么现在哥哥还是比弟弟大2份年龄,所以现在哥哥年龄应该是3+2=5份,如图所示:
现在兄弟俩的年龄和32岁是5+3=8份,那么1份就是32÷
8=4岁,
所以哥哥现在的年龄是4×
5=20岁.
12.学生问老师多少岁,老师说:
“当我像你这么大时,你刚5岁;
当你像我这么大时,我已经50岁了.”求老师和学生现在的年龄.
学生20岁,老师35岁
当学生长到老师现在这么大时,长了虚线代表的岁数,正好是师生的年龄差,从而老师也增长了这么多岁,变成50岁.
同样当老师变成学生那么大时,老师减少了粗线代表的岁数,也是师生的年龄差,于是学生同样样减少这么多岁,变成5岁.
从图中可以发现,50-5=45岁正好是3个年龄差,所以师生的年龄差为45÷
3=15岁.
那么现在学生为5+15=20岁,老师为15+20=35岁,
13.有老师和甲、乙、丙三个学生,现在老师年龄恰为三个学生年龄之和;
9年后,老师年龄为甲、乙两学生年龄之和;
又过了3年,老师年龄为甲、丙两学生年龄之和;
再过3年,老师年龄为乙、丙两学生年龄之和,求现在各人的年龄.
甲15岁,乙12岁,丙9岁,老师36岁
每过1年,老师长了1岁,每个学生也长了1岁,那么3个学生的年龄和就长了3岁.
9年后,3个学生的年龄和增加9×
3=27岁,老师年龄增加9岁,3个学生的年龄和比老师大27-9=18岁.那时,老师年龄等于甲、乙年龄和,丙的年龄就是18岁,那么现在丙的年龄是18-9=9岁.
同样,12年后,甲、乙、丙三人年龄之和要比老师大3×
12-12=24岁,那时乙的年龄是24岁,那么现在乙的年龄是24-12=12岁.
同样,15年后,甲、乙、丙三人年龄之和要比老师大3×
15-15=30岁,那时甲的年龄是30岁,那么现在甲的年龄是30–15=15岁。
现在,老师的年龄恰好是3个学生的年龄之和,是9+12+15=36岁.
14.1年前,父母的年龄和是兄弟二人年龄和的7倍;
4年后,父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍.已知父亲比母亲大2岁,母亲今年多少岁?
35岁
每过1年,父母的年龄和增加2岁,兄弟的年龄和也是增加2岁,所以父母年龄和与兄弟年龄和的差还是不变的.
设1年前兄弟的年龄和是1份,那么肖时父母的年龄和是7份,相差7-1=6份.
4年后,也就是说比1年前多了4+1=5年,父母的年龄和增加了5×
2=10岁,兄弟的年龄和也增加了10岁,父母的年龄和还是比兄弟的年龄和大6份.此时,父母的年龄和是兄弟的年龄和的4倍,所以4年后兄弟的年龄和是6÷
(4-1)=2份,比1年前兄弟的年龄和增加了1份,因此1份就是10岁,1年前,父母的年龄和就是10×
7=70岁,
又爸爸比妈妈大2岁,所以1年前妈妈是(70-2)÷
2=34岁,那么妈妈今年就是34+1=15岁.
超越篇
1.口渴的三个和尚分别捧着一个水罐,最初,老和尚的水最多,并且有一个和尚没水喝,于是,老和尚把自己的水全部平均分给了大、小两个和尚;
接着,大和尚又把自己的水全部平均分给了老、小两个和尚;
然后,小和尚又把自己的水全部平均分给了另外两个和尚.就这样,三人轮流谦让了一阵,结杲太阳落山时,老和尚的水罐里有10升水,小和尚的水罐里则装着20升水.请问:
最初大和尚的水罐里有多少升水?
答案:
10升
解析:
容易知道,最后一次把水分出去的应该是大和尚,他把自己的水全部分出去后就使得老和尚和小和尚的水分别为10升和20升,而在此之前还应该有一个和尚没有水,所以只能是老和尚没有水.
那么大和尚分给老和尚10升水,他也应该分给小和尚10升水.于是在大和尚分水之前,老和尚、大和尚、小和尚各有水O升、20升、10升.如表一所示:
大和尚分水的前一次是老和尚分水,他分完后水变成了O,同样再来分析老和尚分水之前的情况.为了更清楚地看出三个和尚水罐中水的变化关系,不妨作
出下面的表二:
从表二中看到,三个和尚水罐里面的水的情况以3为周期,循环出现.由于第一次是老和尚把水分出去,也就是最初情况应该是在老和尚分水之前,这时,大和尚的水罐有10升水。
2.甲和乙各有若干块糖,甲的糖数比乙少,每次操作由糖多的人给糖少的人一些糖,使其糖数增加一倍.经过2005次这样的操作以后,甲有10块糖,乙有8块糖,请问:
两个人原来分别有多少块糖?
甲5块,乙13块
最后一次有两种可能:
甲给乙,让乙增加一倍;
或乙给甲,让甲增加一倍,如果最后一次是乙给甲糖,那么在此之前甲应该有10÷
2=5块,乙有8+5=13块.但是这样一来,上次无论是让乙增加一倍还是让甲增加一倍都不可能,因为增加一倍后的糖数应该是偶数.
