高中数学函数单调性的判定和证明方法详细Word格式文档下载.docx
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-(升硕恐+1)
Ui+i)(j+D
—1<
Xi<
X1—X2<
0,Xi+1>
0,X2+1>
0.
.•当a>
0时,f(X1)-f(X2)<
0,即f(X1)<
f(X2),
•••函数y=f(X)在(-1,+8)上单调递增.
当a<
0时,f(X1)—f(X2)>
0,即f(X1)>
函数y=f(X)在(—1,+°
°
)上单调递减.
所W1-—<
所以砰砰,
所以
(心)二玉-^2-—)则七-
因为知fE泗对,
三口所以
所以砰砰
所以「「一-"
:
-
解1、[/⑴在+8)上为增函数*
同理可得在(-咛-齐止为增函现在止为诫函氮
作商法:
例3.设函数y=f(x)定义在R上,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)?
f(n)
且当x>
0时,0vf(x)v1
(1)求证:
f(0)=1且当xv0时,f(x)>
1
(2)求证:
f(x)在R上是减函数.
证明:
(1)•.,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)?
f(n),
令m=1,n=0,可得f
(1)=f
(1)?
f(0),
..当x>
0时,0vf(x)v1,.•f
(1)乒0.
f(0)=1.
令m=xv0,n=-x>
0,
则f(m+n)=f(0)=f(-x)?
f(x)=1,
f(-x)f(x)=1,
又.•-x>
0时,0Vf(-x)V1,
••f(x)=
1
f(-x)
>
1.
(1)设x1vx2,贝Ux1-x2v0,
根据
(1)可知f(x1-x2)>
1,f(x2)>
0.
.f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)?
f(x2)>
f(x2),
•••函数f(x)在R上单调递减.
(二)、运算性质法.
函数表达式
单调区间
次函数
ykxb(k0)
二次函数
_2,-
yaxbxc
(a0,a,b,cR)
反比例函数指数函数对数函数
k
y-
x
(kR且k0)
ya
(a0,a1)
当k0时,y在R上是增函数;
当k。
时,y在R上是减函数。
当a0时,x:
时y单调减,
x2-时y单调增;
当a0时,x£
时y单调增,
X~b时y单调减。
当k0时,y在X0时单调减,在
X0时单调减;
当k0时,y在X0时单调增,在x0时单调增。
当a1时,y在R上是增函数;
当0a1,时y在R上是减函数。
ylogax
当a1时,y在(0,)上是增函数;
当0a1时,y在(0,)上是减函
数。
关于函数单调的性质可总结如下几个结论:
1f(x)与f(x)+C单调性相同。
(C为常数)
2当k0时,f(x)与kf(x)具有相同的单调性;
当k0时,f(x)与kf(x)具有相反的
单调性。
—,__,,1
3当f(x)恒不等于零时,f(x)与——具有相反的单调性。
f(x)
4当f(x)、g(x)在D上都是增(减)函数时,贝Uf(x)+g(x)在D上是增(减)函数。
5当f(x)、g(x)在D上都是增(减)函数且两者都恒大于0时,f(x)g(x)在D上是增
(减)函数;
当f(x)、g(x)在D上都是增(减)函数且两者都恒小于0时,f(x)g(x)在D上是减(增)函数。
6设yf(x),xD为严格增(减)函数,则f必有反函数f1,且f1在其定义域f(D)
上也是严格增(减)函数。
例4.判断f(x)xx3log2x32x1(x21)5的单调性。
解:
函数f(x)的定义域为(0,),由简单函数的单调性知在此定义域x,x3,log2x3
均为增函数,因为2x10,x210
由性质⑤可得2x1(x21)也是增函数;
3
由单倜函数的性质④知xxlog2x为增函数,
再由性质①知函数f(x)xx3log2x32x1(x21)+5在(0,)为单调递增函数。
例5.设函数f(x)-一(ab0),判断f(x)在其定义域上的单调性。
xb
函数f(x)"
^的定义域为(,b)(b,).
先判断f(x)在(b,)的单调性,由题可把
f(x)转化为f(x)1七^,乂ab0故ab
1ab
—为减函数;
由性质②可得1为减函数;
xbxb
再由性质①可得f(x)1七上在(b,)是减函数。
同理可判断f(x)在(,b)也是减函数。
故
(,b)(b,)是减函数。
(3)
0由性质③可得
函数f(x)在
、图像法.
根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。
例6.求函数/⑴三-'
+l川的单调区间。
在同一坐标系下作出函数的图像得
所以函数的单调增区间为--
(-]。
).(*皿
减区间为-J.