因此最后一次操作中一定是甲将糖给乙,使乙的糖数增加一倍,变成8块,那么在分糖之前乙的糖数就是8÷
2=4块,而甲的糖数为10+4=14块.
类似地,每次倒推都应该有两种可能,如果之前已经分过糖了,那么甲、乙的糖数就应该都是偶数,这样就可以一步一步倒推回去,如表所示:
从表中可以看出,两个人的糖块数是有规律的,每6次操作为一个周期.
2005÷
6=334……1,那么第2004次操作后就应该和最开始的情况是一样的,那么第2005次操作后和第1次操作后的情况是一样的,也就是说第1次操作后甲有10块,乙有8块.
但第1次操作和其他次数操作不同,并不要求两人最初的糖数一定为偶数,因此两人最初的糖数有两种可能:
乙有8÷
2=4块糖,甲有10+4=14块糖;
或甲有10÷
2=5块糖,乙有8+5=13块糖.由题意,甲的糖数比乙少,因此只能是甲有5块糖,乙有13块糖。
3.哥哥对弟弟说:
“你长到我这么大的时候,我恰好获得博士学位;
我在你这么大的时候,你刚刚上幼儿园.”已知哥哥和弟弟现在的年龄和为32岁,哥哥获得博士学位的年龄是弟弟上幼儿园年龄的7倍,求哥哥获得博士学位的年龄.
28岁
设弟弟上幼儿园时的年龄是1份,那么哥哥获得博士学位时的年龄就是7份,如图所示:
由线段图可知两人的年龄差就是(7-1)÷
3=2份.
从而,现在弟弟的年龄是1+2=3份,哥哥的年龄是3+2=5份.两人现在的年龄和是3+5=8份,
所以1份就是32÷
8=4岁.
因此哥哥获得博士学位的年龄是4×
7=28岁.
4.小明跟爷爷聊天,爷爷对小明说:
“当我的岁数是你爸现在的岁数时,你才5岁,”小明对爷爷说:
“当我的岁数是您现在的岁数时,我爸都89岁了.”请问:
小明的爸爸今年多少岁?
47岁
从图中容易看出,爸爸从现在开始,长到89岁这一个过程所经历的时间,小明长到了爷爷现在这么大,所以这就是小明和爷爷的年龄差.
当小明5岁时,爷爷和他爸爸现在一样大,所以5岁与爸爸现在年龄的差也是小明与爷爷的年龄差.从而两个小旺与爷爷的年龄差等于89-5=84岁,小明与爷爷相差84÷
2=42岁.
因此爸爸现在的年龄为5+42=47岁,
5.1996年时,父母的年龄之和是78岁,兄弟二人的年龄之和是17岁;
4年后,父亲年龄是弟弟年龄的4倍,母亲年龄是哥哥年龄的3倍,试问:
当父亲年龄是哥哥年龄的3倍时是公元多少年?
2001年
4年后,父母的年龄之和是78+4+4=86岁,兄弟的年龄之和是17+4+4=25岁.
从线段图中看出,4年后父母年龄和比兄弟年龄和的3倍还要多一个弟弟昀年龄.
因此4年后弟弟年龄是86-25×
3=11岁,哥哥年龄是25-11=14岁,父亲年龄是11×
4=44岁,母亲年龄是14×
3=42岁.
父亲和哥哥的年龄差是44-14=30岁,因此到父亲年龄是哥哥的3倍时,年龄差就是哥哥年龄的2倍,因此这盱哥哥的年龄是30÷
(3-1)=15岁,也就是从1996年起的5年后.所以这一年是1996+5=2001年.
6.全家四口人,父亲比母亲大3岁,姐姐比弟弟大2岁.4年前全家人的年龄之和是58岁,而现在是73岁,问:
现在各人的年龄分别是多少岁?
弟弟3岁,姐姐5岁,父亲34岁,母亲31岁
这4年间,全家人的年龄相加之和只增加了73-58=15岁,因此,4年前弟弟没有出生,所以现在弟弟3岁,那么姐姐现在3+2=5岁.
又现在父母的年龄之和为73-5喜3鼍鸽岁,父亲比母亲大3岁,则现在父亲的年龄是(65+3)÷
2=34岁,母亲的年龄是(60-3)÷
2=31岁。
7.老师在黑板上写了三个不同的整数,小明每次先擦掉第一个数,然后在最后写上另两个数的平均数,如此做了7次,这时黑板上三个数的和为159.如果开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008,且所有写过的数都是整数,请问:
开始时老师在黑板上写的第一个数是多少?
1860
将起始的3个数a、b、c与后来写的7个数排成一行,形成下表:
由于⑤⑥⑦三个数之和是159,并且⑦是⑤和⑥的平均数,易知⑦=159÷
3=53.
(1)如果⑤<
⑥,设⑤=53-k,⑥=53+k(k为正整数),然后逆推出前面各数的表达式.从上表中可以看出,b=53-85k,并不存在一个正整数走使得b有意义.
(2)如果⑤>
⑥,设⑤=53+k,⑥=53-k(k为正整数),然后逆推出前面各数的表达式.从上表中可以看出,c=53-43k,当且仅当k=1时符合题意.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第9讲 还原问题与年龄问题完整版 还原 问题 年龄 完整版