(4)、同增异减法(复合函数法)
且集合{ulug(x),
定理1:
若函数yf(u)在U单调,ug(x)在X单调,
(1)若yf(u)是增函数,ug(x)是增(减)函数,贝Uyf[g(x)]是增(减)函数。
(2)若yf(u)是减函数,ug(x)是增(减)函数,贝Uyf[g(x)]是减(增)函数。
归纳此定理,可得口诀:
同则增,异则减(同增异减)
复合函数单调性的四种情形可列表如下:
第①种情形
第②种情形
第③种情形
第④种情形
层函数ug(x)
外层函数yf(u)
复合函数yf[g(x)]
显然对于大于2次的复合函数此法也成立。
推论:
若函数yf(x)是K(KA2),KN)个单调函数复合而成其中有mK个减函数:
①当m2k1时,则yf(x)是减函数;
②当m2k时,则yf(x)是增函数。
判断复合函数yf[g(x)]的单调性的一般步骤:
⑴合理地分解成两个基本初等函数yf(u),ug(x);
⑵分别解出两个基本初等函数的定义域;
⑶分别确定单调区间;
⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减,贝U
yf[g(x)]为增函数,若为一增一减,贝uyf[g(x)]为减函数(同增异减);
⑸求出相应区间的交集,既是复合函数yf[g(x)]的单调区间。
以上步骤可以用八个字简记“一分”,“二求”,“三定”,“四交”。
利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。
例7.求f(x)loga(3x25x2)(a0且a1)的单调区间。
由题可得函数f(x)loga(3x25x2)是由外函数ylogau和函数
u3x25x2符合而成。
由题知函数f(x)的定义域是(,2)(【,)。
函数
_{-队=(―J
解原函数是由外层函数您和层函数2复合而成的;
易知[°
,是外层函数y二担的单调增区间;
的一个单调区间;
根据复合函数“同增异减”的复合原则知,是原函数的单调减区间。
例9.求函数L—*—2的单调区间.
易知和(项网都是外层函数U的单调减区间;
令以=x‘-x-2<
0,解得*的取值围为
结合二次函数的图象可知'
-烦不是层函数的一个单调区间,但可
以把区间(叫划分成层函数的两个单调子区间叫、捉,其代4是其单调减
区间,&
是其单调增区间;
旌(TA"
—
于是根据复合函数“同增异减”
的复合原则知,2是原函数的单调增区间,
板却是原函数的单调减区间。
原函数的单调减区间。
(五)、含参数函数的单调性问题
」〉瞬己知函鄂⑴=竺地.当口二&
时,讨论函斯⑴单调生
例10.设"
(先分离常数,即对函数的解析式进行变形,找到基本函数的类型,再分类讨论.)
由题意得原函数的定义域为(pT)U(-LE>
日tiA_ax-ha-h^-a_b-a
~:
•—--•1
43时,即8-皿>
口时,函数f(H)=弩+'
在(-皿-+co)
当应十'
上为减函数;
&
时,即占-4<
0时,函绑*([)=在(-凯-+00)
当*+1上为增函数。
(六)、抽象函数的单调性.
抽象函数问题是指没有给出解析式,只给出一些特殊条件的函数问题。
常采用的方法有:
①定义法.
通过作差(或者作商),根据题目提出的信息进行变形,然后与0(或者1)比较大小关系
f(m)f(n),且当m0时
来判断其函数单调性。
通常用凑差、添项、增量、放缩法求解。
例11.已知函数f(x)对任意实数m、n均有f(mn)
f(m)0,试讨论函数f(x)的单调性。
此题多种方法解答如下:
凑差法:
根据单调函数的定义,设法从题目中“凑出”“f(Xl)f(X2)”的形式,然后比较
f(X2)f(Xi)f[(X2Xi)Xi]f(Xi)
由题意函数f(x)对任意实数m、n均有f(mn)f(m)f(n),
且当m0时,
f(m)0f(X2)f(Xi)f(X2Xi)0
所以函数f(x)为增函数。
(0),然后联系题
增量法:
由单调性的定义出发,任取xi,x2R,xix2设x2xi
目提取的信息给出解答。
f(mn)
f(m)
f(n),
fg)
f(x〔)
f(x1)f(x1)f(),
又由题当m
0时,
任取x1,x2R,x1x2设x2x1(
f(m)0f(x2)f(xDf()0(0),
0)由题意函数f(x)对任意实数m、n均有
所以函数f(x)为增函数。
例13.已知函数f(x)的定义域为(0,+8),对任意正实数m、n均有
f(mn)f(m)f(n),且当m1时0f(m)1,判断函数f(x)的单调性.
即f(x)在(0,+°
)上为单调递减函数。
②列表法
数的单调性都列出来,然后再判断复合函数单调性。
此题用放缩法,先判断f(xi)与f(x2)的大小关系,从而得f(x)在其定义域的单调性。
2一例15.已知yf(x)在R上是偶函数,且在[0,+)上是增函数,求f(2x)是
减函数的区间
列表如下
表达式
单调性
(
,点)
[J2,0)
[0,克)
[J2
)
y2x2
yf(u)
-_2
yf(2x)
由表知f(2x2)是减函数的区间(,72),[0,J2)。
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